1.3: Квадратні та кубові корені дійсних чисел

Цілі навчання

• Обчисліть точне і приблизне значення квадратного кореня дійсного числа.
• Обчисліть точне і приблизне значення кубового кореня дійсного числа.
• Спростити квадратний і кубічний корінь дійсного числа.
• Застосуйте теорему Піфагора.

Визначення квадратних і кубових коренів

Квадратний корінь ⁷⁴ числа - це число, яке при множенні на себе дає вихідне число. Наприклад,\(4\) це квадратний корінь\(16\), тому що\(4^{2}=16\). Так як\((−4)^{2}=16\), можна сказати, що\(−4\) це квадратний корінь\(16\), а також. Кожне додатне дійсне число має два квадратних кореня, один позитивний і один негативний. З цієї причини ми використовуємо знак радикала ⁷⁵ для\(√\) позначення головного (невід'ємного) квадратного кореня ⁷⁶ і негативний знак перед радикалом\(−√\) для позначення негативного квадратного кореня.

\(\sqrt { 16 } = 4 \color{Cerulean}{\:Positive\: Square\: Root\: of\: 16}\)

\(- \sqrt { 16 } = - 4 \color{Cerulean}{Negative\: Square\: Root\: of\: 16}\)

Нуль - єдине дійсне число з рівно одним квадратним коренем.

\(\sqrt{0} = 0\)

Якщо радиканд ⁷⁷, число всередині знака радикала, ненульовий і може враховуватися як квадрат іншого ненульового числа, то очевидний квадратний корінь числа. В даному випадку ми маємо наступну властивість:

\(\sqrt { a ^ { 2 } } = a , \text { if } a \geq 0\)

Важливо зазначити, що\(a\) потрібно бути ненегативними. Зверніть увагу, що\(\sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } } \neq - 3\) оскільки радикал позначає головний квадратний корінь. Замість цього

\(\sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 9 } = 3\)

Ця відмінність буде ретельно розглянута пізніше в курсі.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Знайдіть квадратний корінь:

1. \(\sqrt { 121 }\)
2. \(\sqrt { 0.25 }\)
3. \(\sqrt { \frac { 4 } { 9 } }\)

Рішення

1. \(\sqrt { 121 } = \sqrt { 11 ^ { 2 } } = 11\)
2. \(\sqrt { 0.25 } = \sqrt { 0.5 ^ { 2 } } = 0.5\)
3. \(\sqrt { \frac { 4 } { 9 } } = \sqrt { \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 3 }\)

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Знайдіть негативний квадратний корінь:

1. \(−\sqrt{64}\)
2. \(−\sqrt{1}\)

Рішення

1. \(- \sqrt { 64 } = - \sqrt { 8 ^ { 2 } } = - 8\)
2. \(- \sqrt { 1 } = - \sqrt { 1 ^ { 2 } } = - 1\)

Радиканд не завжди може бути ідеальним каре. Якщо натуральне число не є ідеальним квадратом, то його квадратний корінь буде ірраціональним. Розглянемо\(\sqrt{5}\), ми можемо отримати наближення, обмеживши його за допомогою ідеальних квадратів\(4\) і\(9\) наступним чином:

\(\begin{array} { c } { \sqrt { 4 } < \sqrt { 5 } < \sqrt { 9 } } \\ { 2 < \sqrt { 5 } < 3 } \end{array}\)

З цього робимо висновок, що\(\sqrt{5}\) знаходиться десь між\(2\) і\(3\). Це число краще наблизити на більшості калькуляторів за допомогою кнопки квадратного кореня,\(√\).

\(\sqrt { 5 } \approx 2.236 \mathrm { because } 2.236 \wedge 2 \approx 5\)

Далі розглянемо квадратний корінь від'ємного числа. Щоб визначити квадратний корінь\(−9\), ви повинні знайти число, яке, коли в квадраті призводить\(−9\),

\(\sqrt { - 9 } = \color{Cerulean}{?}\)\( \text { or } ( \color{Cerulean}{?} \)\( )^ { 2 } = - 9\)

Однак будь-яке дійсне число в квадраті завжди призводить до позитивного числа,

\(( 3 ) ^ { 2 } = 9 \text { and } ( - 3 ) ^ { 2 } = 9\)

Квадратний корінь від'ємного числа в даний час залишається невизначеною. Спробуйте\(\sqrt{-9}\) зробити розрахунок на калькуляторі; що це говорить? Наразі ми будемо констатувати, що\(\sqrt{−9}\) це не реальне число. Квадратний корінь від'ємного числа визначається пізніше в ході.

