5.E: Поліноміальні функції (вправи)
5.1: Функції
У вправах 1-6 вкажіть область та діапазон заданого співвідношення.
1)R={(7,4),(2,4),(4,2),(8,5)}
- Відповідь
-
Домен={2,4,7,8} і діапазон={2,4,5}
2)S={(6,4),(3,3),(2,5),(8,7)}
3)T={(7,2),(3,1),(9,4),(8,1)}
- Відповідь
-
Домен={3,7,8,9} і діапазон={1,2,4}
4)R={(0,1),(8,2),(6,8),(9,3)}
5)T={(4,7),(4,8),(5,0),(0,7)}
- Відповідь
-
Домен={0,4,5} і діапазон={0,7,8}
6)T={(9,0),(3,6),(8,0),(3,8)}
У Вправах 7-10 вкажіть область та діапазон заданого співвідношення.
7)

- Відповідь
-
Домен={−2,2} і діапазон={−2,2,4}
8)

9)

- Відповідь
-
Домен={−4,−1,1,2} і діапазон={−2,2,4}
10)

У вправах 11-18 визначте, чи є дане відношення функцією.
11)R={(−6,−4),(−4,−4),(1,−4)}
- Відповідь
-
Функція
12)T={(−8,−3),(−4,−3),(2,−3)}
13)T={(−1,−7),(2,−5),(4,−2)}
- Відповідь
-
Функція
14)S={(−6,−6),(−4,0),(9,1)}
15)T={(−9,1),(1,6),(1,8)}
- Відповідь
-
Чи не є функцією
16)S={(−7,0),(1,1),(1,2)}
17)R={(−7,−8),(−7,−6),(−5,0)}
- Відповідь
-
Чи не є функцією
18)T={(−8,−9),(−8,−4),(−5,9)}
У вправах 19-22 визначте, чи є дане відношення функцією.
19)

- Відповідь
-
Функція
20)

21)

- Відповідь
-
Чи не є функцією
22)

