5.7: Спеціальні продукти

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58300

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цей розділ присвячений поясненню ряду важливих ярликів для множення біноміалів. Це надзвичайно важливі шаблони, які дозволять виробляти ті ж продукти, обчислені в попередніх розділах. Важливо, щоб читачі практикували, поки вони не стануть ефективними, використовуючи кожен із шаблонів, представлених у цьому розділі.

Метод ФОЛЬГИ

Розглянемо добуток двох біноміалів\((x + 3)(x + 6)\). Ми вже знаємо, як знайти добуток цих двох двочленів; ми\(x\) множимо на обидва члени\(x + 6\), потім\(3\) множимо на обидва члени\(x + 6\).

\[(x+3)(x+6)=x^{2}+6 x+3 x+18 \nonumber \]

Зазвичай ми поєднуємо подібні терміни, але ми зупиняємо процес на цьому етапі, щоб ввести шаблон, який називається методом FOIL. Букви в слові FOIL означають «Перший», «Зовнішній», «Внутрішній» та «Останній».

Давайте подивимося, як ми можемо підключити ці умови до продукту\((x+3)(x+6)\).

Стрілки вказують терміни в позиціях «Перший» в кожному біноміале. Якщо помножити члени в позиції «Перший», то вийде\(x^2\). \[{\color {Red}\underbrace{\color {Black}(x+3)(x}_{F}}+6) \nonumber \]
Стрілки вказують терміни в позиціях «Зовнішній» в кожному біноміале. Якщо помножити члени в «Зовнішніх» позиціях, то вийде\(6x\). \[{\color {Red}\underbrace {\color {Black}(x+3)(x+6}_{O}}) \nonumber \]
Стрілки вказують терміни в «Внутрішніх» положеннях в кожному біноміале. Якщо помножити члени в «Внутрішніх» позиціях, то вийде\(3x\). \[(x+{\color {Red}\underbrace{\color {Black}{3)(x}}_{I}}+6) \nonumber \]
Стрілки вказують терміни в позиціях «Останній» в кожному біноміале. Якщо помножити члени в позиціях «Останній», то вийде\(18\). \[(x+{\color {Red}\underbrace{\color {Black}{3)(x+6}}_{L}}) \nonumber \]

Наступна діаграма показує зв'язок між «Перший», «Зовнішній», «Внутрішній», «Останній» та відповіддю.

\[(x+3)(x+6)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}{F} & {} & \color {Red}{O} & {} & \color {Red}{I} & {} & \color {Red}{L}\\ x^{2}&+&6x&+&3x&+&18\end{array} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Скористайтеся методом FOIL, щоб спростити:\((x + 5)(x + 7)\)

Рішення

Помножте позиції «Перші»:\(x^2\). Помножте «Зовнішні» позиції:\(7x\). Помножте «Внутрішні» позиції:\(5x\). Помножте позиції «Останні»:\(35\).

\[(x+5)(x+7)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}{F} & {} & \color {Red}{O} & {} & \color {Red}{I} & {} & \color {Red}{L}\\ x^{2}&+&7x&+&5x&+&35\end{array} \nonumber \]

Поєднуючи подібні терміни,\((x+5)(x+7)=x^{2}+12 x+35\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Спростити:\((x + 2)(x + 11)\)

Відповідь: \(x^{2}+13 x+22\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Скористайтеся методом FOIL, щоб спростити:\((2x−7)(x−4)\)

Рішення

Помножте позиції «Перші»:\(2x^2\). Помножте «Зовнішні» позиції:\(−8x\). Помножте «Внутрішні» позиції:\(−7x\). Помножте позиції «Останні»:\(28\).

\[(2x-7)(x-4)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}{F} & {} & \color {Red}{O} & {} & \color {Red}{I} & {} & \color {Red}{L}\\ 2x^{2}&-&8x&-&7x&+&28\end{array} \nonumber \]

Поєднуючи подібні терміни,\((2 x-7)(x-4)=2 x^{2}-15 x+28\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Спростити:\((x−1)(4x + 5)\)

Відповідь: \(4 x^{2}+x-5\)

На перший погляд, метод FOIL не схожий на значну частину ярлика. Адже якщо ми просто використовуємо дистрибутивне властивість на добутку Example\(\PageIndex{2}\), то отримаємо такий же швидкий результат.

\[\begin{aligned}(2 x-7)(x-4) &=2 x(x-4)-7(x-4) \\ &=2 x^{2}-8 x-7 x+28 \\ &=2 x^{2}-15 x+28 \end{aligned} \nonumber \]

Метод FOIL стає справжнім ярликом, коли ми додаємо результати «Outer» та «Inner» у нашій голові.

