1.5: Правила експонентів та наукові позначення

Цілі навчання

• Перегляньте правила показників.
• Перегляньте визначення негативних показників та нуля як експоненти.
• Робота з числами за допомогою наукових позначень.

Огляд Правил експонентів

У цьому розділі ми розглянемо правила показників. Нагадаємо, що якщо коефіцієнт повторюється кілька разів, то твір можна записати в експоненціальній формі$x^{n}$. Додатне ціле число експоненти$n$ вказує на кількість разів$x$ повторення бази як множника.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Розглянемо твір$x^{4}$ і$x^{6}$,

Малюнок$\PageIndex{2}$

Розширення виразу за допомогою визначення призводить до множинних факторів бази, яка є досить громіздкою, особливо коли$n$ вона велика. З цієї причини у нас є корисні правила, які допоможуть нам спростити вирази з показниками. У цьому прикладі зверніть увагу, що ми могли б отримати той самий результат, додаючи показники.

$x ^ { 4 } \cdot x ^ { 6 } = x ^ { 4 + 6 } = x ^ { 10 } \color{Cerulean}{Product\:rule\:for\:exponents}$

Загалом, це описує правило добутку для експонентів ¹⁰³. Іншими словами, при множенні двох виразів з однаковою базою ми додаємо показники. Порівняйте це з підвищенням коефіцієнта за участю експоненти до влади, наприклад$\left( x ^ { 6 } \right) ^ { 4 }$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Тут ми маємо$4$ коефіцієнти$x^{6}$, що еквівалентно множенню показників.

$\left( x ^ { 6 } \right) ^ { 4 } = x ^ { 6 \cdot 4 } = x ^ { 24 } \color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:exponents}$

Це описує правило потужності для експонентів ¹⁰⁴. Зараз ми розглядаємо підвищення згрупованих продуктів до влади. Наприклад,

$\begin{aligned} \left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } \right) ^ { 4 } & = x ^ { 2 } y ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } y ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } y ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } y ^ { 3 } \\ & = x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot y ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } \quad \color{Cerulean}{Commutative\: property } \\ & = x ^ { 2 + 2 + 2 + 2 } \cdot y ^ { 3 + 3 + 3 + 3 } \\ & = x ^ { 8 } y ^ { 12 } \end{aligned}$

Після розширення нам залишається чотири фактори продукту$x^{2}y^{3}$. Це еквівалентно підняттю кожного з вихідних згрупованих факторів до четвертої влади та застосуванню правила влади.

$\left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } \right) ^ { 4 } = \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 4 } \left( y ^ { 3 } \right) ^ { 4 } = x ^ { 8 } y ^ { 12 }$

Загалом, це описує використання правила потужності для продукту, а також правило потужності для експонентів. Підсумовуючи, правила експонентів впорядковують процес роботи з алгебраїчними виразами і будуть широко використовуватися в міру нашого вивчення алгебри. Дано будь-які натуральні числа$m$ і$n$ де$x, y ≠ 0$ ми маємо

Таблиця$\PageIndex{1}$

Правило продукту для експонентів:	$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$
Коефіцієнтне правило для експонентів:	$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$
Правило потужності для експонентів:	$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }$
Правило живлення для виробу: ^105	$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$
Правило потужності для частки: ^106	$\left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } }$

Ці правила дозволяють ефективно виконувати операції з показниками.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Спростити:$\frac { 10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 12 } } { 10 ^ { 3 } }$.

Рішення

$\begin{aligned} \frac { 10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 12 } } { 10 ^ { 3 } } & = \frac { 10 ^ { 16 } } { 10 ^ { 3 } } \quad \color{Cerulean} { Product\: rule } \\ & = 10 ^ { 16 - 3 } \:\color{Cerulean} { Quotient\: rule } \\ & = 10 ^ { 13 } \end{aligned}$

Відповідь:

$10^{13}$

У попередньому прикладі зверніть увагу, що ми не множили самі$10$ базові часи. При застосуванні правила вироби складіть показники і залиште основу без змін.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Спростити:$\left( x ^ { 5 } \cdot x ^ { 4 } \cdot x \right) ^ { 2 }$.

Рішення: Нагадаємо, що$x$ передбачається, що змінна має показник одиниці,$x = x^{1}$.

$\begin{aligned} \left( x ^ { 5 } \cdot x ^ { 4 } \cdot x \right) ^ { 2 } & = \left( x ^ { 5 + 4 + 1 } \right) ^ { 2 } \\ & = \left( x ^ { 10 } \right) ^ { 2 } \\ & = x ^ { 10 \cdot 2 } \\ & = x ^ { 20 } \end{aligned}$

Відповідь:

$x^{20}$

Базою насправді може бути будь-який алгебраїчний вираз.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Спростити:$(x + y)^{9} (x + y)^{13}$.

Рішення: розглядайте вираз$(x + y)$ як основу.

$\begin{aligned} ( x + y ) ^ { 9 } ( x + y ) ^ { 13 } & = ( x + y ) ^ { 9 + 13 } \\ & = ( x + y ) ^ { 22 } \end{aligned}$

Відповідь:

$(x + y)^{22}$

Комутативна властивість множення дозволяє використовувати правило добутку для експонентів для спрощення факторів алгебраїчного виразу.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Спростити:$- 8 x ^ { 5 } y \cdot 3 x ^ { 7 } y ^ { 3 }$.