23) Даноf(x)=|6x−9|, оцінітьf(8).
- Відповідь
-
39
24) Даноf(x)=|8x−3|, оцінітьf(5).
25) Даноf(x)=−2x2+8, оцінітьf(3).
- Відповідь
-
−10
26) Даноf(x)=3x2+x+6, оцінітьf(−3).
27) Даноf(x)=−3x2+4x+1, оцінітьf(2).
- Відповідь
-
−3
28) Даноf(x)=−3x2+4x−2, оцінітьf(2).
29) Даноf(x)=|5x+9|, оцінітьf(−8).
- Відповідь
-
31
30) Даноf(x)=|9x−6|, оцінітьf(4).
31) Даноf(x)=√x−6, оцінітьf(42).
- Відповідь
-
6
32) Даноf(x)=√x+8, оцінітьf(41).
33) Даноf(x)=√x−7, оцінітьf(88).
- Відповідь
-
9
34) Даноf(x)=√x+9, оцінітьf(16).
35) Даноf(x)=−4x+6, оцінітьf(8).
- Відповідь
-
−26
36) Даноf(x)=−9x+2, оцінітьf(−6).
37) Даноf(x)=−6x+7, оцінітьf(8).
- Відповідь
-
−41
38) Даноf(x)=−6x−2, оцінітьf(5).
39) Даноf(x)=−2x2+3x+2 іg(x)=3x2+5x−5, оцінитиf(3) іg(3).
- Відповідь
-
f(3)=−7іg(3)=37
40) Даноf(x)=3x2−3x−5 іg(x)=2x2−5x−8, оцінитиf(−2) іg(−2).
41) Даноf(x)=6x−2 іg(x)=−8x+9, оцінитиf(−7) іg(−7).
- Відповідь
-
f(−7)=−44іg(−7)=65
42) Даноf(x)=5x−3 іg(x)=9x−9, оцінитиf(−2) іg(−2).
43) Даноf(x)=4x−3 іg(x)=−3x+8, оцінитиf(−3) іg(−3).
- Відповідь
-
f(−3)=−15іg(−3)=17
44) Даноf(x)=8x+7 іg(x)=2x−7, оцінитиf(−9) іg(−9).
45) Даноf(x)=−2x2+5x−9 іg(x)=−2x2+3x−4, оцінитиf(−2) іg(−2).
- Відповідь
-
f(−2)=−27іg(−2)=−18
46) Даноf(x)=−3x2+5x−2 іg(x)=3x2−4x+2, оцінитиf(−1) іg(−1).
5.2: Поліноми
У вправах 1-6 вкажіть коефіцієнт і ступінь кожного з наступних термінів.
1)3v5u6
- Відповідь
-
=3,Ступінь коефіцієнта=11
2)−3b5z8
3)−5v6
- Відповідь
-
=−5,Ступінь коефіцієнта=6
4)−5c3
5)2u7x4d5
- Відповідь
-
=2,Ступінь коефіцієнта=16
6)9w4c5u7
У вправах 7-16 вкажіть, чи є кожне з наступних виразів мономіальним, біноміальним або триноміальним.
7)−7b9c3
- Відповідь
-
Мономіальний
8)7b6c2
9)4u+7v
- Відповідь
-
Біноміальний
10)−3b+5c
11)3b4−9bc+9c2
- Відповідь
-
Тримінал
12)8u4+5uv+3v4
13)5s2+9t7
- Відповідь
-
Біноміальний
14)−8x6−6y7
15)2u3−5uv−4v4
- Відповідь
-
Тримінал
16)6y3−4yz+7z3
У Вправах 17-20 сортуйте кожен із заданих поліномів у спадних ступеняхx.
17)−2x7−9x13−6x12−7x17
- Відповідь
-
−7x17−9x13−6x12−2x7
18)2x4−8x19+3x10−4x2
19)8x6+2x15−3x11−2x2
- Відповідь
-
2x15−3x11+8x6−2x2
20)2x6−6x7−7x15−9x18
У вправах 21-24 сортуйте кожен із заданих поліномів у висхідних ступеняхx.
21)7x17+3x4−2x12+8x14
- Відповідь
-
3x4−2x12+8x14+7x17
22)6x18−6x4−2x19−7x14
23)2x13+3x18+8x7+5x4
- Відповідь
-
5x4+8x7+2x13+3x18
24)−6x18−8x11−9x15+5x12
У вправах 25-32, спростити даний многочлен, комбінуючи подібні терміни, а потім розставляючи свою відповідь у спадних степеняхx.
25)−5x+3−6x3+5x2−9x+3−3x2+6x3
- Відповідь
-
2x2−14x+6
26)−2x3+8x−x2+5+7+6x2+4x3−9x
27)4x3+6x2−8x+1+8x3−7x2+5x−8
- Відповідь
-
12x3−x2−3x−7
28)−8x3−2x2−7x−3+7x3−9x2−8x+9
29)x2+9x−3+7x2−3x−8
- Відповідь
-
8x2+6x−11
30)−4x2−6x+3−3x2+3x−6
31)8x+7+2x2−8x−3x3−x2
- Відповідь
-
−3x3+x2+7
32)−x2+8−7x+8x−5x2+4x3
У вправах 33-44 спростіть даний многочлен, комбінуючи подібні терміни, потім розташувавши свою відповідь в розумному порядку, можливо, в спадних ступенях будь-якої змінної. Примітка. Відповіді можуть відрізнятися залежно від того, яку змінну ви виберете для диктування порядку.
33)−8x2−4xz−2z2−3x2−8xz+2z2
- Відповідь
-
−11x2−12xz
34)−5x2+9xz−4z2−6x2−7xz+7z2
35)−6u3+4uv2−2v3−u3+6u2v−5uv2
- Відповідь
-
−7u3+6u2v−uv2−2v3
36)7a3+6a2b−5ab2+4a3+6a2b+6b3
37)−4b2c−3bc2−5c3+9b3−3b2c+5bc2
- Відповідь
-
9b3−7b2c+2bc2−5c3
38)4b3−6b2c+9bc2−9b3−8bc2+3c3
39)−8y2+6yz−7z2−2y2−3yz−9z2
- Відповідь
-
−10y2+3yz−16z2
40)8x2+xy+3y2−x2+7xy+y2
41)7b2c+8bc2−6c3−4b3+9bc2−6c3
- Відповідь
-
−4b3+7b2c+17bc2−12c3
42)7x3−9x2y+3y3+7x3+3xy2−7y3
43)9a2+ac−9c2−5a2−2ac+2c2
- Відповідь
-
4a2−ac−7c2
44)7u2+3uv−6v2−6u2+7uv+6v2
У вправах 45-50 викласти ступінь даного полінома.
45)3x15+4+8x3−8x19
- Відповідь
-
19
46)−4x6−7x16−5+3x18
47)7x10−3x18+9x4−6
- Відповідь
-
18
48)3x16−8x5+x8+7
49)−2−x7−5x5+x10
- Відповідь
-
10
50)x11+7x16+8−7x10
51) Даноf(x)=5x3+4x2−6, оцінітьf(−1).
- Відповідь
-
−7
52) Даноf(x)=−3x3+3x2−9, оцінітьf(−1).
53) Даноf(x)=5x4−4x−6, оцінітьf(−2).
- Відповідь
-
82
54) Даноf(x)=−2x4−4x−9, оцінітьf(2).
55) Даноf(x)=3x4+5x3−9, оцінітьf(−2).
- Відповідь
-
−1
56) Даноf(x)=−3x4+2x3−6, оцінітьf(−1).
57) Даноf(x)=3x4−5x2+8, оцінітьf(−1).
- Відповідь
-
6
58) Даноf(x)=−4x4−5x2−3, оцінітьf(3).
59) Даноf(x)=−2x3+4x−9, оцінітьf(2).
- Відповідь
-
−17
60) Даноf(x)=4x3+3x+7, оцінітьf(−2).
У Вправи 61-64 використовуйте графічний калькулятор, щоб намалювати заданий квадратичний многочлен. У кожному випадку графік є параболою, тому відрегулюйте параметри WINDOW, доки вершина не буде видима у вікні перегляду, а потім дотримуйтесь Правил подання калькулятора, коли повідомляєте про ваше рішення про домашнє завдання.
61)p(x)=−2x2+8x+32
- Відповідь
-
62)p(x)=2x2+6x−18
63)p(x)=3x2−8x−35
- Відповідь
-
64)p(x)=−4x2−9x+50
У Вправи 65-68 використовуйте графічний калькулятор для ескізу полінома, використовуючи задані параметри WINDOW. Дотримуйтесь вказівок щодо подання калькулятора, коли повідомляєте про своє рішення на домашнє завдання.
65)p(x)=x3−4x2−11x+30
Xmin
\mathbf{Y} \min =-50 \quad \mathbf{Y} \max =50
- Відповідь
-
66)p(x)=-x^{3}+4 x^{2}+27 x-90
\mathbf{X} \min =-10 \quad \mathbf{X} \max =10
\mathbf{Y} \min =-150 \quad \mathbf{Y} \max =50
67)p(x)=x^{4}-10 x^{3}-4 x^{2}+250 x-525
\mathbf{X} \min =-10 \quad \mathbf{X} \max =10
\mathbf{Y} \min =-1000 \quad \mathbf{Y} \max =500
- Відповідь
-
68)p(x)=-x^{4}+2 x^{3}+35 x^{2}-36 x-180
\mathbf{X} \min =-10 \quad \mathbf{X} \max =10
\mathbf{Y} \min =-50 \quad \mathbf{Y} \max =50
5.3: Застосування поліномів
1) Фірма збирає дані про суму, яку вона витрачає на рекламу, і отриманий компанією дохід. Обидва фрагменти даних знаходяться в тисячах доларів.
x(витрати на рекламу) | 0 | 5 | 15 | 20 | 25 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|
R(дохід) | 6347 | 6524 | 7591 | 8251 | 7623 | 7478 |
Потім дані складаються з наступним поліномом другого ступеня, деx сума вкладена в тисячі доларів іR(x) сума доходу, отриманого фірмою (також у тисячах доларів).
R(x)=−4.1x^2 + 166.8x+ 6196
Використовуйте графік, а потім поліном, щоб оцінити дохід фірми, коли фірма інвестувала\$10,000 в рекламу.

