3.3: Ставки та нахил
Відкриємо цей розділ із застосуванням поняття ставки.
Незалежний проти залежних
Традиційно розміщувати незалежну змінну на горизонтальній осі, а залежну змінну - на вертикальній осі.
Приклад3.3.1
Об'єкт скидається з відпочинку, потім починає набирати швидкість з постійною швидкістю10 метрів в секунду кожну секунду (10(m/s)/sабо10m/s2). Намалюйте графік швидкості об'єкта в порівнянні з часом.
Рішення
В даному прикладі швидкість руху об'єкта залежить від часу. Це робить швидкість залежною змінною, а час незалежною змінною.
Дотримуючись цієї орієнтири, розміщуємо час на горизонтальній осі і швидкість на вертикальній осі. На малюнку зверніть увагу3.3.1, що ми позначили кожну вісь залежними та незалежними змінними (vіt), і ми включили одиниці (m/sіs) в наші мітки. Далі нам потрібно масштабувати кожну вісь. Визначаючи шкалу для кожної осі, майте на увазі дві думки:
- Підберіть масштаб, який дозволяє зручно будувати графіки заданих даних.
- Виберіть масштаб, який дозволить всім зазначеним даними поміститися на графіку.
У цьому прикладі ми хочемо масштаб, який дозволяє зручно показати, що швидкість збільшується зі швидкістю10 метрів в секунду (10m/s) кожну секунду (m/s). Один з можливих підходів - зробити кожну позначку галочки на горизонтальній осі рівною1s і кожну позначку галочки на вертикальній осі рівною10m/s.

Далі, за часомt=0s, швидкість єv=0m/s. Це точка,(t,v)=(0,0) нанесена на рис3.3.2. По-друге, швидкість, з якою збільшується швидкість, дорівнює (10m/s) в секунду. Це означає, що кожен раз, коли ви рухаєтеся1 секундою вправо, швидкість збільшується на (10m/s).

На малюнку3.3.2 почніть з(0,0), потім1s рухайтеся вправо і (10m/s) вгору. Це ставить вас в точку(1,10), яка говорить про те, що через1 секунду швидкість частки дорівнює (10m/s). Продовжуйте таким чином, безперервно1s рухаючись вправо і (10m/s) вгору. Це дає послідовність точок, показану на малюнку3.3.2. Зверніть увагу, що ця постійна швидкість10(m/s)/s змушує графік швидкості в порівнянні з часом бути лінією, як зображено на малюнку3.3.3.

