6.2: Використання властивостей множення показників

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Спрощення виразів за допомогою експонентів
• Спрощення виразів за допомогою властивості продукту для експонентів
• Спрощення виразів за допомогою властивості Power для експонентів
• Спрощення виразів за допомогою продукту до властивості живлення
• Спрощення виразів за допомогою застосування декількох властивостей
• Множення мономіалів

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спрощення:$\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 1.6.13.
2. Спростити:$(−2)(−2)(−2)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправа 1.5.13.

Спрощення виразів за допомогою експонентів

Пам'ятайте, що показник вказує на повторне множення однієї і тієї ж величини. Наприклад,$2^4$ означає добуток$4$ факторів$2$, значить$2^4$ значить$2·2·2·2$.

Давайте розглянемо словниковий запас для виразів з показниками.

ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНЕ ПОЗНАЧЕННЯ

Це$a$ читається$m^{th}$ владі.

У$a^{m}$ виразі показник$m$ вказує нам, скільки разів ми використовуємо базу a як фактор.

Перш ніж ми почнемо працювати зі змінними виразами, що містять експоненти, давайте спростимо кілька виразів, що включають тільки числа.

Приклад$\PageIndex{1}$

Спростити:

1. $4^{3}$
2. $7^{1}$
3. $\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$
4. $(0.63)^{2}$

Відповідь

1. $\begin{array}{ll} & 4^{3}\\ {\text { Multiply three factors of } 4 .} & {4 \cdot 4 \cdot 4} \\ {\text { Simplify. }} & {64}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll} & 7^{1}\\ \text{Multiply one factor of 7.} & 7\end{array}$
3. $\begin{array}{ll} &\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\ {\text { Multiply two factors. }} & {\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)} \\ {\text { Simplify. }} & {\frac{25}{36}}\end{array}$
4. $\begin{array}{ll} &(0.63)^{2}\\ {\text { Multiply two factors. }} & {(0.63)(0.63)} \\ {\text { Simplify. }} & {0.3969}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{2}$

Спростити:

1. $6^{3}$
2. $15^{1}$
3. $\left(\frac{3}{7}\right)^{2}$
4. $(0.43)^{2}$

Відповідь

1. 216
2. 15
3. $\frac{9}{49}$
4. 0,1849

Приклад$\PageIndex{3}$

Спростити:

1. $2^{5}$
2. $21^{1}$
3. $\left(\frac{2}{5}\right)^{3}$
4. $(0.218)^{2}$

Відповідь

1. 32
2. 21
3. $\frac{8}{125}$
4. 0.047524

Приклад$\PageIndex{4}$

Спростити:

1. $(-5)^{4}$
2. $-5^{4}$

Відповідь

1. $\begin{array}{ll} &(-5)^{4}\\{\text { Multiply four factors of }-5} & {(-5)(-5)(-5)} \\ {\text { Simplify. }} & {625}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll} &-5^{4}\\{\text { Multiply four factors of } 5 .} & {-(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)} \\ {\text { Simplify. }} & {-625}\end{array}$

Зверніть увагу на подібності та відмінності в прикладі$\PageIndex{4}$ частини 1 і Приклад$\PageIndex{4}$ частини 2! Чому відповіді різні? Коли ми стежимо за порядком операцій у частині 1, дужки говорять нам про те,$(−5)$ щоб підняти їх до ^4-ї потужності. У частині 2 ми піднімаємо якраз$5$ до ^4-ї потужності, а потім приймаємо протилежну.

Приклад$\PageIndex{5}$

Спростити:

1. $(-3)^{4}$
2. $-3^{4}$

Відповідь

1. 81
2. −81

Приклад$\PageIndex{6}$

Спростити:

1. $(-13)^{4}$
2. $-13^{4}$

Відповідь

1. 169
2. −169

Спрощення виразів за допомогою властивості продукту для експонентів

Ви бачили, що коли ви комбінуєте подібні терміни шляхом додавання та віднімання, вам потрібно мати однакову базу з однаковим показником. Але коли ви множите і ділите, показники можуть бути різними, а іноді основи можуть бути різними, теж.

Ми виведемо властивості експонентів, шукаючи шаблони в декількох прикладах.

Для початку ми розглянемо приклад, який веде до Product Product Property.

Що це означає? Скільки факторів взагалі?
Отже, у нас є
Зверніть увагу, що 5 - це сума показників, 2 і 3.

Пишемо: $$\begin{array}{c}{x^{2} \cdot x^{3}} \\ {x^{2+3}} \\ {x^{5}}\end{array}$$

База залишилася такою ж, і ми додали експоненти. Це призводить до властивості продукту для експонентів.

