6.2: Введення в коефіцієнти та ставки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57355

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми використовуємо співвідношення для порівняння двох числових величин або величин з однаковими одиницями.

Співвідношення

Коефіцієнт - це частка двох числових величин або двох величин з однаковими фізичними одиницями.

Наприклад, давньогрецькі геометри вважали, що найбільш приємний для ока прямокутник мав довжину і ширину такі, що відношення довжини до ширини було певним числом, званим Золотим Перетином, приблизно рівним 1,6180339887... Архітектори донині використовують це співвідношення в своїх конструкціях.

Існує ряд еквівалентних способів вираження співвідношень, три з яких ми будемо використовувати в цьому тексті: позначення дробу, позначення «до» і позначення «двокрапка».

3/4 - це співвідношення, читається як «співвідношення 3 до 4».
3 до 4 - це співвідношення, читається як «співвідношення 3 до 4».
3:4 - це співвідношення, читати як «співвідношення 3 до 4».

Приклад 1

Висловіть кожне з наступних співвідношень у вигляді дробу, зменшеного до найнижчих показників: (а) 36 до 24, і (б) 0,12:0,18.

Рішення

(а) Щоб висловити співвідношення «36 до 24" як дріб, розмістіть 36 над 24 і зменшіть.

\[ \begin{aligned} \frac{36}{24} = \frac{3 \cdot \textcolor{red}{12}}{2 \cdot \textcolor{red}{12}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Factor.}} \\ = \frac{3 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{12}}}{2 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{12}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common factor.}} \\ = \frac{3}{2} \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином, співвідношення 36 до 24 дорівнює 3/2.

(b) Щоб висловити співвідношення «0. 12:0 .18" як дріб, поставте 0,12 над 0,18 і зменшіть.

\[ \begin{aligned} \frac{0.12}{0.18} = \frac{(0.18) \textcolor{red}{(100)}}{(0.18) \textcolor{red}{(100)}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerator and denominator by 100.}} \\ = \frac{12}{18} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Move each decimal 2 places right.}} \\ = \frac{2 \cdot \textcolor{red}{6}}{3 \cdot \textcolor{red}{6}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Factor.}} \\ = \frac{2 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{6}}}{3 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{6}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{Cancel.}} \\ \frac{2}{3} \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином, співвідношення 0. 12:0 .18 дорівнює 2/3.

Вправа

Експрес 0,12:0,3 у вигляді дробу, зменшеного до найнижчих показників.

Відповідь: 2/5

Приклад 2

Для прямокутника, який слідує, висловіть відношення довжини до ширини як дріб, зменшений до найнижчих.

$imageedit_32_5126423827.png$

Рішення.

Відношення довжини до ширини може бути виражено у вигляді дробу і зменшено наступним чином.

\[ \begin{aligned} \frac{ \text{length}}{ \text{width}} = \frac{3 \frac{1}{4} \text{ ft}}{2 \frac{1}{2} \text{ ft}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Length to width as a fraction.}} \\ = \frac{3 \frac{1}{4} \cancel{ \text{ ft}}}{2 \frac{1}{2} \cancel{ \text{ ft}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common units.}} \\ = \frac{ \frac{13}{4}}{ \frac{5}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Mixed to improper fractions.}} \end{aligned}\nonumber \]

Інвертувати і помножити, коефіцієнт і скасувати загальні фактори.

\[ \begin{aligned} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Invert and multiply.}} \\ = \frac{26}{20} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply numerators and denominators.}} \\ = \frac{13 \cdot \textcolor{red}{2}}{10 \cdot \textcolor{red}{2}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Factor numerator and denominator.}} \\ = \frac{13 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{2}}}{10 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{2}}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common factors.}} \\ = \frac{13}{10} \end{aligned}\nonumber \]

Значить, відношення довжини до ширини становить 13/10.

Вправа

Прямокутник має довжину$8 \frac{1}{4}$ дюймів і ширину$3 \frac{1}{2}$ дюймів. Висловіть відношення довжини до ширини у вигляді дробу, зменшеного до найнижчих.

Відповідь: 33/14

Тарифи

Тепер ми введемо поняття ставки, особливий тип співвідношення.

Оцінити

Ставка - це частка двох вимірювань з різними одиницями.

Фізична інтерпретація ставки з точки зору її одиниць є важливим навиком.