Вправа3.3.1
Починаючи з відпочинку, автомобіль набирає швидкість з постійною швидкістю5 миль на годину кожну секунду (5\((\mathrm{mi} / \mathrm{hr}) / \mathrm{s}\)). Намалюйте графік швидкості об'єкта в порівнянні з часом.
- Відповідь
-
Вимірювання зміни змінної
Щоб обчислити зміну деякої кількості, беремо різницю. Наприклад, припустимо, що температура вранці є40∘F, то вдень температура вимірюється60∘F (F позначає температуру Фаренгейта). Тоді зміна температури знаходять, взявши різницю.
Change in temperature = Afternoon temperature - Morning temperature =60∘F−40∘F=20∘F
Тому спостерігалося двадцятиградусне підвищення температури з ранку до полудня.
Тепер припустимо, що вечірня температура вимірюється50∘F. Щоб розрахувати зміну температури з полудня до вечора, знову віднімаємо.
Change in temperature = Evening temperature - Afternoon temperature =50∘F−60∘F=−10∘F
Відзначалося зниження температури на десять градусів з дня до вечора.
Обчислення зміни кількості
Щоб обчислити зміну кількості, відніміть попереднє вимірювання з пізнішого вимірювання.
НехайT представляють температуру. Математики люблять використовувати символікуΔT для представлення зміни температури. Для зміни температури з ранку до полудня ми б написалиΔT=20∘F. Для змін у другій половині дня на вечір ми б написалиΔT=−10∘F.
Математики та вчені часто використовують грецький алфавіт, перші кілька літер якого:
α,β,γ,δ,… (Greek alphabet, lower case) A,B,Γ,Δ,… (Greek alphabet, upper case) a,b,c,d,… (English alphabet)
Таким чином, грецька букваΔT, верхня форма регіструδ, корелює з літерою 'd' в англійському алфавіті. Чому математики зробили такий вибір букви, щоб представляти зміну кількості? Тому що, щоб знайти зміну кількості, ми беремо різницю, а слово «різниця» починається з літери 'd.' Таким чином,ΔT також вимовляється «різниця в Т.»
Важливі вимови
Два способи вимови символіки ΔT.
- ΔTвимовляється «зміна Т.»
- ΔTтакож вимовляється «різниця в Т.»
Нахил як швидкість
Ось визначення нахилу лінії.
Ухил
Нахил лінії - це швидкість, з якою залежна змінна змінюється відносно незалежної змінної. Наприклад, якщо залежна змінна є,y а незалежна змінна єx, то нахил лінії дорівнює:
Ухил=ΔyΔx
Приклад3.3.2
У прикладі об'єкт3.3.1, звільнений від спокою, побачив, що його швидкість збільшувалася з постійною швидкістю10 метрів в секунду (10(m/s)/sабо10m/s2). Ця постійна швидкість змусила графік швидкості проти часу бути лінією, показаною на малюнку3.3.3. Обчисліть ухил цієї лінії.
Рішення
Почніть з вибору двох точокP(2,20) іQ(8,80) на лінії, як показано на малюнку3.3.4. Щоб знайти нахил цієї лінії, визначення вимагає знайти швидкість, з якою залежна зміннаv змінюється щодо незалежної змінноїt. Тобто нахил - це змінаv розділеного на зміну вt. В символах:
Ухил=ΔvΔt

Тепер, коли ми рухаємося від точкиP(2,20) до точкиQ(8,80), швидкість змінюється від20m/s до80m/s. Таким чином, зміна швидкості становить:
Δv=80m/s−20m/s=60m/s
Аналогічно, коли ми рухаємося від точки Р (2,20) до точки Q (8,80), час змінюється від 2 секунд до 8 секунд. Таким чином, зміна часу - це:
Δt=8s−2s=6s
Тепер, коли у нас є як зміна залежних, так і незалежних змінних, ми можемо обчислити нахил.
Slope =ΔvΔt=60m/s6s=10m/ss
Тому ухил лінії становить10 метри в секунду в секунду (10(m/s)/sабо10m/s2).
Нахил лінії не залежить від вибраних вами точок. Спробуємо розрахунок ухилу ще раз, використовуючи дві різні точки і більш компактне уявлення необхідних розрахунків. Виберіть точкиP(3,30) іQ(7,70), як показано на малюнку3.3.5. Використовуючи ці дві нові точки, нахил - це швидкість, з якою залежна зміннаv змінюється щодо незалежної змінноїt.

Slope =ΔvΔt=70m/s−30m/s7s−3s=40m/s4s=10m/ss
Знову ж таки, нахил лінії є10(m/s)/s.
Вправа3.3.2
Починаючи з відпочинку, автомобіль набирає швидкість з постійною швидкістю 5 миль на годину кожну секунду (5 (миль/год) /с). Постійна швидкість змушує графік швидкості об'єкта в порівнянні з часом бути лінією. Обчисліть ухил цієї лінії.
- Відповідь
-
5(mi/hr)/s
Приклад\(\PageIndex{2}\) вказує на наступний факт.
Ухил не залежить від обраних точок
Неважливо, які дві точки ви виберете на лінії, щоб обчислити її нахил.
Наступний приклад демонструє, що нахил також не залежить від порядку віднімання.
Приклад3.3.3
Обчислити нахил лінії, що проходить через точкиP(−1,−2) іQ(3,3).
Рішення
Спочатку намалюйте лінію, що проходить через точки P (−1, −2) і Q (3,3) (див.\(\PageIndex{6}\) Рис.