Рішення: Помножте коефіцієнти та додайте показники змінних факторів з однаковою базою.

$\begin{aligned} - 8 x ^ { 5 } y \cdot 3 x ^ { 7 } y ^ { 3 } & = - 8 \cdot 3 \cdot x ^ { 5 } \cdot x ^ { 7 } \cdot y ^ { 1 } \cdot y ^ { 3 } \quad \color{Cerulean} { Commutative\: property } \\ & = - 24 \cdot x ^ { 5 + 7 } \cdot y ^ { 1 + 3 } \quad \color{Cerulean}{ Power\: rule\: for\: exponents } \\ & = - 24 x ^ { 12 } y ^ { 4 } \end{aligned}$

Відповідь:

$- 24 x ^ { 12 } y ^ { 4 }$

Розподіл передбачає часткове правило для експонентів.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Спростити:$\frac { 33 x ^ { 7 } y ^ { 5 } ( x - y ) ^ { 10 } } { 11 x ^ { 6 } y ( x - y ) ^ { 3 } }$.

Рішення

$\begin{aligned} \frac { 33 x ^ { 7 } y ^ { 5 } ( x - y ) ^ { 10 } } { 11 x ^ { 6 } y ( x - y ) ^ { 3 } } & = \frac { 33 } { 11 } \quad x ^ { 7 - 6 } \cdot y ^ { 5 - 1 } \cdot ( x - y ) ^ { 10 - 3 } \\ & = 3 x ^ { 1 } y ^ { 4 } ( x - y ) ^ { 7 } \end{aligned}$

Відповідь:

$3 x y ^ { 4 } ( x - y ) ^ { 7 }$

Правило влади для частки дозволяє нам застосувати цей показник до чисельника та знаменника. Це правило вимагає, щоб знаменник був ненульовим, і тому ми зробимо це припущення для решти розділу.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Спростити:$\left( \frac { - 4 a ^ { 2 } b } { c ^ { 4 } } \right) ^ { 3 }$.

Рішення: Спочатку застосуйте правило потужності для частки, а потім правило живлення для продукту.

$\begin{aligned} \left( \frac { - 4 a ^ { 2 } b } { c ^ { 4 } } \right) ^ { 3 } & = \frac { \left( - 4 a ^ { 2 } b \right) ^ { 3 } } { \left( c ^ { 4 } \right) ^ { 3 } } \quad \color{Cerulean}{Power\: rule\: for\: a \:quotient} \\ & = \frac { ( - 4 ) ^ { 3 } \left( a ^ { 2 } \right) ^ { 3 } ( b ) ^ { 3 } } { \left( c ^ { 4 } \right) ^ { 3 } } \color{Cerulean} { Power\: rule \:for\: a\: product } \\ & = \frac { - 64 a ^ { 6 } b ^ { 3 } } { c ^ { 12 } } \end{aligned}$

Відповідь:

$- \frac { 64 a ^ { 6 } b ^ { 3 } } { c ^ { 12 } }$

Використовуючи частне правило для експонентів, ми можемо визначити, що означає мати нуль як показник. Розглянемо наступний розрахунок:

$\color{Cerulean}{1}\color{Black}{ = \frac { 25 } { 25 } = \frac { 5 ^ { 2 } } { 5 ^ { 2 } } = 5 ^ { 2 - 2 } =}\color{Cerulean}{ 5 ^ { 0 }}$

Двадцять п'ять розділених на двадцять п'ять явно дорівнює одиниці, і коли застосовується часткове правило для показників, ми бачимо, що нульовий показник результатів. Загалом, задано будь-яке ненульове дійсне число$x$ та ціле число$n$,

$1 = \frac { x ^ { n } } { x ^ { n } } = x ^ { n - n } = x ^ { 0 }$

Це призводить нас до визначення нуля як експоненти ¹⁰⁷,

$x ^ { 0 } = 1\: x \neq 0$

Важливо відзначити, що$0^{0}$ є невизначеною. Якщо база негативна, то результат все одно позитивний. Іншими словами, будь-яка ненульова база, піднята до нульової потужності, визначається рівною одиниці. У наступних прикладах припустимо, що всі змінні є ненульовими.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Спростити:

1. $(−2x)^{0}$
2. $−2x^{0}$

Рішення

а Будь-яка ненульова величина, піднята до нульової потужності, дорівнює$1$.

$( - 2 x ) ^ { 0 } = 1$

б У прикладі база є$−2x^{0}$$x$, немає$−2x$.

$\begin{aligned} - 2 x ^ { 0 } & = - 2 \cdot x ^ { 0 } \\ & = - 2 \cdot 1 \\ & = - 2 \end{aligned}$

Відзначивши, що$2^{0} = 1$ ми можемо писати,

$\color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 ^ { 3 } }}\color{Black}{ = \frac { 2 ^ { 0 } } { 2 ^ { 3 } } = 2 ^ { 0 - 3 } =}\color{Cerulean}{ 2 ^ { - 3 }}$

Загалом, задано будь-яке ненульове дійсне число$x$ та ціле число$n$,

$\frac { 1 } { x ^ { n } } = \frac { x ^ { 0 } } { x ^ { n } } = x ^ { 0 - n } = x ^ { - n } x \neq 0$

Це призводить нас до визначення негативних показників ¹⁰⁸:

$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } } x \neq 0$

Вираз повністю спрощується, якщо він не містить жодних негативних показників.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Спростити:$\left( - 4 x ^ { 2 } y \right) ^ { - 2 }$.

