6.6: Розділити многочлени

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Розділити многочлен на моном
• Розділити многочлен на біноміал

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Додати:$\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте вправу 1.7.1.
2. Спрощення:$\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.5.37.
3. Поєднуйте подібні терміни:$8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 1.3.37.

Розділити многочлен на мономіал

В останньому розділі ви дізналися, як розділити мономіал на мономіал. Оскільки ви продовжуєте нарощувати свої знання про поліноми, наступна процедура полягає в тому, щоб розділити многочлен з двох або більше членів на мономіал.

Метод, який ми будемо використовувати для поділу многочлена на мономіал, заснований на властивостях додавання дробів. Отже, ми почнемо з прикладу для перегляду додавання дробу.

$\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}$

Тепер ми зробимо це в зворотному порядку, щоб розділити один дріб на окремі дроби.

Ми будемо стверджувати властивість додавання дробу тут так само, як ви дізналися його і навпаки.

ДОДАВАННЯ ФРАКЦІЇ

Якщо a, b і c - числа де$c\neq 0$, то

$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$$

Ми використовуємо форму зліва для додавання дробів і використовуємо форму праворуч, щоб розділити многочлен на моном.

$\begin{array}{ll}{\text { For example, }} & {\dfrac{y+2}{5}} \\ {\text { can be written }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}}\end{array}$

Цю форму додавання дробів ми використовуємо для поділу многочленів на мономи.

ДІЛЕННЯ ПОЛІНОМА НА МОНОМІАЛ

Щоб розділити многочлен на мономіал, розділіть кожен член многочлена на моном.

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть частку:$\dfrac{7 y^{2}+21}{7}$

Відповідь

$\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Знайдіть частку:$\dfrac{8 z^{2}+24}{4}$

Відповідь

$2 z^{2}+6$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть частку:$\dfrac{18 z^{2}-27}{9}$

Відповідь

$2 z^{2}-3$

Пам'ятайте, що поділ можна представити у вигляді дробу. Коли вас попросять розділити многочлен на мономіал і він вже не в дробовій формі, напишіть дріб з поліномом в чисельнику і моном в знаменнику.

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайдіть частку:$\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x$

Відповідь

$\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть частку:$\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b$

Відповідь

$9 b^{2}-11 b$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть частку:$\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y$

Відповідь

$5 y^{2}-11 y$

Коли ми ділимося на негатив, ми повинні бути особливо обережними зі знаками.

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайдіть частку:$\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}$

Відповідь

$\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть частку:$\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}$

Відповідь

$-5 y^{2}+3 y$

Вправа$\PageIndex{9}$

Знайдіть частку:$\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}$

Відповідь

$-7 b^{2}+3 b$

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайдіть частку:$\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}$

Відповідь

$\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Знайдіть частку:$\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}$

Відповідь

$15 d^{4}+6 d^{2}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Знайдіть частку:$\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}$

Відповідь

$36 p^{4}-8 p^{2}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Знайдіть частку:$\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)$

Відповідь

$\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Знайдіть частку:$\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)$

Відповідь

$-4 a+2 b$

Вправа$\PageIndex{15}$

Знайдіть частку:$\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)$

Відповідь

$8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Знайдіть частку:$\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}$

Відповідь

$\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Знайдіть частку:$\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}$

Відповідь

$5 x y+3 y-2 y^{2}$

Вправа$\PageIndex{15}$

Знайдіть частку:$\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}$

Відповідь

$5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Знайдіть частку:$\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}$

Відповідь

$\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Знайдіть частку:$\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}$

Відповідь

$3 c+1-\dfrac{3}{2 c}$

Вправа$\PageIndex{18}$

Знайдіть частку:$\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}$

Відповідь

$2 d-1-\dfrac{2}{5 d}$

Розділити многочлен на біноміал

Щоб розділити многочлен на біноміал, ми дотримуємося процедури, дуже схожою на довге ділення чисел. Отже, давайте уважно розглянемо кроки, які ми робимо, коли ми ділимо 3-значне число, 875, на 2-значне число, 25.