- Відповідь
-
Приблизно\$7,454,000
2) У таблиці нижче наведено приблизну кількість випадків СНІД у Сполучених Штатах за роки 1999-2003.
Рік | 1999 | 2000 | 2002 | 2003 |
---|---|---|---|---|
Випадки СНІДу | 41 356 | 41 267 | 41 289 | 43 171 |
Потім дані будуються з наступним поліномом другого ступеня, деt - кількість років, що минули з 1998 року, іN(t) кількість випадків допомоги, зареєстрованих черезt роки після 1998 року.
N(t) = 345.14t^2−1705.7t+ 42904
Використовуйте графік, а потім поліном, щоб оцінити кількість випадків СНІДу в 2001 році.

3) Наступна таблиця фіксує концентрацію (в міліграмах на літр) медикаменту в крові пацієнта після закінчення вказаних часів.
Час (Години) | 0 | 0.5 | 1 | 0.5 | 2.5 |
---|---|---|---|---|---|
Концентрація (мг/л) | 0 | 78.1 | 99.8 | 84.4 | 15,6 |
Потім дані наносяться наступним поліномом другого ступеня, деt - кількість годин, що минули з моменту прийому ліків, іC(t) концентрація (в міліграмах на літр) препарату в крові пацієнта після того, як пройшлиt години.
C(t)=−56.214t^2 + 139.31t+9.35
Використовуйте графік, а потім поліном, щоб оцінити концентрацію ліків у крові пацієнта через2 години після прийому ліків.

- Відповідь
-
Приблизно63 \mathrm{mg} / \mathrm{L}
4) Наступна таблиця фіксує населення (в мільйоні людей) Сполучених Штатів за даний рік.
Рік | 1900 | 1920 | 1940 | 1960 | 1980 | 2000 | 2010 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Населення (мільйони) |
76.2 | 106.0 | 132.2 | 179.3 | 26.5 | 281.4 | 307.7 |
Потім дані наносяться наступним поліномом другого ступеня, деt - кількість років, що минули з 1990 року, іP(t) населення (у мільйоні)t років після 1990 року.
P(t)=0 .008597t^2 +1,1738t+ 76 .41
Використовуйте графік, а потім поліном, щоб оцінити чисельність населення США в 1970 році.

5) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю457 метрів в секунду (457 \mathrm{m/s} ) від75 метрів на даху (75 \mathrm{m} ) над рівнем землі, то в який час снаряд першим досягне висоти6592 метрів (6592 \mathrm{m} )? Округлите відповідь до найближчої секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
- Відповідь
-
17.6секунд
6) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю236 метрів в секунду (236 \mathrm{m/s} ) від15 метрів на даху (15\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд першим досягне висоти1838 метрів (1838\mathrm{m})? Округлите відповідь до найближчої секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
7) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю229 метрів в секунду (229 \mathrm{m/s} ) від58 метрів на даху (58\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд першим досягне висоти1374 метрів (1374\mathrm{m})? Округлите відповідь до найближчої секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить 9,8 метра в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
- Відповідь
-
6.7секунд
8) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю234 метрів в секунду (234 \mathrm{m/s} ) від16 метрів на даху (16\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд першим досягне висоти1882 метрів (1882\mathrm{m})? Округлите відповідь до найближчої секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
У вправах 9-12 спочатку використовуйте алгебраїчну техніку, щоб знайти нуль даної функції, а потім скористайтеся утилітою 2: нуль на графічному калькуляторі, щоб знайти нуль функції. Використовуйте Рекомендації щодо подання калькулятора, коли повідомляєте про нуль, знайдений за допомогою графічного калькулятора.
9)f(x)=3.25 x-4.875
- Відповідь
-
Нуль:1.5
10)f(x)=3.125-2.5 x
11)f(x)=3.9-1.5 x
- Відповідь
-
Нуль:2.6
12)f(x)=0.75 x+2.4
13) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю203 метрів в секунду (203 \mathrm{m/s} ) з52 метрів на даху (52\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд повернеться на рівень землі? Округлите відповідь до найближчої десятої частки секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
- Відповідь
-
41.7секунд
14) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю484 метрів в секунду (484 \mathrm{m/s} ) з17 метрів на даху (17\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд повернеться на рівень землі? Округлите відповідь до найближчої десятої частки секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
15) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю276 метрів в секунду (276 \mathrm{m/s} ) з52 метрів на даху (52\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд повернеться на рівень землі? Округлите відповідь до найближчої десятої частки секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
- Відповідь
-
56.5секунд
16) Якщо снаряд запущений з початковою швидкістю204 метрів в секунду (204 \mathrm{m/s} ) з92 метрів на даху (92\mathrm{m}) над рівнем землі, то в який час снаряд повернеться на рівень землі? Округлите відповідь до найближчої десятої частки секунди.
Примітка: Прискорення за рахунок сили тяжіння поблизу земної поверхні становить9.8 метри в секунду в секунду (9.8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).
5.4: Додавання та віднімання многочленів
У вправах 1-8 спростіть даний вираз. Влаштуйте свою відповідь в якомусь розумному порядку.
1)\left(-8 r^{2} t+7 r t^{2}+3 t^{3}\right)+\left(9 r^{3}+2 r t^{2}+4 t^{3}\right)
- Відповідь
-
9 r^{3}-8 r^{2} t+9 r t^{2}+7 t^{3}
2)\left(-a^{3}-8 a c^{2}-7 c^{3}\right)+\left(-7 a^{3}-8 a^{2} c+8 a c^{2}\right)
3)\left(7 x^{2}-6 x-9\right)+\left(8 x^{2}+10 x+9\right)
- Відповідь
-
15 x^{2}+4 x
4)\left(-7 x^{2}+5 x-6\right)+\left(-10 x^{2}-1\right)
5)\left(-2 r^{2}+7 r s+4 s^{2}\right)+\left(-9 r^{2}+7 r s-2 s^{2}\right)
- Відповідь
-
-11 r^{2}+14 r s+2 s^{2}
6)\left(-2 r^{2}+3 r t-4 t^{2}\right)+\left(7 r^{2}+4 r t-7 t^{2}\right)
7)\left(-8 y^{3}-3 y^{2} z-6 z^{3}\right)+\left(-3 y^{3}+7 y^{2} z-9 y z^{2}\right)
- Відповідь
-
-11 y^{3}+4 y^{2} z-9 y z^{2}-6 z^{3}
8)\left(7 y^{2} z+8 y z^{2}+2 z^{3}\right)+\left(8 y^{3}-8 y^{2} z+9 y z^{2}\right)
У вправах 9-14 спростіть даний вираз, розподіляючи знак мінус.
9)-\left(5 x^{2}-4\right)
- Відповідь
-
-5 x^{2}+4
10)-\left(-8 x^{2}-5\right)
11)-\left(9 r^{3}-4 r^{2} t-3 r t^{2}+4 t^{3}\right)
- Відповідь
-
-9 r^{3}+4 r^{2} t+3 r t^{2}-4 t^{3}
12)-\left(7 u^{3}-8 u^{2} v+6 u v^{2}+5 v^{3}\right)
13)-\left(-5 x^{2}+9 x y+6 y^{2}\right)
- Відповідь
-
5 x^{2}-9 x y-6 y^{2}
14)-\left(-4 u^{2}-6 u v+5 v^{2}\right)
У вправах 15-22 спростіть даний вираз. Влаштуйте свою відповідь в якомусь розумному порядку.
15)\left(-u^{3}-4 u^{2} w+7 w^{3}\right)-\left(u^{2} w+u w^{2}+3 w^{3}\right)
- Відповідь
-
-u^{3}-5 u^{2} w-u w^{2}+4 w^{3}
16)\left(-b^{2} c+8 b c^{2}+8 c^{3}\right)-\left(6 b^{3}+b^{2} c-4 b c^{2}\right)
17)\left(2 y^{3}-2 y^{2} z+3 z^{3}\right)-\left(-8 y^{3}+5 y z^{2}-3 z^{3}\right)
- Відповідь
-
10 y^{3}-2 y^{2} z-5 y z^{2}+6 z^{3}
18)\left(4 a^{3}+6 a c^{2}+5 c^{3}\right)-\left(2 a^{3}+8 a^{2} c-7 a c^{2}\right)
19)\left(-7 r^{2}-9 r s-2 s^{2}\right)-\left(-8 r^{2}-7 r s+9 s^{2}\right)
- Відповідь
-
r^{2}-2 r s-11 s^{2}
20)\left(-4 a^{2}+5 a b-2 b^{2}\right)-\left(-8 a^{2}+7 a b+2 b^{2}\right)
21)\left(10 x^{2}+2 x-6\right)-\left(-8 x^{2}+14 x+17\right)
- Відповідь
-
18 x^{2}-12 x-23
22)\left(-5 x^{2}+19 x-5\right)-\left(-15 x^{2}+19 x+8\right)
У вправах 23-28, для заданих поліноміальних функційf(x) іg(x), спроститиf(x)+g(x). Організуйте свою відповідь у спадних повноваженняхx.
23)\begin{aligned}f(x)&=-2 x^{2}+9 x+7 \\ g(x)&=8 x^{3}-7 x^{2}+5\end{aligned}
- Відповідь
-
8 x^{3}-9 x^{2}+9 x+12
24)\begin{aligned}f(x)&=-8 x^{3}+6 x-9 \\ g(x)&=x^{3}-x^{2}+3 x\end{aligned}
25)\begin{aligned}f(x)&=5 x^{3}-5 x^{2}+8 x \\ g(x)&=7 x^{2}-2 x-9\end{aligned}
- Відповідь
-
5 x^{3}+2 x^{2}+6 x-9
26)\begin{aligned}f(x)&=-x^{2}+8 x+1 \\ g(x)&=-7 x^{3}+8 x-9\end{aligned}
27)\begin{aligned}f(x)&=-3 x^{2}-8 x-9 \\ g(x)&=5 x^{2}-4 x+4\end{aligned}
- Відповідь
-
2 x^{2}-12 x-5
28)\begin{aligned}f(x)&=-3 x^{2}+x-8 \\ g(x)&=7 x^{2}-9\end{aligned}
У вправах 29-34, для заданих поліноміальних функційf(x) іg(x), спроститиf(x)−g(x). Організуйте свою відповідь у спадних повноваженняхx.
29)\begin{aligned}f(x)&=-6 x^{3}-7 x+7 \\ g(x)&=-3 x^{3}-3 x^{2}-8 x\end{aligned}
- Відповідь
-
-3 x^{3}+3 x^{2}+x+7
30)\begin{aligned}f(x)&=5 x^{3}-5 x+4 \\ g(x)&=-8 x^{3}-2 x^{2}-3 x\end{aligned}
31)\begin{aligned}f(x)&=12 x^{2}-5 x+4 \\ g(x)&=8 x^{2}-16 x-7\end{aligned}
- Відповідь
-
4 x^{2}+11 x+11
32)\begin{aligned}f(x)&=-7 x^{2}+12 x+17 \\ g(x)&=-10 x^{2}-17\end{aligned}
33)\begin{aligned}f(x)&=-3 x^{3}-4 x+2 \\ g(x)&=-4 x^{3}-7 x^{2}+6\end{aligned}
- Відповідь
-
x^{3}+7 x^{2}-4 x-4
34)\begin{aligned}f(x)&=-9 x^{2}+9 x+3 \\ g(x)&=7 x^{3}+7 x^{2}+5\end{aligned}
У Вправах 35-36 знайдіть площу даного квадрата, підсумовуючи площі чотирьох його частин.
35)

- Відповідь
-
x^{2}+10 x+25
36)