Рішення

Перепишіть всю величину в знаменник з показником,$2$ а потім спростіть далі.

$\begin{aligned} \left( - 4 x ^ { 2 } y \right) ^ { - 2 } & = \frac { 1 } { \left( - 4 x ^ { 2 } y \right) ^ { 2 } } \\ & = \frac { 1 } { ( - 4 ) ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } ( y ) ^ { 2 } } \\ & = \frac { 1 } { 16 x ^ { 4 } y ^ { 2 } } \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac { 1 } { 16 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }$

Іноді в знаменнику з'являються негативні показники.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Спростити:$\frac { x ^ { - 3 } } { y ^ { - 4 } }$.

Рішення

$\frac { x ^ { - 3 } } { y ^ { - 4 } } = \frac { \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { y ^ { 4 } } } = \frac { 1 } { x ^ { 3 } } \cdot \frac { y ^ { 4 } } { 1 } = \frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } }$

Відповідь:

$\frac { y ^ { 4 } } { x ^ { 3 } }$

Попередній приклад пропонує властивість коефіцієнтів з негативними показниками ¹⁰⁹. Задано будь-які цілі числа$m$ і$n$ де$x ≠ 0$ і$y ≠ 0$, потім

$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { \frac { 1 } { x ^ { n } } } { \frac { 1 } { y ^ { m } } } = \frac { 1 } { x ^ { n } } \cdot \frac { y ^ { m } } { 1 } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$

Це призводить нас до власності

$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$

Іншими словами, негативні показники в чисельнику можуть бути записані як позитивні показники в знаменнику, а негативні показники в знаменнику можуть бути записані як позитивні показники в чисельнику.

Приклад$\PageIndex{10}$:

Спростити:$\frac { - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 3 } } { z ^ { - 4 } }$.

Рішення

Подбайте про коефіцієнт$−5$, визнайте, що це база і що показник насправді позитивний:$- 5 = ( - 5 ) ^ { 1 }$. Значить, правила негативних показників не поширюються на цей коефіцієнт; залиште його в чисельнику.

$\begin{aligned} \frac { - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 3 } } { z ^ { - 4 } } & = \frac { - 5 \color{Cerulean}{x ^ { - 3 }}\color{Black}{ y ^ { 3 }} } { \color{OliveGreen}{z ^ { - 4 }} } \\ & = \frac { - 5 y ^ { 3 } \color{OliveGreen}{ z ^ { 4 }} } { \color{Cerulean}{x ^ { 3 }} } \end{aligned}$

Відповідь:

$\frac { - 5 y ^ { 3 } z ^ { 4 } } { x ^ { 3 } }$

Підсумовуючи, задані цілі числа$m$ і$n$ де$x, y ≠ 0$ ми маємо

Таблиця$\PageIndex{3}$

Нульовий показник	$x^{0}=1$
Негативний показник	$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }$
Коефіцієнти з негативними показниками	$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$

Крім того, всі правила показників, визначені до цих пір, поширюються на будь-які цілочисельні показники. Ми розширимо сферу застосування цих властивостей, щоб включити будь-які показники дійсних чисел пізніше в курсі.

Вправа$\PageIndex{1}$

Спростити:$\left( \frac { 2 x ^ { - 2 } y ^ { 3 } } { z } \right) ^ { - 4 }$.

Відповідь

$\frac { x ^ { 8 } z ^ { 4 } } { 16 y ^ { 12 } }$

www.youtube.com/В/Єдлуго2ООС

Наукові позначення

Дійсні числа, виражені за допомогою наукового позначення ¹¹⁰, мають вигляд,

$a \times 10 ^ { n }$

де$n$ ціле число$1 ≤ a < 10$ і.Ця форма особливо корисна, коли числа дуже великі або дуже малі. Наприклад,

$\begin{aligned} 9,460,000,000,000,000 m & = 9.46 \times 10 ^ { 15 } \mathrm { m } \quad\color{Cerulean}{One \:light \:year} \\ 0.000000000025 \mathrm { m } & = 2.5 \times 10 ^ { - 11 } \mathrm { m } \quad\color{Cerulean}{Raduis \:of \: a\: light\: year} \end{aligned}$

Громіздко записувати всі нулі в обох цих випадках. Наукові позначення є альтернативним, компактним поданням цих чисел. Коефіцієнт$10^{n}$ вказує на потужність десяти, щоб помножити коефіцієнт на, щоб перетворити назад в десятковий вигляд:

Малюнок$\PageIndex{4}$

Це еквівалентно переміщенню десяткового числа в коефіцієнті п'ятнадцять знаків вправо.

Негативний показник вказує на те, що число дуже мало:

Малюнок$\PageIndex{5}$

Це еквівалентно переміщенню десяткового числа в коефіцієнті одинадцять знаків вліво.

