1.11: Множення поліноміальних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58003

Samar ElHitti, Marianna Bonanome, Holly Carley, Thomas Tradler, & Lin Zhou
CUNY New York City College of Technology & NYC College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми множимо многочлени. Для множення монома на многочлен нам потрібно розподілити моном, щоб помножити кожен член многочлена.

Теорема: Розподільний закон

\[a( b + c ) = ab + ac\]

Розподіляючи множники, ми можемо помножити мономіал на многочлен

Приклад$\PageIndex{1}$

Помножте терміни і спростіть.

а)$3\left(4 x^{2}+5 x\right)=12 x^{2}+15 x$

б)$2 p(4 p-7 q)=8 p^{2}-14 p q$

в)$-3 a\left(a^{2}-4 a+5\right)=-3 a^{3}+12 a^{2}-15 a$

г)\ (\ почати {вирівнювати*}
6 x+7 y+4 (3 х+2 у) &=6 х+7 y+12 x+8 y\
&=18 x+15 y
\ end {вирівнювати*}\)

e)\ (\ почати {вирівнювати*}
2\ ліворуч (3 x^ {2} +5\ праворуч) +3 x (4 x-2) &=6 x^ {2} +10+12 x^ {2} -6 x\\
&=18 x^ {2} -6 x+10
\ end {вирівня*}\)

f)\ (\ почати {вирівнювати*}
y^ {2} (y+3) -2 y (-y+5) -4\ ліворуч (2 y^ {2} +12 y+1\ праворуч) &=y^ {3} +3 y^ {2} +2 y^ {2} -10 y^ {2} -48 y-4\\
&=y^ {3} -3 y^ {2} -58 y-4
\ end {вирівнювати*}\)

g)\ (\ почати {вирівнювати*}
-4 a b (-a-3 b) +2 а\ ліворуч (8 b^ {2} -7 a b\ праворуч) &=4 a^ {2} b+12 a b^ {2} +16 a b^ {2} -14 a^ {2} b\\
&=-10 a^ {2} b+28 a b^ {2}
\ end *}\)

При множенні загальних многочленів нам потрібно мати більш загальний розподільний закон. Ми покажемо, як це робиться для добутку двох біноміалів.

Правило$\PageIndex{2}$: FOIL

Щоб помножити біноми, нам потрібно помножити кожен член першого многочлена на кожен член другого многочлена. Ця процедура відома під назвою FOIL, що розшифровується як Перший, Зовнішній, Внутрішній, Останній.

Наприклад, при множенні на$(x+3)$$(x+5),$ ми множимо члени

$clipboard_ee65fb47ca53f3881dde8f656c7d16243.png$

Для отримання результату$(3 \cdot 5=15)$ додаються продукти перших$(x \cdot 5=5 x),$ членів, зовнішні терміни, внутрішні терміни$(3 \cdot x=3 x),$ і останні терміни.$\left(x \cdot x=x^{2}\right),$ Тому застосовуючи FOIL і комбінуючи подібні терміни, отримуємо:

\[(x+3)(x+5)=x^{2}+5 x+3 x+15=x^{2}+8 x+15\nonumber\]

Приклад 9.3

Розмножуємо і спрощуємо.

а)\ (\ почати {вирівнювати*}
(х+2) (х-7) &=х^ {2} -7 х+2 х-14\
&=x^ {2} -5 x-14
\ end {align*}\)

б)\ (\ почати {вирівнювати*}
(2 а+3 б) (4 а+5 б) &=8 a^ {2} +10 a b+12 a b+15 b^ {2}\
&=8 a^ {2} +22 a b+15 b^ {2}
\ end {вирівнювати*}\)

c)\ (\ почати {вирівнювати*}
(м-4 n) ^ {2} & =( м-4 п) (м-4 п)\\
&= м^ {2} -4 м n+16 n^ {2}\
&=m^ {2} -8 м n+16 n^ {2}
\ кінець {вирівняти*}\)

d)\ (\ почати {вирівнювати*}
-5 р (3 р+2 q) ^ {2} &=-5 р (3 р+2 q) (3 р+2 q)\\
&= -5 р\ ліворуч (9 р^ {2} +6 р q+4 q^ {2}\ праворуч)\\\ &-5 р\ ліворуч (9 р^ {2} +12 p q+4 q^ {2}\ правий)\\
&-5 р\ ліворуч (9 р^ {2} +12 p q+4 q^ {2}\ праворуч)\\
&=-45 p^ {3} -60 p^ {2} q-20 p q^ {2}
\ end {align*}\)

Вище ми вирішили спочатку оцінити квадрат$(3 p+2 q)(3 p+2 q) .$ Крім того, ми могли б також спочатку помножити,$-5 p(3 p+2 q),$ що також дає правильний результат:

\ (\ почати {вирівнювати*}\ почати {вирівняний}
-5 р (3 р+2 q) ^ {2} &=-5 р (3 р+2 q) (3 р+2 q)\\
&=\ ліворуч (-15 р^ {2} -10 р q\ праворуч) (3 р+2 q)\\
&= -45 p^ {3} -30 p^ {2} q-30 p^ {2} q-30 p^ {2} q-20 р q^ {2}\\
&= -45 р^ {3} -60 р^ {2} q-20 р q^ {2}
\ кінець {вирівняний}\ кінець { вирівнювати*}\)

е)\ (\ почати {вирівнювати*}
(r+s) ^ {2} - (r+s) (р-с) & =( r+s) (r+s) - (r+s) (r+s) (р-с)\\
&=\ ліворуч (r^ {2} -r с+r с+s^ {2}\ вправо) -\ ліво (r^ {2} -r с+с^ {2}\ вправо) -\ вліво (r^ {2} -r с+с^ {2}}\ праворуч)\\
&=\ ліворуч (r^ {2} +2 r с+s^ {2}\ праворуч) -\ ліворуч (r^ {2} -s^ {2}\ праворуч)\\
&=r^ {2} +2 r s+s^ {2} -r^ {2} +s^ {2}\\
&=2 r s+2 s^ {2}
\ end {align*}\)

f)\ (\ почати {вирівнювати*}
2 х y-3 (5 x+y) (5 x+y) +4 y (3 x+2 y) &= 2 х y-3\ ліворуч (25 x^ {2} -5 х y+5 х y^ {2}\ праворуч) +12 х y+8 y^ {2}\
&= 2 х y-3\ ліворуч (25 x^ {2} -y^ {2} -y^ {2} 2}\ праворуч) +12 х y+8 y^ {
2}\\ &=2 х y-75 x^ {2} +3 y^ {2} +12 х y+8 y^ {2}\\
&=-75 x^ {2} +14 x y +11 y^ {2}
\ end {вирівнювати*}\)

g)\ (\ почати {вирівнювати*}
(2 x-1)\ ліворуч (x^ {2} -4 x+6\ праворуч)
& =( 2 x+ (-1))\ ліворуч (x^ {2} -4 x+6\ праворуч)\\\
= 2 х\ крапка x ^ {2} +2 х\ точка (-4 х) +2 х\ крапка 6+ (-1)\ крапка x ^ {2} + (-1)\ cdot (-4 х) + (-1)\ крапка 6\\
&=2 x^ {3} -8 x^ {2} +12 х-х ^ {2} +4 х-6\\
&=2 x^ {3} -9 x^ {2} +16 х-6
\ кінець {вирівня*}\)

Проблема виходу

Помножити:$(5 x-2)\left(x^{2}-3 x-7\right)$

Спростити:$-3 a^{3} b^{2}+4 a^{2}\left(a+2 a b^{2}\right)-7 a^{3}$