Кубичний корінь ⁷⁸ числа - це число, яке при помноженні на себе три рази дає початкове число. Крім того, ми позначаємо кубічний корінь за допомогою символу\(\sqrt [ 3 ] { }\), де\(3\) називається індекс ⁷⁹. Наприклад,

\(\sqrt [ 3 ] { 8 } = 2 , \text { because } 2 ^ { 3 } = 8\)

Твір трьох рівних факторів буде позитивним, якщо фактор позитивний, і негативним, якщо фактор негативний. З цієї причини будь-яке дійсне число матиме лише один реальний кубічний корінь. Звідси технічні особливості, пов'язані з основним коренем, не застосовуються. Наприклад,

\(\sqrt [ 3 ] { - 8 } = - 2 , \text { because } ( - 2 ) ^ { 3 } = - 8\)

Загалом, з огляду на будь-яке дійсне число\(a\), ми маємо наступну властивість:

\(\sqrt [ 3 ] { a ^ { 3 } } = a\)

Спрощуючи кубічні корені, шукайте фактори, які є ідеальними кубами.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть кубічний корінь:

1. \(\sqrt [ 3 ] { 125 }\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { 0 }\)
3. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 8 } { 27 } }\)

Рішення

1. \(\sqrt [ 3 ] { 125 } = \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 3 } } = 5\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { 0 } = \sqrt [ 3 ] { 0 ^ { 3 } } = 0\)
3. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 8 } { 27 } } = \sqrt [ 3 ] { \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 3 } } = \frac { 2 } { 3 }\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть кубічний корінь:

1. \(\sqrt [ 3 ] { - 27 }\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { - 1 }\)

Рішення

1. \(\sqrt [ 3 ] { - 27 } = \sqrt [ 3 ] { ( - 3 ) ^ { 3 } } = - 3\)
2. \(\sqrt [ 3 ] { - 1 } = \sqrt [ 3 ] { ( - 1 ) ^ { 3 } } = - 1\)

Може трапитися так, що радиканд не є ідеальним кубом. Якщо це так, то його кубічний корінь буде нераціональним. Наприклад,\(\sqrt [ 3 ] { 2 }\) це ірраціональне число, яке можна наблизити на більшості калькуляторів за допомогою кореневої\(\sqrt [ x ] { }\) кнопки. Залежно від калькулятора, ми зазвичай набираємо індекс перед натисканням кнопки, а потім радиканд наступним чином:

\( 3\:\:\: \sqrt [x] {y}\:\:\: 2\:\:\: =\)

Тому у нас є

\(\sqrt [ 3 ] { 2 } \approx 1.260 , \text { because } 1.260 \wedge 3 \approx 2\)

Ми продовжимо ці ідеї, використовуючи будь-яке ціле число як індекс пізніше в цьому курсі. Важливо зазначити, що квадратний корінь має індекс\(2\); отже, такі еквівалентні:

\(\sqrt [ 2 ] { a } = \sqrt { a }\)

Спрощення квадратних і кубічних коренів

Не завжди буде так, що радиканд - це ідеальне каре. Якщо ні, ми використовуємо наступні два властивості для спрощення виразу. Задані дійсні числа\(\sqrt [ n ] { A }\) і\(\sqrt [ n ] { B }\) де\(B ≠ 0\),

• Правило продукту для радикалів: ⁸⁰\[\sqrt [ n ] { A \cdot B } = \sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B }\]
• Частота правило для радикалів: ⁸¹\[\sqrt [ n ] { \frac { A } { B } } = \frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } }\]