ВЛАСТИВІСТЬ ПРОДУКТУ ДЛЯ ПОКАЗНИКІВ

Якщо$a$ є дійсним числом,$m$ і$n$ підраховують числа, то

$$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$$

Щоб помножити з подібними основами, додайте показники.

Приклад з цифрами допомагає перевірити цю властивість.

$$\begin{array}{rll} {2^3\cdot2^2} &\stackrel{?}{=} & 2^{2+3}\\ {4\cdot 8} &\stackrel{?}{=} & 2^{5} \\ {32} &=& 32\checkmark\end{array}$$

Приклад$\PageIndex{7}$

Спростити:$y^{5} \cdot y^{6}$

Відповідь

Використовувати властивість продукту,$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{8}$

Спростити:$b^{9} \cdot b^{8}$

Відповідь

$b^{17}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Спростити:$x^{12} \cdot x^{4}$

Відповідь

$x^{16}$

Приклад$\PageIndex{10}$

Спростити:

1. $2^{5} \cdot 2^{9}$
2. $3\cdot 3^{4}$

Відповідь

а.

Використовувати властивість продукту,$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$.
Спростити.

б.

Використовувати властивість продукту,$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{11}$

Спростити:

1. $5\cdot 5^{5}$
2. $4^{9} \cdot 4^{9}$

Відповідь

1. $5^{6}$
2. $4^{18}$

Приклад$\PageIndex{12}$

Спростити:

1. $7^{6} \cdot 7^{8}$
2. $10 \cdot 10^{10}$

Відповідь

1. $7^{14}$
2. $10^{11}$

Приклад$\PageIndex{13}$

Спростити:

1. $a^{7} \cdot a$
2. $x^{27} \cdot x^{13}$

Відповідь

а.

Рерайт,$a = a^1$
Використовувати властивість продукту,$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$.
Спростити.

б.

Зверніть увагу, основи однакові, тому додайте експоненти.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{14}$

Спростити:

1. $p^{5} \cdot p$
2. $y^{14} \cdot y^{29}$

Відповідь

1. $p^{6}$
2. $y^{43}$

Приклад$\PageIndex{15}$

Спростити:

1. $z \cdot z^{7}$
2. $b^{15} \cdot b^{34}$

Відповідь

1. $z^{8}$
2. $b^{49}$

Ми можемо розширити властивість продукту для експонентів до більш ніж двох факторів.

Приклад$\PageIndex{16}$

Спростити:$d^{4} \cdot d^{5} \cdot d^{2}$

Відповідь

Додайте експоненти, оскільки основи однакові.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{17}$

Спростити:$x^{6} \cdot x^{4} \cdot x^{8}$

Відповідь

$x^{18}$

Приклад$\PageIndex{18}$

Спростити:$b^{5} \cdot b^{9} \cdot b^{5}$

Відповідь

$b^{19}$

Спрощення виразів за допомогою властивості влади для експонентів

Тепер давайте розглянемо експоненціальний вираз, який містить владу, підняту до влади. Подивіться, чи зможете ви відкрити загальну власність.

Що це означає? Скільки факторів взагалі?
Отже, у нас є
Зверніть увагу, що 6 є добутком показників, 2 і 3.

Пишемо:

$$\begin{array}{c}{\left(x^{2}\right)^{3}} \\ {x^{2 \cdot 3}} \\ {x^{6}}\end{array}$$

Ми помножили показники. Це призводить до властивості влади для експонентів.

ВЛАСТИВІСТЬ ПОТУЖНОСТІ ДЛЯ ПОКАЗНИКІВ

Якщо$a$ є дійсним числом, а$m$ і$n$ є цілими числами, то

$$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}$$

Щоб підняти силу до сили, помножте показники.

Приклад з цифрами допомагає перевірити цю властивість.

$$\begin{array} {lll} \left(3^{2}\right)^{3} &\stackrel{?}{=}&3^{2 \cdot 3} \\(9)^{3} &\stackrel{?}{=} & 3^{6} \\ 729 &=&729\checkmark \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{19}$

Спростити:

1. $\left(y^{5}\right)^{9}$
2. $\left(4^{4}\right)^{7}$

Відповідь

а.

Використовуйте властивість влади,$\big(a^m\big)^n = a^{m\cdot n}$.
Спростити.

б.

Використовуйте властивість power.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{20}$

Спростити:

1. $\left(b^{7}\right)^{5}$
2. $\left(5^{4}\right)^{3}$

Відповідь

1. $b^{35}$
2. $5^{12}$

Приклад$\PageIndex{21}$

Спростити:

1. $\left(z^{6}\right)^{9}$
2. $\left(3^{7}\right)^{7}$

Відповідь

1. $z^{54}$
2. $3^{49}$

Спрощення виразів за допомогою продукту до властивості живлення

Зараз ми розглянемо вираз, що містить продукт, який піднятий до влади. Чи можете ви знайти цю закономірність?