Фольга Ярлик

Щоб помножити два біноміали, виконайте наступні дії:

Помножте члени в позиціях «Перші».
Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і об'єднайте результати подумки (якщо вони схожі на терміни).
Помножте члени в позиціях «Останній».

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Скористайтеся ярликом FOIL, щоб спростити:\((3x + 8)(2x−1)\)

Рішення

Кожен з наступних етапів виконується подумки.

Помножте члени в позиціях «Перші»:\(6x^2\)
Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і додайте результати подумки:\(−3x + 16x = 13x\)
Помножте значення в позиціях «Останній»:\(−8\)

Напишіть відповідь без проміжних кроків:\((3 x+8)(2 x-1)=6 x^{2}+13 x-8\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Спростити:\((2z−3)(5z−1)\)

Відповідь: \(10 z^{2}-17 z+3\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Скористайтеся ярликом FOIL, щоб спростити:\((4y−3)(5y + 2)\)

Рішення

Кожен з наступних етапів виконується подумки.

Помножте члени в позиціях «Перші»:\(20y^2\)
Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і додайте результати подумки:\(8y−15y = −7y\)
Помножте значення в позиціях «Останній»:\(−6\)

Напишіть відповідь без проміжних кроків:\((4 y-3)(5 y+2)=20 y^{2}-7 y-6\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Спростити:\((7 x+2)(2 x-3)\)

Відповідь: \(14 x^{2}-17 x-6\)

Різниця квадратів

Ми можемо використовувати ярлик FOIL для множення\((a + b)(a−b)\).

Помножте члени в позиціях «Перші»:\(a^2\)
Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і додайте результати подумки:\(ab−ab =0\)
Помножте значення в позиціях «Останній»:\(−b^2\)

Таким чином,\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\). Зверніть увагу, як права сторона\(a^2 −b^2\) - це різниця двох квадратів. Це призводить до наступного ярлика.

Різниця квадратів

Якщо у вас є однакові терміни в позиціях «Перший» і ідентичні члени в позиціях «Останній», але один набір відокремлений знаком плюс, а інший розділений знаком мінус, то дійте наступним чином:

Квадратний термін «Перший».
Квадратний термін «Останній».
Помістіть знак мінус між результатами

Тобто,

\[(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} \nonumber \]

Примітка

Якщо у вас немає однакових термінів у позиціях «Перший» та «Останній», один набір розділений знаком плюс, а інший зі знаком мінус, то у вас немає різниці квадратів, і ви повинні знайти інший спосіб множення. Наприклад,\((x+3)(x−3)\) є прикладом відмінності квадратів візерунком, але не\((2y + 3)(2y−5)\) є.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Скористайтеся клавіатурним скороченням різниці квадратів, щоб спростити:\((x+3)(x− 3)\)

Рішення

Зверніть увагу, як терміни в позиції «Перший» ідентичні, як і терміни в позиції «Останній», причому один набір розділений знаком плюс, а інший зі знаком мінус. Отже, це різниця квадратів візерунка і ми чинимо наступним чином:

Квадратний термін у позиції «Перший»:\(x^2\)
Квадратний термін у позиції «Останній»:\((−3)^2 =9\)
Розділіть квадрати зі знаком мінус.

Тобто:

\[\begin{aligned}(x+3)(x-3) &=x^{2}-(3)^{2} \\ &=x^{2}-9 \end{aligned} \nonumber \]

Примітка

Ви повинні практикувати цю схему, поки ви не зможете перейти прямо від постановки завдання до відповіді, не записуючи жодної проміжної роботи, як в\((x + 3)(x−3) = x^2 −9\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Спростити:\((x + 5)(x−5)\)

Відповідь: \(x^{2}-25\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Скористайтеся клавіатурним скороченням різниці квадратів, щоб спростити:\((8y +7z)(8y−7z)\)

Рішення

Квадратний термін у позиції «Перший»:\((8y)^2 = 64 y^2\)
Квадратний термін у позиції «Останній»:\((7z)^2 = 49 z^2\)
Розділіть квадрати зі знаком мінус.