Перетворення десяткового числа в наукові позначення передбачає переміщення десяткового числа, а також. Розглянемо всі еквівалентні форми$0.00563$ з факторами$10$, які слідують:

$\begin{aligned} 0.00563 & = 0.0563 \times 10 ^ { - 1 } \\ & = 0.563 \times 10 ^ { - 2 } \\ & \color{Cerulean}{= 5.63 \times 10 ^ { - 3 }} \\ & = 56.3 \times 10 ^ { - 4 } \\ & = 563 \times 10 ^ { - 5 } \end{aligned}$

Хоча всі ці рівні,$5.63 \times 10 ^ { - 3 }$ це єдина форма, виражена в правильному науковому позначенні. Це пов'язано з тим, що коефіцієнт 5.63 знаходиться між$1$ і$10$ відповідно до вимог визначення. Зверніть увагу, що ми можемо перетворити$5.63 \times 10 ^ { - 3 }$ назад в десяткову форму, як перевірку, переміщаючи десяткові три розряди вліво.

Приклад$\PageIndex{11}$:

Пишіть,$1,075,000,000,000$ використовуючи наукові позначення.

Рішення

Тут ми вважаємо дванадцять десяткових знаків зліва від десяткової крапки, щоб отримати число$1.075$.

$1,075,000,000,000 = 1.075 \times 10 ^ { 12 }$

Відповідь:

$1.075 × 10^{12}$

Приклад$\PageIndex{12}$:

Пишіть,$0.000003045$ використовуючи наукові позначення.

Рішення

Тут ми вважаємо шість знаків після коми праворуч для отримання$3.045$.

$0.000003045 = 3.045 \times 10 ^ { - 6 }$

Відповідь:

$3.045 × 10^{−6}$

Часто нам потрібно буде виконувати операції при використанні чисел в наукових позначеннях. Всі правила експонентів, розроблені до теперішнього часу, також стосуються чисел у наукових позначеннях.

Приклад$\PageIndex{13}$:

Помножити:$\left( 4.36 \times 10 ^ { - 5 } \right) \left( 5.3 \times 10 ^ { 12 } \right)$.

Рішення

Використовуйте той факт, що множення є комутативним, і застосуйте правило добутку для показників.

$\begin{aligned} \left( 4.36 \times 10 ^ { - 5 } \right) \left( 5.30 \times 10 ^ { 12 } \right) & = ( 4.36 \cdot 5.30 ) \times \left( 10 ^ { - 5 } \cdot 10 ^ { 12 } \right) \\ & = \color{Cerulean}{23.108}\color{Black}{ \times 10 ^ { - 5 + 12 }} \\ & = \color{Cerulean}{2.3108 \times 10 ^ { 1 }}\color{Black}{ \times 10 ^ { 7 }} \\ & = 2.3108 \times 10 ^ { 1 + 7 } \\ & = 2.3108 \times 10 ^ { 8 } \end{aligned}$

Відповідь:

$2.3108 \times 10 ^ { 8 }$

Приклад$\PageIndex{14}$:

Розділити:$\left( 3.24 \times 10 ^ { 8 } \right) \div \left( 9.0 \times 10 ^ { - 3 } \right)$.

Рішення

$\begin{aligned} \frac { \left( 3.24 \times 10 ^ { 8 } \right) } { \left( 9.0 \times 10 ^ { - 3 } \right) } & = \left( \frac { 3.24 } { 9.0 } \right) \times \left( \frac { 10 ^ { 8 } } { 10 ^ { - 3 } } \right) \\ & = 0.36 \times 10 ^ { 8 - ( - 3 ) } \\ & = \color{Cerulean}{0.36}\color{Black}{ \times 10 ^ { 8 + 3 }} \\ & = \color{Cerulean}{3.6 \times 10 ^ { - 1 }}\color{Black}{ \times 10 ^ { 11 }} \\ & = 3.6 \times 10 ^ { - 1 +11 } \\ & = 3.6 \times 10 ^ { 10 } \end{aligned}$

Відповідь:

$3.6 × 10^{10}$

Приклад$\PageIndex{15}$:

Швидкість світла становить приблизно$6.7 × 10^{8}$ милі на годину. Висловіть цю швидкість в милі в секунду.

Рішення

Одиничний аналіз вказує на те, що ми повинні розділити число на$3,600$.

$\begin{aligned} 6.7 \times 10 ^ { 8 } \text { miles per hour } & = \frac { 6.7 \times 10 ^ { 8 } \text { miles } } { 1 \cancel{\color{red}{\text { hour}}} } \cdot \left (\frac{ 1 \cancel{\color{red}{\text {hour}}}}{60 \cancel{\color{OliveGreen}{\text {minutes}}}} \right ) \cdot \left (\frac{ 1 \cancel{\color{OliveGreen}{\text {minutes}}}} {60\: \text {seconds}} \right ) \\ & = \frac { 6.7 \times 10 ^ { 8 } \text { miles } } { 3600 \text { seconds } } \\ & = \left( \frac { 6.7 } { 3600 } \right) \times 10 ^ { 8 } \\ & \approx\color{Cerulean}{0.0019}\color{Black}{\times 10^{8}} \quad \color{Cerulean}{rounded \: to\: two\: significant\: digits} \\ &= \color{Cerulean}{1.9 \times 10 ^ { - 3 }}\color{Black}{ \times 10 ^ { 8 }} \\ & = 1.9 \times 10 ^ { - 3 + 8 } \\ & = 1.9 \times 10 ^ { 5 } \end{aligned}$

Відповідь:

Швидкість світла становить приблизно$1.9 × 10^{5}$ милі в секунду.