37) Рейчел веде малий бізнес з продажу плетених кошиків. Її ділові витрати на виробництво і продаж х плетених кошиків задаються поліноміальною функцієюC(x) = 232+ 7x−0.0085x^2. Дохід, який вона отримує від продажу х плетених кошиків, дається поліноміальною функцієюR(x) = 33.45x. Знайдіть формулу для тогоP(x), щоб прибуток отримувався від продажуx плетених кошиків. Використовуйте свою формулу, щоб визначити прибуток Рейчел, якщо вона продає233 плетені кошики. Округлите відповідь до найближчого цента.
- Відповідь
-
\$6,392.31
38) Елоїза веде невеликий бізнес з продажу дитячих ліжечок. Її ділові витрати на виробництво та продажx дитячих ліжечок задаються поліноміальною функцієюC(x) = 122 + 8x − 0.0055x^2. Дохід, який вона отримує від продажуx дитячих ліжечок, дається поліноміальною функцієюR(x) = 33.45x. Знайдіть формулу для тогоP(x), щоб прибуток отримувався від продажуx дитячих ліжечок. Використовуйте свою формулу, щоб визначити прибуток Елоїзи, якщо вона продає182 дитячі ліжечка. Округлите відповідь до найближчого цента.
5.5: Закони експонентів
У вправах 1-8 спростіть кожне з заданих експоненціальних виразів.
1)(-4)^{3}
- Відповідь
-
-64
2)(-9)^{2}
3)\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{0}
- Відповідь
-
1
4)\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{0}
5)\left(-\dfrac{4}{3}\right)^{2}
- Відповідь
-
\dfrac{16}{9}
6)\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}
7)(-19)^{0}
- Відповідь
-
1
8)(-17)^{0}
У вправах 9-18 спростити кожне з заданих експоненціальних виразів.
9)(7 v-6 w)^{18} \cdot(7 v-6 w)^{17}
- Відповідь
-
(7 v-6 w)^{35}
10)(8 a+7 c)^{3} \cdot(8 a+7 c)^{19}
11)3^{4} \cdot 3^{0}
- Відповідь
-
3^{4}
12)5^{7} \cdot 5^{0}
13)4^{n} \cdot 4^{8 n+3}
- Відповідь
-
4^{9 n+3}
14)4^{6 m+5} \cdot 4^{m-5}
15)x^{8} \cdot x^{3}
- Відповідь
-
x^{11}
16)a^{9} \cdot a^{15}
17)2^{5} \cdot 2^{3}
- Відповідь
-
2^{8}
18)2^{10} \cdot 2^{3}
У вправах 19-28 спростіть кожне з заданих експоненціальних виразів.
19)\dfrac{4^{16}}{4^{16}}
- Відповідь
-
1
20)\dfrac{3^{12}}{3^{12}}
21)\dfrac{w^{11}}{w^{7}}
- Відповідь
-
w^{4}
22)\dfrac{c^{10}}{c^{8}}
23)\dfrac{(9 a-8 c)^{15}}{(9 a-8 c)^{8}}
- Відповідь
-
(9 a-8 c)^{7}
24)\dfrac{(4 b+7 c)^{15}}{(4 b+7 c)^{5}}
25)\dfrac{2^{9 n+5}}{2^{3 n-4}}
- Відповідь
-
2^{6 n+9}
26)\dfrac{2^{4 k-9}}{2^{3 k-8}}
27)\dfrac{4^{17}}{4^{9}}
- Відповідь
-
4^{8}
28)\dfrac{2^{17}}{2^{6}}
У вправах 29-38 спростити кожне з заданих експоненціальних виразів.
29)\left(4^{8 m-6}\right)^{7}
- Відповідь
-
4^{56 m-42}
30)\left(2^{2 m-9}\right)^{3}
31)\left[(9 x+5 y)^{3}\right]^{7}
- Відповідь
-
(9 x+5 y)^{21}
32)\left[(4 u-v)^{8}\right]^{9}
33)\left(4^{3}\right)^{2}
- Відповідь
-
4^{6}
34)\left(3^{4}\right)^{2}
35)\left(c^{4}\right)^{7}
- Відповідь
-
c^{28}
36)\left(w^{9}\right)^{5}
37)\left(6^{2}\right)^{0}
- Відповідь
-
1
38)\left(8^{9}\right)^{0}
У вправах 39-48 спростити кожне з заданих експоненціальних виразів.
39)(u w)^{5}
- Відповідь
-
u^{5} w^{5}
40)(a c)^{4}
41)(-2 y)^{3}
- Відповідь
-
-8 y^{3}
42)(-2 b)^{3}
43)\left(3 w^{9}\right)^{4}
- Відповідь
-
81 w^{36}
44)\left(-3 u^{9}\right)^{4}
45)\left(-3 x^{8} y^{2}\right)^{4}
- Відповідь
-
81 x^{32} y^{8}
46)\left(2 x^{8} z^{6}\right)^{4}
47)\left(7 s^{6 n}\right)^{3}
- Відповідь
-
343 s^{18 n}
48)\left(9 b^{6 n}\right)^{3}
У вправах 49-56 спростити кожне з заданих експоненціальних виразів.
49)\left(\dfrac{v}{2}\right)^{3}
- Відповідь
-
\dfrac{v^{3}}{8}
50)\left(\dfrac{t}{9}\right)^{2}
51)\left(-\dfrac{2}{u}\right)^{2}
- Відповідь
-
\dfrac{4}{u^{2}}
52)\left(-\dfrac{3}{w}\right)^{3}
53)\left(-\dfrac{r^{8}}{5}\right)^{4}
- Відповідь
-
\dfrac{r^{32}}{625}
54)\left(-\dfrac{x^{11}}{5}\right)^{5}
55)\left(\dfrac{5}{c^{9}}\right)^{4}
- Відповідь
-
\dfrac{625}{c^{36}}
56)\left(\dfrac{5}{u^{12}}\right)^{2}
57) Заповніть кожен із законів показників, представлених у першій колонці, а потім використовуйте результати для спрощення виразів у другому стовпці.
a^{m} a^{n}=? | a^{3} a^{5}=? |
\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=? | \dfrac{a^{6}}{a^{2}}=? |
\left(a^{m}\right)^{n}=? | \left(a^{5}\right)^{7}=? |
(a b)^{m}=? | (a b)^{9}=? |