Тобто:

\[\begin{aligned}(8 y+7 z)(8 y-7 z) &=(8 y)^{2}-(7 z)^{2} \\ &=64 y^{2}-49 z^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Примітка

Ви повинні практикувати цю схему до тих пір, поки ви не зможете перейти прямо від постановки завдання до відповіді, не записуючи жодної проміжної роботи, як в\((8 y+7 z)(8 y-7 z)=64 y^{2}-49 z^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Спростити:\((3a−6b)(3a +6b)\)

Відповідь: \(9 a^{2}-36 b^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Скористайтеся клавіатурним скороченням різниці квадратів, щоб спростити:\(\left(x^{3}-5 y^{2}\right)\left(x^{3}+5 y^{2}\right)\)

Рішення

Квадратний термін у позиції «Перший»:\((x^3)^2 = x^6\)
Квадратний термін у позиції «Останній»:\((5y^2)^2 = 25 y^4\)
Розділіть квадрати зі знаком мінус.

Тобто:

\[\begin{aligned}\left(x^{3}-5 y^{2}\right)\left(x^{3}+5 y^{2}\right) &=\left(x^{3}\right)^{2}-\left(5 y^{2}\right)^{2} \\ &=x^{6}-25 y^{4} \end{aligned} \nonumber \]

Примітка

Ви повинні практикувати цю схему до тих пір, поки ви не зможете перейти прямо від постановки завдання до відповіді, не записуючи жодної проміжної роботи, як в\(\left(x^{3}-5 y^{2}\right)\left(x^{3}+5 y^{2}\right)=x^{6}-25 y^{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Спростити:\(\left(2 y^{4}+z^{3}\right)\left(2 y^{4}-z^{3}\right)\)

Відповідь: \(4 y^{8}-z^{6}\)

Квадратне біноміальне

Перш ніж продемонструвати правильну процедуру квадратування бінома, ми спочатку поділимося однією з найпоширеніших помилок, допущених в алгебрі.

Попередження! Це неправильно!

Однією з найпоширеніших помилок, допущених в алгебрі, є припущення, що:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} \nonumber \]

Те, що це неправильно, легко перевіряється. Замінник\(a\) і\(3\)\(4\) для\(b\).

\[\begin{aligned}(3+4)^{2} &=3^{2}+4^{2} \\ 7^{2} &=3^{2}+4^{2} \\ 49 &=9+16 \end{aligned} \nonumber \]

Ясно, що це неправильно!

Так що ж таке правильна відповідь? По-перше,\((a+b)^{2}=(a+b)(a+b)\). Тепер ми можемо використовувати ярлик FOIL.

Помножте члени в позиціях «Перші»:\(a^2\)
Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і додайте результати подумки:\(ab + ab =2ab\)
Помножте значення в позиціях «Останній»:\(b^2\)

Отже, правильна відповідь є\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\). Це призводить нас до наступного ярлика для квадратування біноміального.

Квадратування біноміального

Щоб зробити квадрат біном, наприклад\((a + b)^2\), виконайте наступні дії:

Квадратний термін «Перший»:\(a^2\)
Помножте «Перший» і «Останній» терміни і подвоюйте результат:\(2ab\)
Квадратний термін «Останній»:\(b^2\)

Тобто:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Скористайтеся квадратом біноміального клавіатурного скорочення, щоб розгорнути:\((x+5)^{2}\)

Рішення

Виконайте наступні дії:

Квадратний перший термін:\(x^2\)
Помножте «Перший» і «Останній» терміни і подвоюйте результат:\(2(x)(5) = 10x\)
Квадратний термін «Останній»:\(5^2 = 25\)

Таким чином:

\[\begin{aligned}(x+5)^{2} &=x^{2}+2(x)(5)+(5)^{2} \\ &=x^{2}+10 x+25 \end{aligned} \nonumber \]

Примітка

Ви повинні практикувати цю схему до тих пір, поки ви не зможете перейти прямо від постановки завдання до відповіді, не записуючи жодної проміжної роботи, як в\((x+5)^{2}=x^{2}+10 x+25\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Спростити:\((x+3)^{2}\)

Відповідь: \(x^{2}+6 x+9\)

Коментар

Студенти часто відмовляються вивчати ярлик «квадрат біноміального», відзначаючи, що вони можуть так само легко використовувати техніку FOIL або просте застосування розподільної властивості, щоб досягти того ж результату. На жаль, нездатність вивчити ярлик «квадрат біноміального» буде серйозно перешкоджати студентам, оскільки ця закономірність є важливою складовою багатьох процедур у майбутніх курсах математики.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Скористайтеся квадратом біноміального клавіатурного скорочення, щоб розгорнути:\((3 x+7 y)^{2}\)

Рішення

Виконайте наступні дії:

Квадратний перший термін:\((3x)^2 =9x^2\)
Помножте «Перший» і «Останній» терміни і подвоюйте результат:\(2(3x)(7y)= 42xy\)
Квадратний термін «Останній»:\((7y)^2 = 49 y^2\)