Приклад$\PageIndex{16}$:

Сонце рухається навколо центру галактики по майже круговій орбіті. Відстань від центру нашої галактики до Сонця становить приблизно$26,000$ світлові роки. Яка окружність орбіти Сонця навколо галактики в метрах?

Рішення

Один світловий рік вимірює$9.46 × 10^{15}$ метри. Тому помножте це$2.60 × 10^{4}$ на$26,000$ або знайдіть довжину$26,000$ світлових років в метрах.

$\begin{aligned} \left( 9.46 \times 10 ^ { 15 } \right) \left( 2.60 \times 10 ^ { 4 } \right) & = 9.46 \cdot 2.60 \times 10 ^ { 15 } \cdot 10 ^ { 4 } \\ & \approx 24.6 \times 10 ^ { 19 } \\ & = 2.46 \times 10 ^ { 1 } \cdot 10 ^ { 19 } \\ & = 2.46 \times 10 ^ { 20 } \end{aligned}$

$r$Радіус цього дуже великого кола становить приблизно$2.46 × 10^{20}$ метри. Використовуйте формулу$C = 2πr$ для обчислення окружності орбіти.

$\begin{aligned} C & = 2 \pi r \\ & \approx 2 ( 3.14 ) \left( 2.46 \times 10 ^ { 20 } \right) \\ & = 15.4 \times 10 ^ { 20 } \\ & = 1.54 \times 10 ^ { 1 } \cdot 10 ^ { 20 } \\ & = 1.54 \times 10 ^ { 21 } \end{aligned}$

Відповідь:

Окружність орбіти Сонця становить приблизно$1.54 × 10^{21}$ метри.

Вправа$\PageIndex{2}$

Розділити:$\left( 3.15 \times 10 ^ { - 5 } \right) \div \left( 12 \times 10 ^ { - 13 } \right)$.

Відповідь

$2.625 \times 10 ^ { 7 }$

www.youtube.com/В/Джойрс7HYW4

Ключові винос

• При множенні двох величин з однаковою базою додайте показники:$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$.
• При діленні двох величин з однаковою базою віднімають показники:$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$.
• При підвищенні повноважень до повноважень помножте показники:$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }$.
• Коли згрупована величина, що включає множення та ділення, піднімається до степеня, застосуйте цю владу до всіх факторів у чисельнику та знаменнику:$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n } \text { and } \left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } }$.
• Будь-яка ненульова величина, піднята до потужності 0, визначається рівною$1: x^{0} = 1$.
• Вирази з від'ємними показниками в чисельнику можна переписати як вирази з додатними показниками в знаменнику:$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }$.
• Вирази з від'ємними показниками в знаменнику можна переписати як вирази з додатними показниками в чисельнику:$\frac { 1 } { x ^ { - m } } = x ^ { m }$.
• Подбайте про те, щоб відрізнити негативні коефіцієнти від негативних показників.
• Наукові позначення особливо корисні при роботі з числами, які є дуже великими або дуже маленькими.

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити. (Припустимо, що всі змінні представляють ненульові числа.)