Приклад 3

Автомобіль подорожує 224 милі на 12 галонів бензину. Висловіть відношення пройденої відстані до споживання газу як частку, зменшену до найнижчих показників. Напишіть коротке речення, що пояснює фізичну значимість вашого рішення. Включіть одиниці в опис.

Рішення

Місце миль пройшло понад галони споживаного бензину і зменшують.

\[ \begin{aligned} \frac{224 \text{ mi}}{12 \text{ gal}} = \frac{56 \cdot \textcolor{red}{4} \text{ mi}}{3 \cdot \textcolor{red}{4} \text{ gal}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Factor.}} \\ = \frac{56 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{4}} \text{ mi}}{3 \cdot \cancel{ \textcolor{red}{4}} \text{ gal}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Cancel common factor.}} \\ = \frac{56 \text{ mi}}{3 \text{ gal}} \end{aligned}\nonumber \]

Таким чином, швидкість становить 56 миль до 3 галонів бензину. Простіше кажучи, це означає, що автомобіль проїжджає 56 миль на 3 галони бензину.

Вправа

Ленні проїжджає 180 кілометрів на 14 літрах бензину. Висловіть відношення пройденої відстані до споживання газу як частку, зменшену до найнижчих показників.

Відповідь: 90/7 кілометрів на літр

Одиничні ставки

При проведенні порівнянь корисно мати ставку у формі, де знаменник дорівнює 1. Таким ставкам дається особлива назва.

Одиниця ставки

Одиниця ставки - це ставка, знаменник якої дорівнює 1.

Приклад 4

Герман проїжджає 120 миль за 4 години. Знайдіть його середній показник швидкості.

Рішення

Помістіть відстань, пройдену протягом часу, необхідного для проїзду цієї відстані.

\[ \begin{aligned} \frac{120 \text{ miles}}{4 \text{ hours}} = \frac{30 \text{ miles}}{1 \text{ hour}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 120/4 = 30.} \\ = 30 \text{ miles/hour} \end{aligned}\nonumber \]

Отже, середня швидкість Германа становить 30 миль на годину.

Вправа

Яків проїжджає 120 кілометрів за 3 години. Знайдіть його середній показник швидкості.

Відповідь: 40 кілометрів на годину

Приклад 5

Адітя працює 8,5 годин і отримує 95 доларів за свої зусилля. Яка у нього погодинна зарплата?

Рішення

Давайте розмістимо гроші, зароблені за відпрацьовані години, щоб отримати наступну ставку:

\[ \frac{95 \text{ dollars}}{8.5 \text{ hours}}\nonumber \]

Ми отримаємо набагато краще уявлення про ставку заробітної плати Адіті, якщо висловимо ставку знаменником 1. Для цього розділіть. Натискаємо десяткове число в дільнику вправо, потім переміщаємо десяткове число на рівну кількість знаків у дивіденді. Оскільки ми маємо справу з доларами і центами, ми округляємо нашу відповідь до сотих.

$imageedit_20_5856924599.png$

Оскільки тестова цифра більше або дорівнює 5, додаємо 1 до цифри округлення і обрізаємо; тобто 95/8,5 ≈ 11,18. Отже,

\[ \begin{aligned} \frac{95 \text{ dollars}}{8.5 \text{ hours}} = \frac{11.18 \text{ dollars}}{1 \text{ hour}} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide: } 95/8.5 \approx 11.18.} \\ = 11.18 \text{ dollars/hour.} \end{aligned}\nonumber \]

Тобто його зарплата становить 11,18 доларів на годину.

Вправа

Френні працює 5,5 годин і отримує 120 доларів за свої зусилля. Яка у неї погодинна зарплата? Округлите відповідь до найближчої копійки.

Відповідь: $21.82 на годину

Приклад 6

Один автомобіль подорожує 422 милями на 15 галонів бензину. Другий автомобіль подорожує 354 милі на 13 галонів бензину. Який автомобіль отримує кращий пробіг газу?

Рішення

Десяткове ділення (округлене до найближчої десятої) виявляє кращий пробіг газу.

У випадку з першим автомобілем ми отримуємо наступний тариф:

\[ \frac{422 \text{ mi}}{15 \text{gal}}\nonumber \]

Розділити.

$imageedit_24_9257583841.png$

До найближчої десятої, 28,1.

У випадку з другим автомобілем ми отримуємо наступну норму:

\[ \frac{354 \text{ mi}}{13 \text{ gal}}\nonumber \]

Розділити.

$imageedit_28_6744192722.png$

До найближчої десятої, 27.2.