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=? | \left(\dfrac{a}{b}\right)^{3}=? |
- Відповідь
-
Загальні відповіді:a^{m+n}, a^{m-n}, a^{m n}, a^{m} b^{m}, \dfrac{a^m}{b^m}.
Конкретні відповіді:a^{8}, a^{4}, a^{35}, a^{9} b^{9}, \dfrac{a^3}{b^3}.
5.6: Множення многочленів
У вправах 1-10 спростіть даний вираз.
1)-3(7 r)
- Відповідь
-
-21 r
2)7(3 a)
3)\left(-9 b^{3}\right)\left(-8 b^{6}\right)
- Відповідь
-
72b^{9}
4)\left(8 s^{3}\right)\left(-7 s^{4}\right)
5)\left(-7 r^{2} t^{4}\right)\left(7 r^{5} t^{2}\right)
- Відповідь
-
-49 r^{7} t^{6}
6)\left(-10 s^{2} t^{8}\right)\left(-7 s^{4} t^{3}\right)
7)\left(-5 b^{2} c^{9}\right)\left(-8 b^{4} c^{4}\right)
- Відповідь
-
40 b^{6} c^{13}
8)\left(-9 s^{2} t^{8}\right)\left(7 s^{5} t^{4}\right)
9)\left(-8 v^{3}\right)\left(4 v^{4}\right)
- Відповідь
-
-32 v^{7}
10)\left(-9 y^{3}\right)\left(3 y^{5}\right)
У вправах 11-22 використовуйте розподільну властивість, щоб розширити заданий вираз.
11)9\left(-2 b^{2}+2 b+9\right)
- Відповідь
-
-18 b^{2}+18 b+81
12)9\left(-4 b^{2}+7 b-8\right)
13)-4\left(10 t^{2}-7 t-6\right)
- Відповідь
-
-40 t^{2}+28 t+24
14)-5\left(-7 u^{2}-7 u+2\right)
15)-8 u^{2}\left(-7 u^{3}-8 u^{2}-2 u+10\right)
- Відповідь
-
56 u^{5}+64 u^{4}+16 u^{3}-80 u^{2}
16)-3 s^{2}\left(-7 s^{3}-9 s^{2}+6 s+3\right)
17)10 s^{2}\left(-10 s^{3}+2 s^{2}+2 s+8\right)
- Відповідь
-
-100 s^{5}+20 s^{4}+20 s^{3}+80 s^{2}
18)8 u^{2}\left(9 u^{3}-5 u^{2}-2 u+5\right)
19)2 s t\left(-4 s^{2}+8 s t-10 t^{2}\right)
- Відповідь
-
-8 s^{3} t+16 s^{2} t^{2}-20 s t^{3}
20)7 u v\left(-9 u^{2}-3 u v+4 v^{2}\right)
21)-2 u w\left(10 u^{2}-7 u w-2 w^{2}\right)
- Відповідь
-
-20 u^{3} w+14 u^{2} w^{2}+4 u w^{3}
22)-6 v w\left(-5 v^{2}+9 v w+5 w^{2}\right)
У вправах 23-30 використовуйте техніку, продемонстровану в прикладі 5.6.8 та прикладі 5.6.9, щоб розширити кожне з наступних виразів за допомогою властивості розподілу.
23)(-9 x-4)(-3 x+2)
- Відповідь
-
27 x^{2}-6 x-8
24)(4 x-10)(-2 x-6)
25)(3 x+8)(3 x-2)
- Відповідь
-
9 x^{2}+18 x-16
26)(-6 x+8)(-x+1)
27)-12 x^{3}+14 x^{2}+6 x-5
- Відповідь
-
-\dfrac{930}{289}
28)(4 x-6)\left(-7 x^{2}-10 x+10\right)
29)(x-6)\left(-2 x^{2}-4 x-4\right)
- Відповідь
-
-2 x^{3}+8 x^{2}+20 x+24
30)(5 x-10)\left(-3 x^{2}+7 x-8\right)
У вправах 31-50 використовуйте техніку швидкого скорочення, продемонстровану в прикладі 5.6.10, прикладі 5.6.11 та прикладі 5.6.12, щоб розширити кожне з наступних виразів за допомогою властивості розподілу.
31)(8 u-9 w)(8 u-9 w)
- Відповідь
-
64 u^{2}-144 u w+81 w^{2}
32)(3 b+4 c)(-8 b+10 c)
33)(9 r-7 t)(3 r-9 t)
- Відповідь
-
27 r^{2}-102 r t+63 t^{2}
34)(-6 x-3 y)(-6 x+9 y)
35)(4 r-10 s)\left(-10 r^{2}+10 r s-7 s^{2}\right)
- Відповідь
-
-40 r^{3}+140 r^{2} s-128 r s^{2}+70 s^{3}
36)(5 s-9 t)\left(-3 s^{2}+4 s t-9 t^{2}\right)
37)(9 x-2 z)\left(4 x^{2}-4 x z-10 z^{2}\right)
- Відповідь
-
36 x^{3}-44 x^{2} z-82 x z^{2}+20 z^{3}
38)(r-4 t)\left(7 r^{2}+4 r t-2 t^{2}\right)
39)(9 r+3 t)^{2}
- Відповідь
-
81 r^{2}+54 r t+9 t^{2}
40)(4 x+8 z)^{2}
41)(4 y+5 z)(4 y-5 z)
- Відповідь
-
16 y^{2}-25 z^{2}
42)(7 v+2 w)(7 v-2 w)
43)(7 u+8 v)(7 u-8 v)
- Відповідь
-
49 u^{2}-64 v^{2}
44)(6 b+8 c)(6 b-8 c)
45)(7 b+8 c)^{2}
- Відповідь
-
49 b^{2}+112 b c+64 c^{2}
46)(2 b+9 c)^{2}
47)\left(2 t^{2}+9 t+4\right)\left(2 t^{2}+9 t+4\right)
- Відповідь
-
4 t^{4}+36 t^{3}+97 t^{2}+72 t+16
48)\left(3 a^{2}-9 a+4\right)\left(3 a^{2}-9 a+2\right)
49)\left(4 w^{2}+3 w+5\right)\left(3 w^{2}-6 w+8\right)
- Відповідь
-
12 w^{4}-15 w^{3}+29 w^{2}-6 w+40
50)\left(4 s^{2}+3 s+8\right)\left(2 s^{2}+4 s-9\right)
51) Попит на віджети задається функцієюx = 320−0.95p, деx - попит іp ціна одиниці. Яку ціну одиниці повинен стягувати рітейлер за віджети, щоб його дохід від продажів дорівнював\$7,804? Округліть свої відповіді до найближчого цента.
- Відповідь
-
\$ 26.47,\$ 310.37
52) Попит на віджети задається функцієюx = 289−0.91p, деx - попит іp ціна одиниці. Яку ціну одиниці повинен стягувати рітейлер за віджети, щоб його дохід від продажів дорівнював\$7,257? Округліть свої відповіді до найближчого цента.
53) На наступному зображенні край зовнішнього квадрата на6 дюйми довший, ніж в3 рази більше краю внутрішнього квадрата.