Щоб обчислити нахил лінії через точкиP(−1,−2) іQ(3,3), ми повинні обчислити зміну як незалежних, так і залежних змінних. Ми зробимо це двома різними способами.
Попередження!
Якщо ви не послідовні в напрямку віднімання, ви не отримаєте правильної відповіді для нахилу.
Наприклад:3−(−2)−1−3=−54
У цьому випадку ми віднімалиy -координату точкиP(−1,−2) зy -координати точкиQ(3,3), але потім ми змінили коней в середині потоку, віднімаючиx -координату точкиQ(3,3) зx -координати точкиP(−1,−2). Відзначимо, що отримуємо негативний від правильної відповіді.
Спосіб 1
Відніміть координати точкиP(−1,−2) з координат точкиQ(3,3).
Slope =ΔyΔx=3−(−2)3−(−1)=54
Спосіб 2
Відніміть координати точкиQ(3,3) з координат точкиP(−1,−2).
Slope =ΔyΔx=−2−3−1−3=−5−4=54
Зверніть увагу, що незалежно від напрямку віднімання нахил є5/4.
Вправа3.3.3
Обчислити нахил прямої, що проходить через точки P (−3,1) і Q (2,4).
- Відповідь
-
3/5
Приклад3.3.3 демонструє наступний факт.
Напрямок віднімання значення не має
При розрахунку нахилу лінії через дві точкиP іQ, неважливо, в який бік ви віднімаєте, за умови, що ви залишаєтеся послідовними у виборі напрямку.
Крутизна лінії
Нам потрібно вивчити, чи відповідає наше визначення схилу певним очікуванням.
Ухил і крутизна лінії
Нахил лінії - це число, яке говорить нам про те, наскільки крута лінія.
Якщо нахил - це число, яке вимірює крутизну лінії, то можна було б очікувати, що більш крута лінія матиме більший нахил.
Приклад3.3.4
Графік дві лінії, перша проходить через точкиP(−3,−2) Q(3,2) і друга через точкиR(−1,−3) іS(1,3). Обчисліть нахил кожної лінії і порівняйте результати.
Рішення
Показані графіки двох ліній через задані точки, перша на малюнку3.3.7 і друга на рис3.3.8. Зверніть увагу, що лінія на малюнку3.3.7 менш крута, ніж лінія на малюнку3.3.8.


Пам'ятайте, нахил лінії - це швидкість, з якою змінюється залежна змінна щодо незалежної змінної. У обох Figure3.3.7 і Figure залежна змінна є3.3.8,y а незалежна змінна єx.
Відніміть координати точкиP(−3,−2) з координат точкиQ(3,2).
Slope of first line =ΔyΔx=2−(−2)3−(−3)=46=23
Відніміть координати точкиR(−1,−3) з точкиS(1,3).
Slope of second line =ΔyΔx=3−(−3)1−(−1)=62=3
Зверніть увагу, що обидві лінії йдуть в гору, і обидві мають позитивні нахили. Також врахуйте, що ухил другої лінії більше, ніж нахил першої лінії. Це узгоджується з тим, що друга лінія крутіше першої.
Вправа3.3.4
Обчислити нахил лінії, що проходить через точкиP(−2,−3) and Q(2,5). Then compute the slope of the line passing through the points R(−2,−1) and S(5,3), and compare the two slopes. Which line is steeper?
- Відповідь
-
Перша лінія має нахил2, а друга - ухил4/7. Перша лінія крутіше.
У прикладі обидві лінії похилі вгору3.3.4, і обидві мали позитивні схили, тим крутіша з двох ліній, що мають більший нахил. Давайте тепер подивимося на дві лінії, які нахиляються вниз.
Приклад3.3.5
Графік дві лінії, перша проходить через точкиP(−3,1)Q(3,−1) і друга через точкиR(−2,4) іS(2,−4). Обчисліть нахил кожної лінії і порівняйте результати.
Рішення
Показані графіки двох ліній через задані точки, перша на малюнку3.3.9 і друга на рис3.3.10. Зверніть увагу, що лінія на малюнку3.3.9 йде вниз менш швидко, ніж лінія на малюнку3.3.10. Пам'ятайте, нахил лінії - це швидкість, з якою змінюється залежна змінна щодо незалежної змінної. У обох Figure3.3.9 і Figure залежна змінна є3.3.10,y а незалежна змінна єx.