$\begin{array}{ll}{\text { What does this mean? }} & {\text { (2x) }^{3}} \\ {\text { We group the like factors together. }} & {2 x \cdot 2 x \cdot 2 x} \\ {\text { How many factors of } 2 \text { and of } x ?} & {2 \cdot 2 \cdot x^{3}} \\ {\text { Notice that each factor was raised to the power and }(2 x)^{3} \text { is } 2^{3} \cdot x^{3}}\end{array}$

$\begin{array}{ll}\text{We write:} & {(2 x)^{3}} \\ & {2^{3} \cdot x^{3}}\end{array}$

Показник застосовується до кожного з факторів! Це призводить до продукту до властивості влади для експонентів.

ПРОДУКТ ДО ВЛАСТИВОСТІ ВЛАДИ ДЛЯ ПОКАЗНИКІВ

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами і$m$ є цілим числом, то

$$(a b)^{m}=a^{m} b^{m}$$

Щоб підняти продукт до влади, підніміть кожен фактор до цієї сили.

Приклад з цифрами допомагає перевірити це властивість:

\ [\ begin {масив} {lll} (2\ dot 3) ^ {2} &\ стекер {?} {=} &2^ {2}\ крапка 3^ {2}\\ 6^ {2} &\ стекер {?} {=} &4\ cdot 9\\ 36 &=&36
\ галочка\ кінець {масив}\]

Приклад$\PageIndex{22}$

Спростити:

1. $(-9 d)^{2}$
2. $(3mn)^{3}$.

Відповідь

а.

Використовувати силу властивості продукту,$(ab)^m=a^m b^m$.
Спростити.

б.

Використовувати силу властивості продукту,$(ab)^m=a^m b^m$.
Спростити.

Приклад$\PageIndex{23}$

Спростити:

1. $(-12 y)^{2}$
2. $(2 w x)^{5}$

Відповідь

1. $144y^{2}$
2. $32w^{5} x^{5}$

Приклад$\PageIndex{24}$

Спростити:

1. $(5 w x)^{3}$
2. $(-3 y)^{3}$

Відповідь

1. 125$w^{3} x^{3}$
2. $-27 y^{3}$

Спрощення виразів за допомогою застосування декількох властивостей

Тепер у нас є три властивості для множення виразів з показниками. Давайте підсумуємо їх, а потім ми зробимо кілька прикладів, які використовують більше одного з властивостей.

ВЛАСТИВОСТІ ПОКАЗНИКІВ

Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами, а$m$ і$n$ є цілими числами, то

$$\begin{array}{llll} \textbf{Product Property } & a^{m} \cdot a^{n}&=&a^{m+n} \\ \textbf {Power Property } &\left(a^{m}\right)^{n}&=&a^{m n} \\ \textbf {Product to a Power } &(a b)^{m}&=&a^{m} b^{m} \end{array}$$

Усі властивості експоненти мають значення true для будь-яких дійсних чисел$m$ і$n$. Зараз ми використовуємо лише цілі показники кількості.

Приклад$\PageIndex{25}$

Спростити:

1. $\left(y^{3}\right)^{6}\left(y^{5}\right)^{4}$
2. $\left(-6 x^{4} y^{5}\right)^{2}$

Відповідь

1. $\begin{array}{ll}& \left(y^{3}\right)^{6}\left(y^{5}\right)^{4}\\ {\text { Use the Power Property. }}& y^{18} \cdot y^{20} \\ {\text { Add the exponents. }} & y^{38} \end{array}$
2. $\begin{array}{ll}& \left(-6 x^{4} y^{5}\right)^{2}\\ {\text { Use the Product to a Power Property. }} & {(-6)^{2}\left(x^{4}\right)^{2}\left(y^{5}\right)^{2}} \\ {\text { Use the Power Property. }} & {(-6)^{2}\left(x^{8}\right)\left(y^{10}\right)^{2}} \\ {\text { Simplify. }} & {36 x^{8} y^{10}}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{26}$

Спростити:

1. $\left(a^{4}\right)^{5}\left(a^{7}\right)^{4}$
2. $\left(-2 c^{4} d^{2}\right)^{3}$

Відповідь

1. $a^{48}$
2. $-8 c^{12} d^{6}$

Приклад$\PageIndex{27}$

Спростити:

1. $\left(-3 x^{6} y^{7}\right)^{4}$
2. $\left(q^{4}\right)^{5}\left(q^{3}\right)^{3}$

Відповідь

1. 81$x^{24} y^{28}$
2. $q^{29}$

Приклад$\PageIndex{28}$

Спростити:

1. $(5 m)^{2}\left(3 m^{3}\right)$
2. $\left(3 x^{2} y\right)^{4}\left(2 x y^{2}\right)^{3}$

Відповідь

1. $\begin{array}{ll}& (5 m)^{2}\left(3 m^{3}\right)\\{\text { Raise } 5 m \text { to the second power. }} & {5^{2} m^{2} \cdot 3 m^{3}} \\ {\text { Simplify. }} & {25 m^{2} \cdot 3 m^{3}} \\ {\text { Use the Commutative Property. }} & {25 \cdot 3 \cdot m^{2} \cdot m^{3}} \\ {\text { Multiply the constants and add the exponents. }} & {75 m^{5}}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll} & \left(3 x^{2} y\right)^{4}\left(2 x y^{2}\right)^{3} \\ \text{Use the Product to a Power Property.} & \left(3^{4} x^{8} y^{4}\right)\left(2^{3} x^{3} y^{6}\right)\\\text{Simplify.} & \left(81 x^{8} y^{4}\right)\left(8 x^{3} y^{6}\right)\\ \text{Use the Commutative Property.} &81\cdot 8 \cdot x^{8} \cdot x^{3} \cdot y^{4} \cdot y^{6} \\\text{Multiply the constants and add the exponents.} & 648x^{11} y^{10}\\ \end{array}$

Приклад$\PageIndex{29}$

Спростити:

1. $(5 n)^{2}\left(3 n^{10}\right)$
2. $\left(c^{4} d^{2}\right)^{5}\left(3 c d^{5}\right)^{4}$

Відповідь

1. 75$n^{12}$
2. 81$c^{24} d^{30}$

Приклад$\PageIndex{30}$

Спростити:

1. $\left(a^{3} b^{2}\right)^{6}\left(4 a b^{3}\right)^{4}$
2. $(2 x)^{3}\left(5 x^{7}\right)$

Відповідь

1. 256$a^{22} b^{24}$
2. 40$x^{10}$

Множення мономіалів

Оскільки мономіал - це алгебраїчний вираз, ми можемо використовувати властивості експонент для множення мономов.

Приклад$\PageIndex{31}$

Помножити:$\left(3 x^{2}\right)\left(-4 x^{3}\right)$

Відповідь

\ (\ begin {масив} {ll} &\ left (3 x^ {2}\ праворуч)\ left (-4 x^ {3}\ right)\\ text {Використовуйте комутативну властивість для перестановки термінів.} & 3\ cdot (-4)\ cdot x^ {2}\ cdot x^ {3}\
\ текст {Множення.} & -12 x^ {5}\ кінець {масив}\)

Приклад$\PageIndex{32}$

Помножити:$\left(5 y^{7}\right)\left(-7 y^{4}\right)$

Відповідь

$-35 y^{11}$

Приклад$\PageIndex{33}$

Помножити:$\left(-6 b^{4}\right)\left(-9 b^{5}\right)$

Відповідь

54$b^{9}$

Приклад$\PageIndex{34}$

Помножити:$\left(\frac{5}{6} x^{3} y\right)\left(12 x y^{2}\right)$

Відповідь

$\begin{array}{ll} & \left(\frac{5}{6} x^{3} y\right)\left(12 x y^{2}\right)\\ \text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.} & \frac{5}{6} \cdot 12 \cdot x^{3} \cdot x \cdot y \cdot y^{2}\\ \text{Multiply.} &10x^{4} y^{3}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{35}$

Помножити:$\left(\frac{2}{5} a^{4} b^{3}\right)\left(15 a b^{3}\right)$

Відповідь

6$a^{5} b^{6}$

Приклад$\PageIndex{36}$

Помножити:$\left(\frac{2}{3} r^{5} s\right)\left(12 r^{6} s^{7}\right)$

Відповідь

8$r^{11} s^{8}$

Примітка

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з використанням властивостей множення показників:

• Властивості множення показників

Ключові концепції

• Експоненціальне позначення
  
• Властивості експонентів
  • Якщо$a$ і$b$ є дійсними числами і$m$ і$n$ є цілими числами, то

$$\begin{array}{llll} \textbf{Product Property } & a^{m} \cdot a^{n}&=&a^{m+n} \\ \textbf {Power Property } &\left(a^{m}\right)^{n}&=&a^{m n} \\ \textbf {Product to a Power } &(a b)^{m}&=&a^{m} b^{m} \end{array}$$