- Висловіть площу затіненої області у вигляді многочлена з точки зоруx, краю внутрішнього квадрата. Ваша остаточна відповідь повинна бути представлена у вигляді полінома другого ступеня у форміA(x)=ax^2 + bx + c.
- З огляду на, що край внутрішнього квадрата дорівнює5 дюймам, використовуйте многочлен в частині (а) для визначення площі затіненої області.
- Відповідь
-
A(x)=8 x^{2}+36 x+36,A(5)=416 квадратні дюйми
54) На наступному зображенні край зовнішнього квадрата на3 дюйми довший, ніж в2 рази більше краю внутрішнього квадрата.

- Висловіть площу затіненої області у вигляді многочлена з точки зоруx, краю внутрішнього квадрата. Ваша остаточна відповідь повинна бути представлена у вигляді полінома другого ступеня у форміA(x)=ax^2 + bx + c.
- З огляду на, що край внутрішнього квадрата дорівнює4 дюймам, використовуйте многочлен в частині (а) для визначення площі затіненої області.
55) Прямокутний сад оточений рівномірною межею газонних вимірювальнихx одиниць шириною. Вся прямокутна ділянка31 вимірюється29 ногами.

- Знайдіть площу внутрішнього прямокутного саду у вигляді многочлена в термініx. Ваша остаточна відповідь повинна бути представлена у вигляді полінома другого ступеня у форміA(x)=ax^2 + bx + c.
- З огляду на, що ширина кордону дорівнює9.3 футам, використовуйте многочлен в частині (а) для визначення площі внутрішнього прямокутного саду.
- Відповідь
-
899-120 x+4 x^{2},128.96 квадратні фути
56) Прямокутний сад оточений рівномірною межею газонних вимірювальнихx одиниць шириною. Вся прямокутна ділянка35 вимірюється24 ногами.