Відніміть координати точкиP(−3,1) з координат точкиQ(3,−1).
Slope of first line =ΔyΔx=−1−13−(−3)=−26=−13
Відніміть координати точкиR(−2,4) з координат точкиS(2,−4).
Slope of second line =ΔyΔx=−4−42−(−2)=−84=−2
Зверніть увагу, що обидві лінії йдуть вниз і обидві мають негативні нахили. Також врахуйте, що величина (абсолютне значення) ухилу другої лінії більше, ніж величина ухилу першої лінії. Це узгоджується з тим, що друга лінія рухається вниз швидше, ніж перша.
Вправа3.3.5
Обчислити нахил лінії, що проходить через точкиP(−3,3) and Q(3,−5). Then compute the slope of the line passing through the points R(−4,1) and S(4,−3), and compare the two slopes. Which line is steeper?
- Відповідь
-
Перша лінія має нахил−4/3, а друга - ухил−1/2. Перша лінія крутіше.
А як щодо ухилів вертикальних і горизонтальних ліній?
Приклад3.3.6
Обчисліть ухили вертикальних і горизонтальних ліній, що проходять через точку(2,3).
Рішення
Спочатку намалюйте ескіз вертикальних і горизонтальних ліній, що проходять через точку (2,3). Далі виберіть другу точку на кожній лінії, як показано на малюнках3.3.11 і3.3.12.


Ухили горизонтальних і вертикальних ліній розраховуються наступним чином.
Відніміть координати точкиP(−2,3) з координат точкиQ(2,3).
Slope of horizontal line =ΔyΔx=3−32−(−2)=04=0
Таким чином, нахил горизонтальної лінії дорівнює нулю, що має сенс тому, що горизонтальна лінія ні йде в гору, ні вниз.
Відніміть координати точки(2,−3) з координат точкиS(2,3).
Slope of vertical line =ΔyΔx=3−(−3)2−2=60= undefined
Ділення на нуль не визначено. Отже, нахил вертикальної лінії невизначений. Знову ж таки, це має сенс, оскільки гірські лінії стають крутішими і крутішими, їх схили збільшуються без обмежень.
Вправа3.3.6
Обчисліть ухили вертикальних і горизонтальних ліній, що проходять через h точку(−4,1).
- Відповідь
-
Нахил вертикальної лінії невизначений. Ухил другої лінії -0.
Геометрія нахилу прямої
Ми починаємо наше геометричне обговорення нахилу прямої з прикладу, обчислюючи нахил лінії, що проходить через точкиP(2,3) іQ(8,8). Перш ніж ми почнемо, ми спочатку обчислимо змінуyx та зміну, віднімаючи координати точкиP(2,3) з координат точкиQ(8,8).
Slope=ΔyΔxΔx=8−38−2=56
Таким чином, нахил лінії через точкиP(2,3) іQ(8,8) є5/6.
Щоб використовувати геометричний підхід до знаходження нахилу лінії, спочатку проведіть лінію через точкиP(2,3) іQ(8,8) (див. Малюнок3.3.13). Далі намалюйте прямокутний трикутник зі сторонами, паралельними горизонтальній і вертикальній осях, використовуючи точкиP(2,3) іQ(8,8) як вершини. При переході від точкиP доR точки на малюнку зверніть увагу3.3.13, що змінаx єΔx=6 (порахуйте галочки 1).

Коли ви потім рухаєтеся від точкиR до точкиQ, змінаy єΔy=5 (порахуйте галочки). Таким чином, нахил - це саме теΔy/Δx=5/6, що ми отримали в попередньому обчисленні.

Для контрасту, на малюнку3.3.14, ми почали в точціP(2,3), потім перемістили вгору5 одиниці і праві6 одиниці. Однак зміна все щеy є,Δy=5 і зміна все щеx відбувається, колиΔx=6 ми рухаємося від точкиP(2,3) до точкиQ(8,8). Значить, ухил все щеΔy/Δx=5/6.
Підйом над бігом
На малюнку е3.3.14 починаємо в точціP(2,3), потім «піднімаємо»5 одиниці, потім «запускаємо»6 одиниці вправо. З цієї причини деякі люблять думати про схил як «підйом над бігом».
Розглянемо другий приклад, показаний на малюнку3.3.15. Зверніть увагу, що лінія нахиляється вниз, тому ми очікуємо, що нахил буде негативним числом.