Спрощений радикал ⁸² - це той, де радиканд не складається з будь-яких факторів, які можна записати як досконалі сили індексу. З огляду на квадратний корінь, ідея полягає в тому, щоб визначити найбільший квадратний коефіцієнт радиканда, а потім застосувати властивість, показану вище. Як приклад, щоб спростити\(\sqrt{12}\), зверніть увагу, що\(12\) це не ідеальне каре. Однак\(12\) має ідеальний квадратний коефіцієнт,\(12 = 4 ⋅ 3\). Застосовують властивість наступним чином:

\[ \begin{align*} \sqrt { 12 } &= \sqrt { 4 \cdot 3 } \quad\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\[4pt] &= \sqrt { 4 } \cdot \sqrt { 3 } \quad\color{Cerulean} {Simplify} \\[4pt] &= 2 \cdot \sqrt { 3 } \end{align*}\]

Число\(2 \sqrt{3}\) - спрощене ірраціональне число. Вас часто просять знайти приблизну відповідь, округлену до певного знака після коми. У такому випадку скористайтеся калькулятором, щоб знайти десяткове наближення, використовуючи або вихідну задачу, або спрощений еквівалент.

\(\sqrt { 12 } = 2 \sqrt { 3 } \approx 3.46\)

Як чек, розрахуйте\(\sqrt{12}\) і\(2\sqrt{3}\) на калькуляторі і переконайтеся, що результати обидва орієнтовні\(3.46\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Спростити:\(\sqrt{135}\).

Рішення

Почніть з пошуку найбільшого ідеального квадратного коефіцієнта\(135\).

\(\begin{aligned} 135 & = 3 ^ { 3 } \cdot 5 \\ & = 3 ^ { 2 } \cdot 3 \cdot 5 \\ & = 9 \cdot 15 \end{aligned}\)

Тому

\[ \begin{align*} \sqrt { 135 } &= \sqrt { 9 \cdot 15 } \quad\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\[4pt] &= \sqrt { 9 } \cdot \sqrt { 15 } \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\[4pt] &= 3 \cdot \sqrt { 15 }\end{align*}\]

Відповідь

\(3\sqrt{15}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити:\(\sqrt { \frac { 108 } { 169 } }\).

Рішення

Ми починаємо з пошуку простих факторизацій обох\(108\) і\(169\). Це дозволить нам легко визначити найбільші ідеальні квадратні коефіцієнти.

\[\begin{align*} 108 & = 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 3 } = 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } \cdot 3 \\ 169 & = 13 ^ { 2 } \end{align*}\]

Тому

\[ \begin{align*} \sqrt { \frac { 108 } { 169 } } &= \sqrt { \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } \cdot 3 } { 13 ^ { 2 } } }\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: and\: quotient\: rule\: for\: radicals.} \\[4pt] &= \frac { \sqrt { 2 ^ { 2 } } \cdot \sqrt { 3 ^ { 2 } } \cdot \sqrt { 3 } } { \sqrt { 13 ^ { 2 } } }\color{Cerulean}{Simplify.} \\[4pt] &= \frac { 2 \cdot 3 \cdot \sqrt { 3 } } { 13 } \\ & = \frac { 6 \sqrt { 3 } } { 13 } \end{align*}\]

Відповідь

\(\frac { 6 \sqrt { 3 } } { 13 }\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Спростити\(−5\sqrt{162}\).

Рішення

\[ \begin{align*} - 5 \sqrt { 162 } &= - 5 \cdot \sqrt { 81 \cdot 2 } \\[4pt] &= - 5 \cdot \color{Cerulean}{\sqrt { 81 } \cdot \sqrt { 2 }} \\[4pt] &= - 5 \cdot \color{Cerulean}{9 \cdot \sqrt { 2 }} \\[4pt] & = - 45 \cdot \sqrt { 2 } \\[4pt] & = - 45 \sqrt { 2 } \end{align*}\]

Відповідь

\(−45\sqrt{2}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спростити\(4\sqrt{150}\)

Відповідь

\(20\sqrt{6}\)

Корінь куба спрощується, якщо він не містить жодних факторів, які можна записати як ідеальні кубики. Ідея полягає в тому, щоб визначити найбільший кубічний коефіцієнт радиканда, а потім застосувати правило продукту або частки для радикалів. Як приклад, щоб спростити\(\sqrt [ 3 ] { 80 }\), зверніть увагу, що\(80\) це не ідеальний куб. Втім,\(80 = 8 ⋅ 10\) і ми можемо написати,

\[ \begin{align*} \sqrt [ 3 ] { 80 } &= \sqrt [ 3 ] { 8 \cdot 10 }\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\5pt] &= \sqrt [ 3 ] { 8 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 }\color{Cerulean}{Simplify.} \\[4pt] &= 2 \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 } \end{align*}\]

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Спростити\(\sqrt [ 3 ] { 162 }\)

Рішення

Почніть з пошуку найбільшого ідеального кубового коефіцієнта\(162\).