- Знайдіть площу внутрішнього прямокутного саду у вигляді многочлена в термініx. Ваша остаточна відповідь повинна бути представлена у вигляді полінома другого ступеня у форміA(x)=ax^2 + bx + c.
- З огляду на, що ширина кордону дорівнює1.5 футам, використовуйте многочлен в частині (а) для визначення площі внутрішнього прямокутного саду.
5.7: Спеціальні продукти
У вправах 1-12 використовуйте ярлик FOIL, як у прикладі 5.7.3 та прикладі 5.7.4, щоб помножити задані біноми.
1)(5 x+2)(3 x+4)
- Відповідь
-
15 x^{2}+26 x+8
2)(5 x+2)(4 x+3)
3)(6 x-3)(5 x+4)
- Відповідь
-
30 x^{2}+9 x-12
4)(6 x-2)(4 x+5)
5)(5 x-6)(3 x-4)
- Відповідь
-
15 x^{2}-38 x+24
6)(6 x-4)(3 x-2)
7)(6 x-2)(3 x-5)
- Відповідь
-
18 x^{2}-36 x+10
8)(2 x-3)(6 x-4)
9)(6 x+4)(3 x+5)
- Відповідь
-
18 x^{2}+42 x+20
10)(3 x+2)(4 x+6)
11)(4 x-5)(6 x+3)
- Відповідь
-
24 x^{2}-18 x-15
12)(3 x-5)(2 x+6)
У вправах 13-20 використовуйте різницю квадратів ярлик, як у прикладі 5.7.5, щоб помножити задані біноми.
13)(10 x-12)(10 x+12)
- Відповідь
-
100 x^{2}-144
14)(10 x-11)(10 x+11)
15)(6 x+9)(6 x-9)
- Відповідь
-
36 x^{2}-81
16)(9 x+2)(9 x-2)
17)(3 x+10)(3 x-10)
- Відповідь
-
9 x^{2}-100
18)(12 x+12)(12 x-12)
19)(10 x-9)(10 x+9)
- Відповідь
-
100 x^{2}-81
20)(4 x-6)(4 x+6)
У Вправах 21-28 використовуйте квадрат біноміального скорочення, як у прикладі 5.7.8, щоб розширити вказаний вираз.
21)(2 x+3)^{2}
- Відповідь
-
4 x^{2}+12 x+9
22)(8 x+9)^{2}
23)(9 x-8)^{2}
- Відповідь
-
81 x^{2}-144 x+64
24)(4 x-5)^{2}
25)(7 x+2)^{2}
- Відповідь
-
49 x^{2}+28 x+4
26)(4 x+2)^{2}
27)(6 x-5)^{2}
- Відповідь
-
36 x^{2}-60 x+25
28)(4 x-3)^{2}
У Вправах 29-76 використовуйте відповідний ярлик, щоб помножити задані біноми.
29)(11 x-2)(11 x+2)
- Відповідь
-
121 x^{2}-4
30)(6 x-7)(6 x+7)
31)(7 r-5 t)^{2}
- Відповідь
-
49 r^{2}-70 r t+25 t^{2}
32)(11 u-9 w)^{2}
33)(5 b+6 c)(3 b-2 c)
- Відповідь
-
15 b^{2}+8 b c-12 c^{2}
34)(3 r+2 t)(5 r-3 t)
35)(3 u+5 v)(3 v-5 v)
- Відповідь
-
9 u^{2}-25 v^{2}
36)(11 a+4 c)(11 a-4 c)
37)\left(9 b^{3}+10 c^{5}\right)\left(9 b^{3}-10 c^{5}\right)
- Відповідь
-
81 b^{6}-100 c^{10}
38)\left(9 r^{5}+7 t^{2}\right)\left(9 r^{5}-7 t^{2}\right)
39)(9 s-4 t)(9 s+4 t)
- Відповідь
-
81 s^{2}-16 t^{2}
40)(12 x-7 y)(12 x+7 y)
41)(7 x-9 y)(7 x+9 y)
- Відповідь
-
49 x^{2}-81 y^{2}
42)(10 r-11 t)(10 r+11 t)
43)(6 a-6 b)(2 a+3 b)
- Відповідь
-
12 a^{2}+6 a b-18 b^{2}
44)(6 r-5 t)(2 r+3 t)
45)(10 x-10)(10 x+10)
- Відповідь
-
100 x^{2}-100
46)(12 x-8)(12 x+8)
47)(4 a+2 b)(6 a-3 b)
- Відповідь
-
24 a^{2}-6 b^{2}
48)(3 b+6 c)(2 b-4 c)
49)(5 b-4 c)(3 b+2 c)
- Відповідь
-
15 b^{2}-2 b c-8 c^{2}
50)(3 b-2 c)(4 b+5 c)
51)(4 b-6 c)(6 b-2 c)
- Відповідь
-
24 b^{2}-44 b c+12 c^{2}
52)(4 y-4 z)(5 y-3 z)
53)\left(11 r^{5}+9 t^{2}\right)^{2}
- Відповідь
-
121 r^{10}+198 r^{5} t^{2}+81 t^{4}
54)\left(11 x^{3}+10 z^{5}\right)^{2}
55)(4 u-4 v)(2 u-6 v)
- Відповідь
-
8 u^{2}-32 u v+24 v^{2}
56)(4 u-5 w)(5 u-6 w)
57)\left(8 r^{4}+7 t^{5}\right)^{2}
- Відповідь
-
64 r^{8}+112 r^{4} t^{5}+49 t^{10}
58)\left(2 x^{5}+5 y^{2}\right)^{2}
59)(4 r+3 t)(4 r-3 t)
- Відповідь
-
16 r^{2}-9 t^{2}
60)(3 r+4 s)(3 r-4 s)
61)(5 r+6 t)^{2}
- Відповідь
-
25 r^{2}+60 r t+36 t^{2}
62)(12 v+5 w)^{2}
63)(3 x-4)(2 x+5)
- Відповідь
-
6 x^{2}+7 x-20
64)(5 x-6)(4 x+2)
65)(6 b+4 c)(2 b+3 c)
- Відповідь
-
12 b^{2}+26 b c+12 c^{2}
66)(3 v+6 w)(2 v+4 w)
67)\left(11 u^{2}+8 w^{3}\right)\left(11 u^{2}-8 w^{3}\right)
- Відповідь
-
121 u^{4}-64 w^{6}
68)\left(3 u^{3}+11 w^{4}\right)\left(3 u^{3}-11 w^{4}\right)
69)(4 y+3 z)^{2}
- Відповідь
-
16 y^{2}+24 y z+9 z^{2}
70)(11 b+3 c)^{2}
71)(7 u-2 v)^{2}
- Відповідь
-
49 u^{2}-28 u v+4 v^{2}
72)(4 b-5 c)^{2}
73)(3 v+2 w)(5 v+6 w)
- Відповідь
-
15 v^{2}+28 v w+12 w^{2}
74)(5 y+3 z)(4 y+2 z)
75)(5 x-3)(6 x+2)
- Відповідь
-
30 x^{2}-8 x-6
76)(6 x-5)(3 x+2)
Для кожного з наведених нижче малюнків обчислити площу квадрата двома методами.
- Знайдіть площу, підсумовуючи площі її частин (див. Приклад 5.5.7).
- Знайдіть площу, спрямувавши сторону квадрата, використовуючи квадрат біноміального ярлика.
77)

- Відповідь
-
A=x^{2}+20 x+100
78)

79) Квадратний шматок картону вимірює12 дюйми з кожного боку. Чотири квадрата, кожен має сторонуx дюймів, вирізаються і видаляються з кожного з чотирьох кутів квадратного шматка картону. Потім сторони складаються вздовж пунктирних ліній, щоб утворити коробку без верху.

- Знайти обсяг коробки в залежності від тогоx, міра сторони кожного квадрата, відрізаного від чотирьох куточків вихідного шматка картону. Помножте, щоб розмістити свою відповідь у стандартній формі многочлена, максимально спрощуючи вашу відповідь.
- За допомогою отриманого полінома визначити обсяг коробки, якщо з кожного кута вихідного шматка картону вирізаються квадрати довжиною1.25 дюймів. Округлите відповідь до найближчого кубічного дюйма.
- Відповідь
-
- V(x)=144 x-48 x^{2}+4 x^{3}
- V(1.25) \approx 113кубічних дюймів
80) Розглянемо знову коробку, утворену у вправі 79.
- Знайдіть площу поверхні коробки в залежності від тогоx, міра сторони кожного квадрата, вирізаного з чотирьох куточків вихідного шматка картону. Помножте, щоб розмістити свою відповідь у стандартній формі многочлена, максимально спрощуючи вашу відповідь.
- За допомогою отриманого полінома визначити площу поверхні коробки, якщо з кожного кута вихідного шматка картону вирізаються квадрати довжиною1.25 дюймів. Округліть відповідь до найближчого квадратного дюйма.