Таким чином:

\[\begin{aligned}(3 x+7 y)^{2} &=(3 x)^{2}+2(3 x)(7 y)+(7 y)^{2} \\ &=9 x^{2}+42 x y+49 y^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Примітка

Ви повинні практикувати цю схему до тих пір, поки ви не зможете перейти прямо від постановки завдання до відповіді, не записуючи жодної проміжної роботи, як в\((3 x+7 y)^{2}=9 x^{2}+42 x y+49 y^{2}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Спростити:\((2 y+3 z)^{2}\)

Відповідь: \(4 y^{2}+12 y z+9 z^{2}\)

У наступному прикладі при квадратиці двочлена зі знаком мінус подбаємо про знак мінус «додаючи протилежне».

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Скористайтеся квадратом біноміального клавіатурного скорочення, щоб розгорнути:\(\left(4 a^{2}-5 b^{3}\right)^{2}\)

Рішення

Додайте протилежне:\((4a^2−5b^3)^2 = (4 a^2+(−5b^3))^2\). Тепер виконайте наступні дії:

Квадратний перший термін:\((4a^2)^2 = 16 a^4\)
Помножте «Перший» і «Останній» терміни і подвоюйте результат:\(2(4a^2)(−5b^3)= −40a^2b^3\)
Квадратний термін «Останній»:\((−5b^3)^2 = 25 b^6\)

Таким чином:

\[\begin{aligned}\left(4 a^{2}-5 b^{3}\right)^{2} &=\left(4 a^{2}+\left(-5 b^{3}\right)\right)^{2} \\ &=\left(4 a^{2}\right)^{2}+2\left(4 a^{2}\right)\left(-5 b^{3}\right)+\left(-5 b^{3}\right)^{2} \\ &=16 a^{4}-40 a^{2} b^{3}+25 b^{6} \end{aligned} \nonumber \]

Примітка

Ви повинні практикувати цю схему до тих пір, поки ви не зможете перейти прямо від постановки завдання до відповіді, не записуючи жодної проміжної роботи, як в\[\left(4 a^{2}-5 b^{3}\right)^{2}=16 a^{4}-40 a^{2} b^{3}+25 b^{6} \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Спростити:\(\left(3 x^{4}-5 z^{2}\right)^{2}\)

Відповідь: \(9 x^{8}-30 x^{4} z^{2}+25 z^{4}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\) показує нам, що якщо ми беремо різницю в квадраті, середній термін буде мінус. Тобто єдина відмінність між\((a+b)^2\) і\((a−b)^2\) є ознакою середнього терміну.

Квадратування біноміального

Комбінації клавіш для зведення бінома в квадрат:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \nonumber \]

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Скористайтеся квадратом біноміального клавіатурного скорочення, щоб розгорнути:\(\left(x^{3}-y^{3}\right)^{2}\)

Рішення

Використовуйте викрійку\((a−b)^2 = a^2 −2ab+ b^2\). Квадратний «Перший» член, помножте «Перший» і «Останній» члени і подвоїти результат, а потім квадрат «Останній» термін. Через знака мінус середнім терміном буде мінус, а ось всі інші терміни - плюс.

\[\begin{aligned}\left(x^{3}-y^{3}\right)^{2} &=\left(x^{3}\right)^{2}-2\left(x^{3}\right)\left(y^{3}\right)+\left(y^{3}\right)^{2} \\ &=x^{6}-2 x^{3} y^{3}+y^{6} \end{aligned} \nonumber \]

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Спростити:\(\left(a^{2}-3 b^{5}\right)^{2}\)

Відповідь: \(a^{4}-6 a^{2} b^{5}+9 b^{10}\)

Додаток

У прикладі\(\PageIndex{7}\) ми знайшли площу зовнішнього квадрата шляхом підсумовування площ його частин (див. Рис.\(\PageIndex{1}\)). Нагадаємо, що відповідь була\(A = x^2 + 6x + 9\).

рис 5.7.1.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Знайдіть площу квадрата.

Тепер, коли у нас є квадрат біноміального ярлика, ми можемо спростити процес знаходження площі зовнішнього квадрата шляхом квадратизації його сторони. Тобто:

\[A=(x+3)^{2} \nonumber \]

Тепер ми можемо використовувати квадратичну біноміальну техніку для розширення.

\[\begin{array}{l}{=x^{2}+2(x)(3)+(3)^{2}} \\ {=x^{2}+6 x+9}\end{array} \nonumber \]

Зауважте, що це те саме, що і відповідь, знайдена шляхом підсумовування чотирьох частин квадрата в прикладі\(\PageIndex{7}\).