1. $10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 7 }$
2. $7 ^ { 3 } \cdot 7 ^ { 2 }$
3. $\displaystyle \frac { 10 ^ { 2 } \cdot 10 ^ { 4 } } { 10 ^ { 5 } }$
4. $\displaystyle \frac { 7 ^ { 5 } \cdot 7 ^ { 9 } } { 7 ^ { 2 } }$
5. $x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 }$
6. $y ^ { 5 } \cdot y ^ { 3 }$
7. $\displaystyle \frac { a ^ { 8 } \cdot a ^ { 6 } } { a ^ { 5 } }$
8. $\displaystyle \frac { b ^ { 4 } \cdot b ^ { 10 } } { b ^ { 8 } }$
9. $\displaystyle \frac { x ^ { 2 n } \cdot x ^ { 3 n } } { x ^ { n } }$
10. $\displaystyle \frac { x ^ { n } \cdot x ^ { 8 n } } { x ^ { 3 n } }$
11. $\left( x ^ { 5 } \right) ^ { 3 }$
12. $\left( y ^ { 4 } \right) ^ { 3 }$
13. $\left( x ^ { 4 } y ^ { 5 } \right) ^ { 3 }$
14. $\left( x ^ { 7 } y \right) ^ { 5 }$
15. $\left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } \right) ^ { 4 }$
16. $\left( x y ^ { 2 } z ^ { 3 } \right) ^ { 2 }$
17. $\left( - 5 x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \right) ^ { 2 }$
18. $\left( - 2 x y ^ { 3 } z ^ { 4 } \right) ^ { 5 }$
19. $\left( x ^ { 2 } y z ^ { 5 } \right) ^ { n }$
20. $\left( x y ^ { 2 } z ^ { 3 } \right) ^ { 2 n }$
21. $\left( x \cdot x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } \right) ^ { 3 }$
22. $\left( y ^ { 2 } \cdot y ^ { 5 } \cdot y \right) ^ { 2 }$
23. $\displaystyle \frac { a ^ { 2 } \cdot \left( a ^ { 4 } \right) ^ { 2 } } { a ^ { 3 } }$
24. $\displaystyle \frac { a \cdot a ^ { 3 } \cdot a ^ { 2 } } { \left( a ^ { 2 } \right) ^ { 3 } }$
25. $( 2 x + 3 ) ^ { 4 } ( 2 x + 3 ) ^ { 9 }$
26. $( 3 y - 1 ) ^ { 7 } ( 3 y - 1 ) ^ { 2 }$
27. $( a + b ) ^ { 3 } ( a + b ) ^ { 5 }$
28. $( x - 2 y ) ^ { 7 } ( x - 2 y ) ^ { 3 }$
29. $5 x ^ { 2 } y \cdot 3 x y ^ { 2 }$
30. $- 10 x ^ { 3 } y ^ { 2 } \cdot 2 x y$
31. $- 6 x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \cdot 3 x y z ^ { 4 }$
32. $2 x y z ^ { 2 } \left( - 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z \right)$
33. $3 x ^ { n } y ^ { 2 n } \cdot 5 x ^ { 2 } y$
34. $8 x ^ { 5 n } y ^ { n } \cdot 2 x ^ { 2 n } y$
35. $\displaystyle \frac { 40 x ^ { 5 } y ^ { 3 } z } { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z }$
36. $\displaystyle \frac { 8 x ^ { 2 } y ^ { 5 } z ^ { 3 } } { 16 x ^ { 2 } y z }$
37. $\displaystyle \frac { 24 a ^ { 8 } b ^ { 3 } ( a - 5 b ) ^ { 10 } } { 8 a ^ { 5 } b ^ { 3 } ( a - 5 b ) ^ { 2 } }$
38. $\displaystyle \frac { 175 m ^ { 9 } n ^ { 5 } ( m + n ) ^ { 7 } } { 25 m ^ { 8 } n ( m + n ) ^ { 3 } }$
39. $\left( - 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } z \right) ^ { 6 }$
40. $\left( - 3 x y ^ { 4 } z ^ { 7 } \right) ^ { 5 }$
41. $\left( \displaystyle \frac { - 3 a b ^ { 2 } } { 2 c ^ { 3 } } \right) ^ {3 }$
42. $\left( \displaystyle \frac { - 10 a ^ { 3 } b } { 3 c ^ { 2 } } \right) ^ {2 }$
43. $\left( \displaystyle \frac { - 2 x y ^ { 4 } } { z ^ { 3 } } \right) ^ {4 }$
44. $\left( \displaystyle \frac { - 7 x ^ { 9 } y } { z ^ { 4 } } \right) ^ {3 }$
45. $\left( \displaystyle \frac { x y ^ { 2 } } { z ^ { 3 } } \right) ^ {n }$
46. $\left( \displaystyle \frac { 2 x ^ { 2 } y ^ { 3 } } { z } \right) ^ {n }$
47. $( - 5 x ) ^ { 0 }$
48. $\left( 3 x ^ { 2 } y \right) ^ { 0 }$
49. $- 5 x ^ { 0 }$
50. $3 x ^ { 2 } y ^ { 0 }$
51. $\left( - 2 a ^ { 2 } b ^ { 0 } c ^ { 3 } \right) ^ { 5 }$
52. $\left( - 3 a ^ { 4 } b ^ { 2 } c ^ { 0 } \right) ^ { 4 }$
53. $\frac { \left( 9 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z ^ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 3 x y ^ { 2 } }$
54. $\frac { \left( - 5 x ^ { 0 } y ^ { 5 } z \right) ^ { 3 } } { 25 y ^ { 2 } z ^ { 0 } }$
55. $- 2 x ^ { - 3 }$
56. $( - 2 x ) ^ { - 2 }$
57. $a ^ { 4 } \cdot a ^ { - 5 } \cdot a ^ { 2 }$
58. $b ^ { - 8 } \cdot b ^ { 3 } \cdot b ^ { 4 }$
59. $\displaystyle\frac { a ^ { 8 } \cdot a ^ { - 3 } } { a ^ { - 6 } }$
60. $\displaystyle\frac { b ^ { - 10 } \cdot b ^ { 4 } } { b ^ { - 2 } }$
61. $10 x ^ { - 3 } y ^ { 2 }$
62. $- 3 x ^ { - 5 } y ^ { - 2 }$
63. $3 x ^ { - 2 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 }$
64. $- 5 x ^ { - 4 } y ^ { - 2 } z ^ { 2 }$
65. $\displaystyle\frac { 25 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } } { 5 x ^ { - 1 } y ^ { - 3 } }$
66. $\displaystyle\frac { - 9 x ^ { - 1 } y ^ { 3 } z ^ { - 5 } } { 3 x ^ { - 2 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 } }$
67. $\left( - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } z \right) ^ { - 3 }$
68. $\left( - 7 x ^ { 2 } y ^ { - 5 } z ^ { - 2 } \right) ^ { - 2 }$
69. $\left( \displaystyle \frac { 2 x ^ { - 3 } z } { y ^ { 2 } } \right) ^ {- 5 }$
70. $\left( \displaystyle \frac { 5 x ^ { 5 } z ^ { - 2 } } { 2 y ^ { - 3 } } \right) ^ {- 3 }$
71. $\left( \displaystyle \frac { 12 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z } { 2 x ^ { 7 } y z ^ { 8 } } \right) ^ {3 }$
72. $\left( \displaystyle \frac { 150 x y ^ { 8 } z ^ { 2 } } { 90 x ^ { 7 } y ^ { 2 } z } \right) ^ {2 }$
73. $\left( \displaystyle \frac { - 9 a ^ { - 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 2 } } { 3 a ^ { 3 } b ^ { 5 } c ^ { - 7 } } \right) ^ {- 4 }$
74. $\left( \displaystyle \frac { - 15 a ^ { 7 } b ^ { 5 } c ^ { - 8 } } { 3 a ^ { - 6 } b ^ { 2 } c ^ { 3 } } \right) ^ {- 3 }$

