17: Поліноми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64238

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Більшість людей досить добре знайомі з поліномами до того моменту, як починають вивчати абстрактну алгебру. Коли ми вивчаємо поліноміальні вирази, такі як

\ почати {вирівнювати*} p (x) & = x^3 -3x +2\\ q (x) & = 3x^2 -6x +5\ текст {,}\ end {align*}

ми маємо досить гарне уявлення про те, що\(p(x) + q(x)\) і\(p(x) q(x)\) означає. Ми просто додаємо і множимо многочлени як функції; тобто,

\ почати {вирівнювати*} (р +q) (х) & = р (х) + q (x)\\ & = (x^3 - 3 х + 2) + (3 х ^ 2) + (3 х ^ 2 - 6 х + 5)\\ & = x^3 + 3 x^2 - 9 х + 7\ кінець {вирівнювати*}

\ почати {вирівнювати*} (p q) (x) & = p (x) q (x)\\ & = (x^3 - 3 х + 2) (3 х ^ 2 - 6 х + 5)\\ & = 3 х ^5 - 6 х ^4 - 4 х ^3 + 24 x^2 - 27 х + 10\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Напевно, не дивно, що многочлени утворюють кільце. У цьому розділі ми наголосимо на алгебраїчній структурі поліномів шляхом вивчення поліноміальних кілець. Ми можемо довести багато результатів для поліноміальних кілець, які аналогічні теоремам, які ми довели для цілих чисел. Аналоги простих чисел, алгоритм ділення та евклідовий алгоритм існують для многочленів.