\(\begin{aligned} 162 & = 3 ^ { 4 } \cdot 2 \\ & = 3 ^ { 3 } \cdot 3 \cdot 2 \\ & = 27 \cdot 6 \end{aligned}\)

Тому

\(\sqrt [ 3 ] { 162 } = \sqrt [ 3 ] { 27 \cdot 6 }\color{Cerulean}{Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.}\)

\(= \sqrt [ 3 ] { 27 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\color{Cerulean}{Simplify.}\)

\(= 3 \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

Відповідь

\(3 \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Спростити:\(\sqrt [ 3 ] { - \frac { 16 } { 343 } }\).

Рішення

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { - \frac { 16 } { 343 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { - 1 \cdot 8 \cdot 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 7 ^ { 3 } } } \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { - 1 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 8 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 7 ^ { 3 } } } \\ & = \frac { - 1 \cdot 2 \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 7 } \\ & = \frac { - 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 7 } \end{aligned}\)

Відповідь

\(\frac { - 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } } { 7 }\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Спростити\(- 2 \sqrt [ 3 ] { - 256 }\).

Відповідь

\(8 \sqrt [ 3 ] { 4 }\)

www.youtube.com/В/ОезфрахФБ0А

Розглянемо наступні два розрахунки,

\(\begin{array} { l } { \sqrt { 81 } = \sqrt { 9 ^ { 2 } } = 9 } \\ { \sqrt { 81 } = \sqrt { 9 ^ { 2 } } = ( \sqrt { 9 } ) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = 9 } \end{array}\)

Зверніть увагу, що це не має значення, якщо ми застосовуємо експоненту спочатку або квадратний корінь спочатку. Це справедливо для будь-якого позитивного дійсного числа. У нас є наступне,

\(\sqrt { a ^ { 2 } } = ( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = a , \text { if } a \geq 0\)

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Спростити:\(( \sqrt { 10 } ) ^ { 2 }\).

Рішення

Застосовують той факт,\(( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = a\) що\(a\) він ненегативний.

\(( \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } = 10\)

Теорема Піфагора

Прямокутний трикутник ⁸³ - це трикутник, де вимірюється один з кутів\(90°\). Сторона, протилежна прямому куту, є найдовшою стороною, званої гіпотенузою ⁸⁴, а дві інші сторони називаються катетами ⁸⁵. Численні реальні програми передбачають цю геометричну фігуру. Теорема Піфагора ⁸⁶ стверджує, що при будь-якому прямокутному трикутнику з катетами вимірювання\(a\) і\(b\) одиницями квадрат міри гіпотенузи\(c\) дорівнює сумі квадратів мір катетів,\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Іншими словами, гіпотенуза будь-якого прямокутного трикутника дорівнює квадратному кореню суми квадратів його катетів.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Обчисліть діагональ квадрата зі сторонами виміру\(5\) одиниць.

Рішення

Діагональ квадрата утворює рівнобедрений прямокутний трикутник, де дві рівні ноги вимірюють\(5\) одиниці кожен.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Ми можемо використовувати теорему Піфагора для визначення довжини гіпотенузи.

\(\begin{aligned} c & = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \\ & = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } \\ & = \sqrt { 25 + 25 } \\ & = \sqrt { 50 } \\ & = \sqrt { 25 \cdot 2 } \\ & = \sqrt { 25 } \cdot \sqrt { 2 } \\ & = 5 \cdot \sqrt { 2 } \end{aligned}\)

Відповідь:\(5 \sqrt { 2 }\) одиниці

Теорема Піфагора фактично стверджує, що наявність довжин сторін, що задовольняють властивість,\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) є необхідною і достатньою умовою прямих трикутників. Іншими словами, якщо ми можемо показати, що сума квадратів довжин катетів трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи, то це повинен бути прямокутний трикутник.