Відповідь

1. $10^{11}$

3. $10$

5. $x^{5}$

7. $a^{9}$

9. $x^{4n}$

11. $x^{15}$

13. $x^{12}y^{15}$

15. $x^{8}y^{12}z^{16}$

17. $25x^{4}y^{2}z^{6}$

19. $x^{2n}y^{n}z^{5n}$

21. $x^{18}$

23. $a^{7}$

25. $(2x + 3)^{13}$

27. $(a + b)^{8}$

29. $15x^{3}y^{3}$

31. $−18x^{3}y^{2}z^{7}$

33. $15x^{n+2}y^{2n+1}$

35. $10x^{3}y$

37. $3a^{3}(a − 5b)^{8}$

39. $64x^{24}y^{12}z^{6}$

41. $- \displaystyle\frac { 27 a ^ { 3 } b ^ { 6 } } { 8 c ^ { 9 } }$

43. $\displaystyle\frac { 16 x ^ { 4 } y ^ { 16 } } { z ^ { 12 } }$

45. $\displaystyle\frac { x ^ { n } y ^ { 2 n } } { z ^ { 3 n } }$

47. $1$

49. $-5$

51. $- 32 a ^ { 10 } c ^ { 15 }$

53. $27 x ^ { 5 } y ^ { 2 }$

55. $- \displaystyle \frac { 2 } { x ^ { 3 } }$

57. $a$

59. $a^{11}$

61. $\displaystyle\frac { 10 y ^ { 2 } } { x ^ { 3 } }$

63. $\displaystyle\frac { 3 y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } z }$

65. $\displaystyle\frac { 5 y ^ { 5 } } { x ^ { 2 } }$

67. $- \displaystyle\frac { x ^ { 9 } } { 125 y ^ { 6 } z ^ { 3 } }$

69. $\displaystyle\frac { x ^ { 15 } y ^ { 10 } } { 32 z ^ { 5 } }$

71. $\displaystyle\frac { 216 y ^ { 3 } } { x ^ { 12 } z ^ { 21 } }$

73. $\displaystyle\frac { a ^ { 24 } b ^ { 4 } } { 81 c ^ { 20 } }$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вартість в доларах нового мобільного телефону можна оцінити, скориставшись формулою$V = 210(2t + 1)^{−1}$, де$t$ вказана кількість років після покупки.

1. Скільки коштував телефон новий?
2. Скільки буде коштувати телефон в$1$ рік?
3. Скільки буде коштувати телефон в$3$ роках?
4. Скільки буде коштувати телефон в$10$ роках?
5. Скільки буде коштувати телефон в$100$ роках?
6. Згідно з формулою, чи буде телефон коли-небудь марним? Поясніть.
7. Висота конкретного правого кругового конуса дорівнює квадрату радіуса підстави,$h = r^{2}$. Знайдіть формулу для обсягу в перерахунку на$r$.
8. Сфера має радіус$r = 3x^{2}$ .Знайти обсяг в перерахунку$x$.

Відповідь

1. $$210$

3. $$30$

5. $$1.04$

7. $V = \frac{1}{3} πr^{4}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Перетворити на десяткове число.

1. $5.2 \times 10^{8}$
2. $6.02 \times 10^{9}$
3. $1.02 \times 10^{−6}$
4. $7.44 \times 10^{−5}$

Відповідь

1. $520,000,000$

3. $0.00000102$

Вправа$\PageIndex{6}$

Перепишіть, використовуючи наукові позначення.

1. $7,050,000$
2. $430,000,000,000$
3. $0.00005001$
4. $0.000000231$

Відповідь

1. $7.05 \times 10^{6}$

3. $5.001 \times 10^{-5}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Виконайте операції.