У випадку з першим автомобілем показник пробігу становить 28,1 милі/1 галон, що можна прочитати «28,1 миль на галон». У випадку з другим автомобілем швидкість пробігу становить 27,2 милі/1 галон, що можна прочитати «27,2 миль на галон». Тому перший автомобіль отримує кращий пробіг газу.

Вправа

Алісія працює 8 годин і заробляє 100 доларів. Конні працює 10 годин і заробляє $122. Яка жінка працює за більшою погодинною ставкою?

Відповідь: Алісія

Вправи

У вправах 1-24 висловіть задане співвідношення у вигляді дробу, зменшеного до найнижчих.

1. 0,14:0,44

2. 0,74:0,2

3. 0,05:0,75

4. 0,78:0,4

5. 0. 1:0 .95

6. 0,93:0,39

7. $2 \frac{2}{9}$:$1 \frac{1}{3}$

8. $3 \frac{2}{3} : 2 \frac{4}{9}$

9. 0,36:0,6

10. 0,58:0,42

11. 15:21

12. 77:121

13. $2 \frac{8}{9}$:$2 \frac{2}{3}$

14. $1 \frac{2}{3}$:$3 \frac{8}{9}$

15. $3 \frac{8}{9}$:$2 \frac{1}{3}$

16. $1 \frac{5}{9}$:$1 \frac{1}{3}$

17. $2 \frac{5}{8}$:$1 \frac{3}{4}$

18. $2 \frac{4}{9}$:$1 \frac{1}{3}$

19. 10:35

20. 132:84

21. 9:33

22. 35:10

23. 27:99

24. 12:28

25. Один автомобіль подорожує 271.8 миль на 10.1 галонів бензину. Другий автомобіль подорожує 257.9 миль на 11.1 галонів бензину. Який автомобіль отримує кращий пробіг газу?

26. Один автомобіль подорожує 202.9 миль на 13.9 галонів бензину. Другий автомобіль подорожує 221.6 миль на 11.8 галонів бензину. Який автомобіль отримує кращий пробіг газу?

27. Тодду платять 183 долари за 8,25 години роботи. Яка у нього погодинна зарплата, округлена до найближчої копійки?

28. Давиду платять 105 доларів за 8,5 годин роботи. Яка у нього погодинна зарплата, округлена до найближчої копійки?

29. Автомобіль проїжджає 140 миль за 4 години. Знайдіть середню норму швидкості.

30. Автомобіль проїжджає 120 миль за 5 годин. Знайдіть середню норму швидкості.

31. Юді платять 187 доларів за 8 годин роботи. Яка у нього погодинна зарплата, округлена до найближчої копійки?

32. Юді платять 181 долар за 8,75 години роботи. Яка у нього погодинна зарплата, округлена до найближчої копійки?

33. Один автомобіль подорожує 234.2 миль на 10.8 галонів бензину. Другий автомобіль подорожує 270.5 миль на 10.8 галонів бензину. Який автомобіль отримує кращий пробіг газу?

34. Один автомобіль подорожує 297.6 миль на 10.7 галонів бензину. Другий автомобіль подорожує 298,1 миль на 12.6 галонів бензину. Який автомобіль отримує кращий пробіг газу?

35. Автомобіль проїжджає 180 миль за 5 годин. Знайдіть середню норму швидкості.

36. Автомобіль проїжджає 220 миль за 5 годин. Знайдіть середню норму швидкості.

37. Антарктичний похід. Сім жінок на 562 милі Антарктичний лижний похід досягли Південного полюса 38 днів після того, як вони почали свою пригоду. Якою була середня норма швидкості у жінок на день? Округляйте результат до найближчої десятої частки милі. Associated Press-Times-Стандарт 12/31/09 Після 562-мильного лижного походу сім жінок досягають Південного полюса.

Відповіді

1. $\frac{7}{22}$

3. $\frac{1}{15}$

5. $\frac{2}{19}$

7. $\frac{5}{3}$

9. $\frac{3}{5}$

11. $\frac{5}{7}$

13. $\frac{13}{12}$

15. $\frac{5}{3}$

17. $\frac{3}{2}$

19. $\frac{2}{7}$

21. $\frac{3}{11}$

23. $\frac{3}{11}$

25. Перший автомобіль має кращий пробіг на галон.

27. 22,18 доларів/год

29. 35 милі/год

31. 23,38 доларів/год

33. Другий автомобіль має кращий пробіг на галон.

35. 36 милі/год

37. 14.8 миль на день