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Визначте, трикутник з катетами\(a = 1\) см і\(b = 2\) см і гіпотенуза\(b = \sqrt{5}\) см - прямокутним трикутником.

Рішення

Якщо ноги задовольняють умові,\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) то теорема Піфагора гарантує, що трикутник - це прямокутний трикутник.

\(\begin{aligned} a ^ { 2 } + b ^ { 2 } & = c ^ { 2 } \\ ( 1 ) ^ { 2 } + ( 2 ) ^ { 2 } & = ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } \\ 1 + 4 & = 5 \\ 5 & = 5 \color{OliveGreen}{✓} \end{aligned}\)

Відповідь: Так, описаний трикутник - це прямокутний трикутник.

Ключові винос

• Квадратний корінь числа - це число, яке при квадраті призводить до вихідного числа. Основний квадратний корінь додатного дійсного числа є додатним квадратним коренем. Квадратний корінь від'ємного числа в даний час залишається невизначеною.
• Спрощуючи квадратний корінь числа, шукайте ідеальні квадратні множники радиканда. Застосовуйте продукт або часткове правило для радикалів, а потім спростіть.
• Корінь куба числа - це число, яке при кубічному виведенні призводить до початкового числа. Кожне дійсне число має лише один реальний кубічний корінь.
• Спрощуючи кубічні корені, шукайте ідеальні кубові фактори радиканда. Застосовуйте продукт або часткове правило для радикалів, а потім спростіть.
• Теорема Піфагора дає нам необхідну і достатню умову правильних трикутників:\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) якщо і тільки тоді\(a, b\) і\(c\) представляють довжини сторін прямокутного трикутника.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

1. \(\sqrt{81}\)
2. \(\sqrt{49}\)
3. \(-\sqrt{16}\)
4. \(−\sqrt{100}\)
5. \(\sqrt { \frac { 25 } { 16 } }\)
6. \(\sqrt { \frac { 9 } { 64 } }\)
7. \(\sqrt { \frac { 1 } { 4 } }\)
8. \(\sqrt { \frac { 1 } { 100 } }\)
9. \(\sqrt{-1}\)
10. \(\sqrt{-25}\)
11. \(\sqrt{036}\)
12. \(\sqrt{1.21}\)
13. \(\sqrt{(-5)^{2}}\)
14. \(\sqrt{(-6)^{2}}\)
15. \(2\sqrt{64}\)
16. \(3\sqrt{36}\)
17. \(-10\sqrt{4}\)
18. \(-8\sqrt{25}\)
19. \(\sqrt [ 3 ] { 64 }\)
20. \(\sqrt [ 3 ] { 125 }\)
21. \(\sqrt [ 3 ] { -27 }\)
22. \(\sqrt [ 3 ] { -1 }\)
23. \(\sqrt [ 3 ] { 0 }\)
24. \(\sqrt [ 3 ] { 0.008 }\)
25. \(\sqrt [ 3 ] { 0.064 }\)
26. \(-\sqrt [ 3 ] { -8 }\)
27. \(-\sqrt [ 3 ] { 1000 }\)
28. \(\sqrt [ 3 ] { ( - 8 ) ^ { 3 } }\)
29. \(\sqrt [ 3 ] { ( - 15 ) ^ { 3 } }\)
30. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 216 } }\)
31. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 27 } { 64 } }\)
32. \(\sqrt [ 3 ] { -\frac { 1 } { 8 } }\)
33. \(\sqrt [ 3 ] { -\frac { 1 } { 27 } }\)
34. \(5 \sqrt [ 3 ] { 343 }\)
35. \(4 \sqrt [ 3 ] { 512 }\)
36. \(- 10 \sqrt [ 3 ] { 8 }\)
37. \(- 6 \sqrt [ 3 ] { - 64 }\)
38. \(8 \sqrt [ 3 ] { - 8 }\)

Відповідь

1. \(9\)

3. \(−4\)

5. \(\frac{5}{4}\)

7. \(\frac{1}{2}\)

9. Чи не дійсне число.

