17.5: Вправи

1

Перерахуйте всі поліноми ступеня\(3\) або менше в\({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

2

Обчислити кожне з наведених нижче дій.

1. \((5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)\)в\({\mathbb Z}_{12}[x]\)
2. \((5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)\)в\({\mathbb Z}_{12}[x]\)
3. \((7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)\)в\({\mathbb Z}_9[x]\)
4. \((3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)\)в\({\mathbb Z}_5[x]\)
5. \((3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)\)в\({\mathbb Z}_5[x]\)
6. \((5x^2 + 3x - 2)^2\)в\({\mathbb Z}_{12}[x]\)

3

Використовуйте алгоритм ділення, щоб знайти\(q(x)\) і\(r(x)\) таке, що\(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) з\(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) для кожної з наступних пар многочленів.

1. \(a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4\)і\(b(x) = x - 2\) в\({\mathbb Z}_7[x]\)
2. \(a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1\)і\(b(x) = x^2 + x - 2\) в\({\mathbb Z}_7[x]\)
3. \(a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4\)і\(b(x) = x^3 - 2\) в\({\mathbb Z}_5[x]\)
4. \(a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x\)і\(b(x) = x^3 + x\) в\({\mathbb Z}_2[x]\)

4

Знайдіть найбільший спільний дільник кожної з наступних пар\(p(x)\)\(q(x)\) та поліномів. Якщо\(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) знайти два поліноми\(a(x)\) і\(b(x)\) такі, що\(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)

1. \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\)і\(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) де\(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)
2. \(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\)і\(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) де\(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)
3. \(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\)і\(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) де\(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)
4. \(p(x) = x^3 - 2 x + 4\)і\(q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}\) де\(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

5

Знайти всі нулі для кожного з наступних многочленів.

1. \(5x^3 + 4x^2 - x + 9\)в\({\mathbb Z}_{12}[x]\)
2. \(3x^3 - 4x^2 - x + 4\)в\({\mathbb Z}_{5}[x]\)
3. \(5x^4 + 2x^2 - 3\)в\({\mathbb Z}_{7}[x]\)
4. \(x^3 + x + 1\)в\({\mathbb Z}_2[x]\)

6

Знайти всі одиниці в\({\mathbb Z}[x]\text{.}\)

7

Знайти одиницю\(p(x)\) в\({\mathbb Z}_4[x]\) такому, що\(\deg p(x) \gt 1\text{.}\)

8

Які з наступних поліномів є незведеними над\({\mathbb Q}[x]\text{?}\)

1. \(\displaystyle x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)
2. \(\displaystyle x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)
3. \(\displaystyle 3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)
4. \(\displaystyle 5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)

9

Знайти всі незвідні\(2\) многочлени ступенів і\(3\) в\({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

10

Дайте два різних факторизації\(x^2 + x + 8\) в\({\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}\)

11

Довести або спростувати: Існує многочлен\(p(x)\) в\({\mathbb Z}_6[x]\) ступеня\(n\) з більш ніж\(n\) різними нулями.

12

Якщо\(F\) поле, показати, що\(F[x_1, \ldots, x_n]\) це інтегральна область.

13

Показати, що алгоритм поділу не дотримується\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Чому він виходить з ладу?

14

Доведіть або\(x^p + a\) спростуйте: не зводиться для будь-якого\(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\), де\(p\) є простим.

15

\(f(x)\)Дозволяти бути незвідним в\(F[x]\text{,}\) де\(F\) поле. Якщо\(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) довести, що\(f(x) \mid p(x)\) або\(f(x) \mid q(x)\text{.}\)

16

Припустимо, що\(R\) і\(S\) є ізоморфними кільцями. Доведіть, що\(R[x] \cong S[x]\text{.}\)

17

\(F\)Дозволяти поле і\(a \in F\text{.}\) Якщо\(p(x) \in F[x]\text{,}\) показати,\(p(a)\) що залишок,\(p(x)\) отриманий при діленні на\(x - a\text{.}\)

18. Теорема про раціональний корінь

Нехай

\[ p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0 \in \mathbb Z[x]\text{,} \nonumber \]

де\(a_n \neq 0\text{.}\) Доведіть, що якщо\(p(r/s) = 0\text{,}\) де\(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) то\(r \mid a_0\) і\(s \mid a_n\text{.}\)

19

\({\mathbb Q}^*\)Дозволяти мультиплікативна група позитивних раціональних чисел. Доведіть, що\({\mathbb Q}^*\) є ізоморфним\(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)

20. Циклотомні поліноми

многочлен

\[ \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \nonumber \]

називається циклотомний многочлен. Покажіть,\(\Phi_p(x)\) що не можна скоротити\({\mathbb Q}\) для будь-якого простого\(p\text{.}\)

21

Якщо\(F\) поле, покажіть, що існує нескінченно багато незведених поліномів у\(F[x]\text{.}\)

22

\(R\)Дозволяти комутативне кільце з ідентичністю. Доведіть, що множення є комутативним в\(R[x]\text{.}\)

23

\(R\)Дозволяти комутативне кільце з ідентичністю. Доведіть, що множення є розподільним в\(R[x]\text{.}\)

24

Показати, що\(x^p - x\) має\(p\) різні нулі\({\mathbb Z}_p\text{,}\) для будь-якого простого Зробіть\(p\text{.}\) висновок, що

\[ x^p - x = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - (p - 1))\text{.} \nonumber \]

25

\(F\)Дозволяти бути поле і\(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) бути в\(F[x]\text{.}\) Визначити\(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\), щоб бути похідною від\(f(x)\text{.}\)

1. Доведіть, що

   \[ (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\text{.} \nonumber \]

   Зробіть висновок, що можна визначити гомоморфізм абелевих груп\(D : F[x] \rightarrow F[x]\) за\(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)

2. Обчислити ядро\(D\) if\(\chr F = 0\text{.}\)
3. Обчислити ядро\(D\) if\(\chr F = p\text{.}\)
4. Доведіть, що

   \[ (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)\text{.} \nonumber \]

5. Припустимо, що ми можемо помножити многочлен на лінійні\(f(x) \in F[x]\) множники, скажімо

   \[ f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n)\text{.} \nonumber \]

   Доведіть, що не\(f(x)\) має повторюваних факторів, якщо\(f(x)\) і тільки якщо і відносно\(f'(x)\) прості.

26

\(F\)Дозволяти бути полем. Покажіть, що\(F[x]\) це ніколи не поле.

27

\(R\)Дозволяти бути цілісним доменом. Доведіть, що\(R[x_1, \ldots, x_n]\) це інтегральна область.

28

\(R\)Дозволяти комутативне кільце з ідентичністю. Показати, що\(R[x]\) має підрядник\(R'\) ізоморфний до\(R\text{.}\)

29

\(p(x)\)\(q(x)\)Дозволяти і бути поліномами в\(R[x]\text{,}\) де\(R\) є комутативне кільце з ідентичністю. Доведіть, що\(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)