Пишемо довгий поділ
Ділимо перші дві цифри, 87, на 25.
Множимо 3 рази 25 і пишемо твір під 87.
Тепер віднімаємо 75 з 87.
Потім збиваємо третю цифру дивіденду, 5.
Повторіть процес, розділивши 25 на 125.

Перевіряємо ділення множенням частки на дільник.

Якщо ми зробили поділ правильно, продукт повинен дорівнювати дивідендам.

$$\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}$$

Тепер розділимо тріноміал на біноміал. Коли ви читаєте приклад, зверніть увагу, наскільки кроки схожі на числовий приклад вище.

Вправа$\PageIndex{19}$

Знайдіть частку:$\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)$

Відповідь

Напишіть це як довгу проблему поділу.
Переконайтеся, що дивіденди в стандартній формі.
Розділіть x ^2 на x. Це може допомогти запитати себе: «Що мені потрібно помножити x на, щоб отримати x ^2?»
Помістіть відповідь, x, у частку над терміном x.
Помножте x раз x + 5. Вибудовуйте подібні умови під дивідендами.
Відніміть х ^2 + 5 х з х ^2 + 9 х.
Потім збити останній термін, 20.
Розділіть 4 x на x. Це може допомогти запитати себе: «Що мені потрібно помножити x на, щоб отримати 4 х?»
Поставте відповідь, 4, в частку над постійним терміном.
Помножте 4 рази х + 5.
Відніміть 4 х + 20 з 4 х + 20.
Перевірка:
Помножте частку на дільник.
(х + 4) (х + 5)
Ви повинні отримати дивіденди.
х ^2 + 9 х + 20 ✓

Вправа$\PageIndex{20}$

Знайдіть частку:$\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)$

Відповідь

y+7

Вправа$\PageIndex{21}$

Знайдіть частку:$\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)$

Відповідь

м+5

Коли дільник має знак віднімання, ми повинні бути особливо обережними, коли множимо частковий частковий, а потім віднімаємо. Може бути безпечніше показати, що ми змінюємо знаки, а потім додаємо.

Вправа$\PageIndex{22}$

Знайдіть частку:$\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)$

Відповідь

Напишіть це як довгу проблему поділу.
Переконайтеся, що дивіденди в стандартній формі.
Розділіть 2 х ^2 на х. Помістіть відповідь, 2 x, у частку над терміном x.
Помножте 2 x на x − 3. Вибудовуйте подібні умови під дивідендами.
Відняти 2 х ^2 − 6 х з 2 х ^2 − 5 х. Змініть знаки, а потім додайте. Потім збиваємо останній термін.
Розділіть x на x. Поставте відповідь, 1, в частку над постійним терміном.
Помножте 1 раз x − 3.
Відніміть x − 3 від x − 3 шляхом зміни знаків та додавання.
Щоб перевірити, помножте (x − 3) (2 x + 1).
Результат має бути 2 x ^2 − 5 x − 3.

Вправа$\PageIndex{23}$

Знайдіть частку:$\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)$

Відповідь

2х+5

Вправа$\PageIndex{24}$

Знайдіть частку:$\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)$

Відповідь

3х+2

Коли ми розділили 875 на 25, у нас не було залишку. Але іноді ділення чисел залишає залишок. Те ж саме відбувається, коли ми ділимо многочлени. У Вправи$\PageIndex{25}$ ми будемо мати поділ, який залишає залишок. Запишемо залишок у вигляді дробу з дільником як знаменником.