11. \(0.6\)

13. \(5\)

15. \(16\)

17. \(−20\)

19. \(4\)

21. \(−3\)

23. \(0\)

25. \(0.4\)

27. \(−10\)

29. \(−15\)

31. \(\frac{3}{4}\)

33. \(−\frac{1}{3}\)

35. \(32\)

37. \(24\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте калькулятор для наближення до найближчої сотої.

1. \(\sqrt{3}\)
2. \(\sqrt{10}\)
3. \(\sqrt{19}\)
4. \(\sqrt{7}\)
5. \(3\sqrt{5}\)
6. \(-2\sqrt{3}\)
7. \(\sqrt [ 3 ] { 3 }\)
8. \(\sqrt [ 3 ] { 6 }\)
9. \(\sqrt [ 3 ] { 28 }\)
10. \(\sqrt [ 3 ] { 9 }\)
11. \(4\sqrt [ 3 ] { 10 }\)
12. \(-3\sqrt [ 3 ] { 12 }\)
13. Визначте множину, що складається з квадратів перших дванадцяти натуральних чисел.
14. Визначте множину, що складається з кубів перших дванадцяти натуральних чисел.

Відповідь

1. \(1.73\)

3. \(4.36\)

5. \(6.71\)

7. \(1.44\)

9. \(3.04\)

11. \(8.62\)

13. \(\{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144\}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Спростити.

1. \(\sqrt{18}\)
2. \(\sqrt{50}\)
3. \(\sqrt{24}\)
4. \(\sqrt{40}\)
5. \(\sqrt { \frac { 50 } { 81 } }\)
6. \(\sqrt { \frac { 54 } { 25 } }\)
7. \(4 \sqrt { 72 }\)
8. \(3 \sqrt { 27 }\)
9. \(-5 \sqrt { 80 }\)
10. \(-6 \sqrt { 128 }\)
11. \(3 \sqrt { -40 }\)
12. \(5 \sqrt { -160 }\)
13. \(\sqrt [ 3 ] { 16 }\)
14. \(\sqrt [ 3 ] { 54 }\)
15. \(\sqrt [ 3 ] { 81 }\)
16. \(\sqrt [ 3 ] { 24 }\)
17. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 48 } { 125 } }\)
18. \(\sqrt [ 3 ] { \frac { 135 } { 64 } }\)
19. \(7 \sqrt [ 3 ] { 500 }\)
20. \(25 \sqrt [ 3 ] { 686 }\)
21. \(- 2 \sqrt [ 3 ] { - 162 }\)
22. \(5 \sqrt [ 3 ] { - 96 }\)
23. \(( \sqrt { 64 } ) ^ { 2 }\)
24. \(( \sqrt { 25 } ) ^ { 2 }\)
25. \(( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
26. \(( \sqrt { 6 } ) ^ { 2 }\)

Відповідь

1. \(3\sqrt{2}\)

3. \(2\sqrt{6}\)

5. \(\frac { 5 \sqrt { 2 } } { 9 }\)

7. \(24\sqrt{2}\)

9. \(-20\sqrt{5}\)

11. Чи не дійсне число.

13. \(2 \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

15. \(3 \sqrt [ 3 ] { 3 }\)

17. \(\frac { 2 \sqrt [ 3 ] { 6 } } { 5 }\)

19. \(35 \sqrt [ 3 ] { 4 }\)

21. \(6 \sqrt [ 3 ] { 6 }\)

23. 64

25. 2

Вправа\(\PageIndex{6}\)

1. Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють\(3\)\(4\) одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
2. Якщо два катета прямокутного трикутника вимірюють\(6\)\(8\) одиниці і одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
3. Якщо два рівних катета рівнобедреного прямокутного трикутника вимірюють\(7\) одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
4. Якщо два рівних катета рівнобедреного прямокутного трикутника вимірюють\(10\) одиниці, то знайдіть довжину гіпотенузи.
5. Обчисліть діагональ квадрата зі сторонами, що вимірюють\(3\) сантиметри.
6. Обчисліть діагональ квадрата зі сторонами, що вимірюють\(10\) сантиметри.
7. Обчисліть діагональ квадрата зі сторонами, що вимірюють\(\sqrt{6}\) сантиметри.
8. Обчисліть діагональ квадрата зі сторонами, що вимірюють\(\sqrt{10}\) сантиметри.
9. Обчисліть довжину діагоналі прямокутника з розмірами\(4\) сантиметри на\(8\) сантиметри.
10. Обчисліть довжину діагоналі прямокутника з розмірами\(8\) метрів на\(10\) метри.
11. Обчисліть довжину діагоналі прямокутника з розмірами\(\sqrt{3}\) метрів на\(2\) метри.
12. Обчисліть довжину діагоналі прямокутника з розмірами\(\sqrt{6}\) метрів на\(\sqrt{10}\) метри.
13. Щоб новобудовані ворота були квадратними, виміряна діагональ повинна відповідати відстані, розрахованому за теоремою Піфагора. Якщо ворота вимірюють\(4\) ноги ногами\(4\), що повинна вимірювати діагональ в дюймах? (Округлення до найближчої десятої частини дюйма.)
14. Якщо дверна рама вимірює\(3.5\) ноги ногами\(6.6\), що потрібно вимірювати діагональ, щоб гарантувати, що рама є ідеальним прямокутником?

Відповідь

1. \(5\)одиниць

3. \(7\sqrt{2}\)одиниць

5. \(3\sqrt{2}\)сантиметри

7. \(2\sqrt{3}\)сантиметри

9. \(4\sqrt{5}\)сантиметри

11. \(\sqrt{7}\)метрів

13. Діагональ повинна вимірювати приблизно\(67.9\) дюйми.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Визначте, чи є даний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c прямокутним трикутником чи ні.

1. \(a = 3, b = 7,\)і\(c = 10\)
2. \(a = 5, b = 12,\)і\(c = 13\)
3. \(a = 8, b = 15,\)і\(c = 17\)
4. \(a = 7, b = 24,\)і\(c = 30\)
5. \(a = 3, b = 2,\)і\(c = \sqrt{13}\)
6. \(a = \sqrt{7}, b = 4,\)і\(c = \sqrt{11}\)
7. \(a = 4, b = \sqrt{3} ,\)і\(c = \sqrt{19}\)
8. \(a = \sqrt{6} , b = \sqrt{15} , and \(c = 21\)

Відповідь

1. Чи не прямокутний трикутник.

3. Прямокутний трикутник.

5. Прямокутний трикутник.

7. Прямокутний трикутник.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

1. Що говорить ваш калькулятор після взяття квадратного кореня негативного числа? Поділіться своїми результатами на дискусійній дошці та поясніть, чому це говорить.
2. Дослідіть і обговоріть історію теореми Піфагора.
3. Дослідіть і обговоріть історію квадратного кореня.
4. Обговоріть важливість основного квадратного кореня. Чому ж таке ж питання не придумують кубові коріння? Наведіть кілька прикладів зі своїм поясненням.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁷⁴ Це число, яке при множенні на себе дає початкове число.

⁷⁵ Символ,\(√\) який використовується для позначення квадратного кореня.

⁷⁶ Невід'ємний квадратний корінь.

⁷⁷ Число в межах радикала.

⁷⁸ Число, яке при множенні на себе три рази дає початкове число, позначається\(\sqrt [ 3 ] { }\).

⁷⁹ Натуральне число\(n\) в позначенні\(\sqrt [ n ] { }\), яке використовується для позначення n-го кореня.

⁸⁰ Дано дійсні числа\(\sqrt [ n ] { A }\) і\(\sqrt [ n ] { B }\),\(\sqrt [ n ] { A \cdot B } = \sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B }\)

⁸¹ Задано дійсні числа\(\sqrt [ n ] { A }\) і\(\sqrt [ n ] { B }\),\(\sqrt [ n ] { \frac { A } { B } } = \frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } }\).

⁸² Радикал, де радиканд не складається з будь-яких факторів, які можна записати як досконалі сили індексу.

⁸³ Трикутник з кутом, який вимірює\(90°\).

⁸⁴ Найдовша сторона прямокутного трикутника; це завжди буде сторона, протилежна прямому куту.

⁸⁵ Сторони прямокутного трикутника, які не є гіпотенузою.

⁸⁶ Гіпотенуза будь-якого прямокутного трикутника дорівнює квадратному кореню суми квадратів довжин катетів трикутника.