Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.7: Шавлія

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    64239

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Шавлія особливо вміє будувати, аналізувати та маніпулювати поліноміальними кільцями. Деякі з цього ми бачили в попередньому розділі. Почнемо зі створення трьох поліноміальних кілець і перевірки деяких їх основних властивостей. Існує кілька способів побудови поліноміальних кілець, але синтаксис, який використовується тут, є найбільш простим.

    Поліноміальні кільця та їх елементи

    Основні властивості кілець доступні для цих прикладів.

    За допомогою синтаксису побудови, використаного вище, змінні можуть бути використані для створення елементів поліноміального кільця без явного примусу (хоча ми повинні бути обережними з постійними поліномами).

    Поліноми можна оцінювати так, як вони є функціями, тому ми можемо імітувати оціночний гомоморфізм.

    Зверніть увагу, що p - це поліном другого ступеня, але за допомогою грубої сили ми бачимо, що многочлен має лише один корінь, всупереч нашим звичайним очікуванням. Це може бути ще більш незвичайним.

    Мудрець може створювати і маніпулювати кільцями поліномів у більш ніж одній змінній, хоча у нас не буде особливого приводу використовувати цю функціональність у цьому курсі.

    Незведені многочлени

    Незалежно від того, чи є поліноміальні фактори, беручи до уваги кільце, яке використовується для його коефіцієнтів, є важливою темою в цьому розділі та багатьох наступних розділах. Шавлія може фактор і визначити нескорочуваність, над цілими числами, раціональними та кінцевими полями.

    По-перше, над раціональними.

    Факторинг над цілими числами насправді нічим не відрізняється від факторингу над раціональними. Це зміст теореми\(17.14\) — знаходження факторизації над цілими числами може бути перетворено на знаходження факторизації над раціональними. Так що з Sage, є невелика різниця між роботою над раціональними і цілими числами. Це трохи інша робота над скінченним полем. Коментар випливає.

    Щоб перевірити ці факторизації, нам потрібно обчислити в кінцевому полі, F, і тому нам потрібно знати, як поводиться символ a. Цей символ розглядається як корінь многочлена ступеня два над цілими числами mod 5, які ми можемо отримати за допомогою методу.modulus ().

    Так\(a^2+4a+2=0\text{,}\) чи\(a^2=-4a-3=a+2\text{.}\) так при перевірці факторизацій, в будь-який час\(a^2\) ви бачите і ви можете замінити його\(a+2\text{.}\) Зауваження, що за наслідками\(17.8\) ми могли б знайти один лінійний фактор r, і чотири лінійні фактори s, через грубу силу пошуку коренів. Це можливо, оскільки поле є кінцевим.

    Однак q множники в пару поліномів ступеня 2, тому жодна кількість тестування на корені не виявить фактора.

    За допомогою критерію Ейзенштейна ми можемо створити незвідні поліноми, такі як у прикладі\(17.18\).

    Над полем\({\mathbb Z}_p\text{,}\) цілих чисел mod a прості поліноми\(p\text{,}\) Конвея є канонічними варіантами полінома ступеня\(n\), який не піддається зведенню над\({\mathbb Z}_p\text{.}\) Дивіться вправи, щоб дізнатися більше про ці поліноми.

    Поліноми над полями

    Якщо поле,\(F\) то кожен ідеал\(F[x]\) є основним (теорема\(17.20\)). Ніщо не заважає вам дати Sage два (або більше) генератори для побудови ідеалу, але Sage визначить елемент, який слід використовувати в описі ідеалу як основного ідеалу.

    Теорема\(17.22\) є ключовим фактом, що дозволяє легко будувати скінченні поля. Ось побудова скінченного поля порядку\(7^5=16\,807\text{.}\) Все, що нам потрібно - це поліном ступеня\(5\), який незведений над\({\mathbb Z}_7\text{.}\)

    Символ xbar є генератором поля, але зараз він недоступний. xbar - це косет. Краща конструкція буде включати в себе\(x + \langle x^5+ x + 4\rangle\text{.}\) вказівку цього генератора.