Вправа$\PageIndex{25}$

Знайдіть частку:$\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)$

Відповідь

Напишіть це як довгу проблему поділу.
Переконайтеся, що дивіденди в стандартній формі.
Розділіть x ^3 на x. Помістіть відповідь, x ^2, у частку над терміном x ^2. Помножте x ^2 рази x + 1. Вибудовуйте подібні умови під дивідендами.
Відніміть x ^3+ x ^2 від x ^3 − x ^2 шляхом зміни знаків та додавання. Потім збийте наступний термін.
Розділіть −2 x ^2 на x. Помістіть відповідь, −2 x, у частку над терміном x. Помножте −2 x на x + 1. Вибудовуйте подібні умови під дивідендами.
Відніміть −2 x ^2 − 2 x від −2 x ^2 + x шляхом зміни знаків та додавання. Потім збиваємо останній термін.
Розділіть 3 x на x. Поставте відповідь, 3, в частку над постійним терміном. Помножте 3 рази x + 1. Вибудовуйте подібні умови під дивідендами.
Відніміть 3 х + 3 з 3 х + 4, змінивши знаки і додаючи. Запишіть залишок у вигляді дробу з дільником як знаменником.
Щоб перевірити, помножити$(x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)$ Результат повинен бути$x^{3}-x^{2}+x+4$

Вправа$\PageIndex{26}$

Знайдіть частку:$\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)$

Відповідь

$x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}$

Вправа$\PageIndex{27}$

Знайдіть частку:$\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)$

Відповідь

$2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}$

Озирніться назад на дивіденди в Приклад , Приклад та Приклад. Терміни писалися в порядку убування ступенів, і відсутніх ступенів не було. Дивіденд у прикладі буде$x^{4}-x^{2}+5 x-2$. У ньому відсутній$x^{3}$ термін. Ми додамо в$0x^{3}$ якості заповнювача.

Вправа$\PageIndex{28}$

Знайдіть частку:$\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)$

Відповідь

Зверніть увагу, що в дивіденді немає$x^{3}$ терміну. Ми додамо$0x^{3}$ як заповнювач.

Напишіть це як довгу проблему поділу. Переконайтеся, що дивіденди в стандартній формі з заповнювачами для відсутніх термінів.
Розділіть x ^4 на x. Помістіть відповідь, x ^3, у частку над терміном x ^3. Помножте x ^3 рази x + 2. Вибудовуйте подібні терміни. Відніміть, а потім збийте наступний термін.
Розділіть −2 x ^3 на x. Помістіть відповідь, ^−2 x 2, у частку над числом x ^2. Помножте ^−2 x 2 рази x + 1. Вибудовуйте подібні терміни. Відніміть і збийте наступний термін.
Розділіть 3 х ^2 на х. Помістіть відповідь, 3 x, у частку над терміном x. Помножте 3 x рази x + 1. Вибудовуйте подібні терміни. Відніміть і збийте наступний термін.
Розділити − x на x. Поставте відповідь, −1, у частку над постійним терміном. Помножте −1 раз x + 1. Вибудовуйте подібні терміни. Змінити знаки, додати.
Щоб перевірити, помножте$(x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)$
Результат повинен бути$x^{4}-x^{2}+5 x-2$

Вправа$\PageIndex{29}$

Знайдіть частку:$\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)$

Відповідь

$x^{2}-2 x+7$

Вправа$\PageIndex{30}$

Знайдіть частку:$\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)$

Відповідь

$x^{3}-8 x^{2}+40 x-200$

У Вправи$\PageIndex{31}$ ми розділимо на$2a−3$. Коли ми ділимо, нам доведеться розглянути константи, а також змінні.

Вправа$\PageIndex{31}$

Знайдіть частку:$\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)$

Відповідь

Цього разу ми покажемо поділ всього за один крок. Нам потрібно додати два заповнювачі для того, щоб розділити.

Щоб перевірити, помножте$(2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)$

Результат повинен бути$8 a^{3}+27$

Вправа$\PageIndex{32}$

Знайдіть частку:$\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)$

Відповідь

$x^{2}+4 x+16$

Вправа$\PageIndex{33}$

Знайдіть частку:$\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)$

Відповідь

$25 x^{2}+10 x+4$

Примітка

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з діленням поліномів:

• Розділити многочлен на мономіал
• Розділити многочлен на мономіал 2
• Розділити многочлен на біноміальний

Ключові концепції

• Додавання дробу
  • Якщо a, b і c - числа де$c\neq 0$, то
    $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ і$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$
    
• Ділення многочлена на мономіал
  • Щоб розділити многочлен на мономіал, розділіть кожен член многочлена на моном.