На малюнку3.3.15 ми намалювали прямокутний трикутник зі сторонами, паралельними горизонтальній і вертикальній осях, використовуючи точкиP(2,7) іQ(8,3) як вершини. Коли ви рухаєтеся від точкиP доR точки на малюнку3.3.15, змінаy єΔy=−4 (порахуйте галочки і зверніть увагу, що ваші значення y зменшуються при переході відP доR). Коли ви рухаєтеся від точкиR до точкиQ, змінаx єΔx=6 (порахуйте галочки і зверніть увагу, що ваші значенняx збільшуються при переході відR доQ). При цьому «підйом» негативний, в той час як «біг» - позитивний.
Таким чином, нахил єΔy/Δx=−4/6, або−2/3. Зверніть увагу, що нахил негативний, як передбачалося.

На малюнку3.3.16 ми намалювали наш трикутник на протилежній стороні лінії. У цьому випадку, коли ви рухаєтеся від точкиP доR точки на малюнку3.3.16, змінаx відбуваєтьсяΔx=6 (порахуйте галочки і зверніть увагу, що ваші значенняx збільшуються при переході відP доR). Коли ви рухаєтеся від точкиR до точкиQ, змінаy єΔy=−4 (порахуйте галочки і зверніть увагу, що ваші значенняy зменшуються при переході відR доQ). Таким чином, ухил все одноΔy/Δx=−4/6, або−2/3.
Ми можемо перевірити наші геометричні розрахунки ухилу, віднімаючи координати точкиP(2,7) з точкиQ(8,3).
Slope =ΔyΔx=3−78−2=−46=−23
Це узгоджується з розрахунками, зробленими на рисунках3.3.15 і3.3.16.
Давайте розглянемо остаточний приклад.
Приклад3.3.7
Намалюйте лінію, що проходить через точку(−2,3) з нахилом−2/3.
Рішення
Ухил є−2/3, тому лінія повинна йти вниз. На малюнку3.3.17 ми починаємо з точкиP(−2,3), рухаємо3 праві одиниці в точкуR(1,3), потім рухаємо вниз2 одиниці до точкиQ(1,1). Проведіть лінію через точкиPQ і все готово.

На малюнку3.3.18 ми використовуємо інший підхід, який призводить до того ж рядка. Почніть з точкиP(−2,3), рухайте вниз4 одиниці до точкиR(−2,−1), потім6 праві одиниці в точкуQ(4,−1). Намалюйте лінію через точкиPQ і все готово.

ТрикутникPQR на малюнку3.3.17 схожий на трикутникPQR на малюнку3.3.18, тому їх сторони пропорційні. Отже, нахил лінії через точкиP(−2,3) іQ(4,−1),
Slope =ΔyΔx=−46=−23
зводиться до нахилу лінії через точкиP іQ на рис3.3.17.
Вправа3.3.7
Намалюйте лінію, що проходить через точку(−4,2) with slope −1/4.
- Відповідь
-
Короткий зміст фактів про нахил лінії
Ми представляємо короткий виклад фактів, вивчених у цьому розділі.
- Нахил лінії - це швидкість, з якою залежна змінна змінюється відносно незалежної змінної. Якщоy є залежною змінною іx є незалежною змінною, то нахил -Δy це те,Slope=ΔyΔx де змінаy (різниця вy) іΔx є зміноюx (різниця вx).
- Якщо лінія має позитивний нахил, то лінія нахиляється вгору, коли ви «підмітаєте очі зліва направо». Якщо дві лінії мають позитивний ухил, то лінія з більшим ухилом піднімається швидше.
- Якщо лінія має негативний нахил, то лінія нахиляється вниз, коли ви «підмітаєте очі зліва направо». Якщо дві лінії мають негативний нахил, то лінія, що має нахил з більшою величиною, падає швидше.
- Горизонтальні лінії мають ухил нульовий.
- Вертикальні лінії мають невизначений нахил.