1. $\left( 1.2 \times 10 ^ { 9 } \right) \left( 3 \times 10 ^ { 5 } \right)$
2. $\left( 4.8 \times 10 ^ { - 5 } \right) \left( 1.6 \times 10 ^ { 20 } \right)$
3. $\left( 9.1 \times 10 ^ { 23 } \right) \left( 3 \times 10 ^ { 10 } \right)$
4. $\left( 5.5 \times 10 ^ { 12 } \right) \left( 7 \times 10 ^ { - 25 } \right)$
5. $\frac { 9.6 \times 10 ^ { 16 } } { 1.2 \times 10 ^ { - 4 } }$
6. $\frac { 4.8 \times 10 ^ { - 14 } } { 2.4 \times 10 ^ { - 6 } }$
7. $\frac { 4 \times 10 ^ { - 8 } } { 8 \times 10 ^ { 10 } }$
8. $\frac { 2.3 \times 10 ^ { 23 } } { 9.2 \times 10 ^ { - 3 } }$
9. $987,000,000,000,000 \times 23,000,000$
10. $0.00000000024 \times 0.00000004$
11. $0.000000000522 \div 0.0000009$
12. $81,000,000,000 \div 0.0000648$
13. Щільність населення Землі відноситься до кількості людей на квадратну милю площі суші. Якщо загальна площа суші на Землі становить$5.751 \times 10^{7}$ квадратні милі, а населення в$2007$ оцінювалося як$6.67 \times 10^{9}$ люди, то обчисліть щільність населення Землі в той час.
14. $2008$Чисельність населення Нью-Йорка оцінювалася в$8.364$ мільйон чоловік. Загальна площа земельної ділянки становить$305$ квадратні милі. Розрахуйте щільність населення Нью Йорка.
15. Маса Землі -$5.97 \times 10^{24}$ кілограми, а маса Місяця -$7.35 \times 10^{22}$ кілограми. За яким фактором маса Землі більша за масу Місяця?
16. Маса Сонця -$1.99 \times 10^{30}$ кілограми, а маса Землі -$5.97 \times 10^{24}$ кілограми. За яким фактором маса Сонця більша за масу Землі? Висловіть свою відповідь в наукових позначеннях.
17. Радіус Сонця -$4.322 \times 10^{5}$ милі, а середня відстань від Землі до Місяця -$2.392 \times 10^{5}$ милі. За яким фактором радіус Сонця більше середньої відстані від Землі до Місяця?
18. Один світловий рік,$9.461 \times 10^{15}$ метри, - це відстань, яку світло проходить у вакуумі за один рік. Якщо відстань від нашого Сонця до найближчої зірки, Проксими Центавра, оцінюється як$3.991 \times 10^{16}$ метри, то обчисліть кількість років, яке знадобиться світло, щоб пройти цю відстань.
19. Підраховано, що на планеті налічується близько$1$ мільйона мурах на людину. Якщо населення світу оцінювалося в$6.67$ мільярд людей$2007$, то оцініть світову популяцію мурашок на той час.
20. Радіус землі -$6.3 \times 10^{6}$ метри, а радіус сонця -$7.0 \times 10^{8}$ метри. За яким фактором радіус Сонця більше радіуса Землі?
21. $1 \times 10^{9}$Гігабайт - це байти, а$1 \times 10^{6}$ мегабайт - байти. Якщо середня пісня в форматі MP3 споживає близько$4.5$ мегабайт пам'яті, то скільки пісень поміститься на$4$ -гігабайтної карті пам'яті?
22. Вода важить приблизно$18$ грам на моль. Якщо одна моль йде про$6 \times 10^{23}$ молекули, то приблизний вага кожної молекули води.

Відповідь

1. $3.6 \times 10^{14}$

3. $2.73 \times 10^{34}$

5. $8 \times 10^{20}$

7. $5 \times 10^{−19}$

9. $2.2701 \times 10^{22}$

11. $5.8 \times 10^{−4}$

13. Про$116$ людей на квадратну милю

15. $81.2$

17. $1.807$

19. $6.67 \times 10^{15} ants$

21. Приблизно$889$ пісні

Вправа$\PageIndex{8}$

1. Використовуйте цифри, щоб показати це$( x + y ) ^ { n } \neq x ^ { n } + y ^ { n }$.
2. Чому$0^{0}$ індетермінантний?
3. Поясніть початківцю алгебри учневі чому$2 ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 3 } \neq 4 ^ { 5 }$.
4. Рене Декарт ($1637$) встановив використання експоненціальної форми:$a^{2}, a^{3}$ і так далі. До цього, як позначалися експоненти?

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁰³$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$; добуток двох виразів з однаковою базою можна спростити шляхом додавання показників.

¹⁰⁴$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m n }$; потужність, піднята до влади, може бути спрощена шляхом множення показників.

¹⁰⁵$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$; якщо продукт піднімається до влади, то застосуйте цю потужність до кожного фактора продукту.

¹⁰⁶$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$; якщо частка підвищується до степеня, то застосуйте цю владу до чисельника та знаменника.

¹⁰⁷$x^{0} = 1$; будь-яка ненульова база, піднята до$0$ влади, визначається бути$1$.

¹⁰⁸$x^{−n} = \frac{1}{x^{n}}$, задано будь-яке ціле число$n$,$x$ де не нуль.

¹⁰⁹$\frac { x ^ { - n } } { y ^ { - m } } = \frac { y ^ { m } } { x ^ { n } }$, задано будь-які цілі числа$m$ і$n$, де$x ≠ 0$ і$y ≠ 0$.

¹¹⁰ Реальні числа виражаються у вигляді$a × 10^{n}$, де$n$ є ціле число і$1 ≤ a < 10$.

¹¹¹$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$; частка двох виразів з однаковою базою може бути спрощена шляхом віднімання показників.