17.1: Поліноміальні кільця

Протягом цієї глави ми будемо вважати, що\(R\) це комутативне кільце з ідентичністю. Будь-який вираз форми

\[ f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\text{,} \nonumber \]

де\(a_i \in R\) і\(a_n \neq 0\text{,}\) називається поліном над\(R\) з невизначеною\(x\text{.}\) Елементи\(a_0, a_1, \ldots, a_n\) називаються коефіцієнтами\(f\text{.}\) Коефіцієнт\(a_n\) називається провідний коефіцієнт. Многочлен називається монічним, якщо провідний коефіцієнт дорівнює 1. Якщо\(n\) є найбільшим невід'ємним числом, для якого\(a_n \neq 0\text{,}\) ми говоримо,\(n\) що ступінь\(f\) є\(n\) і\(\deg f(x) = n\text{.}\) пишемо Якщо такого не існує -\(f=0\) тобто, якщо нульовий многочлен - то ступінь\(f\) визначається бути \(-\infty\text{.}\)Множини всіх поліномів з коефіцієнтами в\(R\) кільці ми позначимо\(R[x]\text{.}\) двома поліномами рівно, коли їх відповідні коефіцієнти рівні; тобто якщо ми дозволимо

\ почати {вирівнювати*} р (х) & = a_0 + a_1 x +\ cdots + a_n x^n\ [4pt] q (x) & = b_0 + b_1 x +\ cdots + b_m x ^ m\ текст {,}\ кінець {align*}

то\(p(x) = q(x)\) якщо і тільки якщо\(a_i = b_i\) для всіх\(i \geq 0\text{.}\)

Щоб показати, що множина всіх многочленів утворює кільце, ми повинні спочатку визначити додавання і множення. Суму двох многочленів визначаємо наступним чином. Нехай

\ begin {align*} p (x) & = a_0 + a_1 x +\ cdots + a_n x^n\ q (x) & = b_0 + b_1 x +\ cdots + b_m x ^m\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Тоді сума\(p(x)\) і\(q(x)\) дорівнює

\[ p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k\text{,} \nonumber \]

де\(c_i = a_i + b_i\) для кожного\(i\text{.}\) Ми визначаємо добуток\(p(x)\) і\(q(x)\) бути

\[ p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}\text{,} \nonumber \]

де

\[ c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0 \nonumber \]

для кожного\(i\text{.}\) зверніть увагу, що в кожному випадку деякі коефіцієнти можуть дорівнювати нулю.

Приклад\(17.1\)

Припустимо, що

\[ p(x) = 3 + 0 x + 0 x^2 + 2 x^3 + 0 x^4 \nonumber \]

і

\[ q(x) = 2 + 0 x - x^2 + 0 x^3 + 4 x^4 \nonumber \]

поліноми в\({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Якщо коефіцієнт деякого члена в поліномі дорівнює нулю, то ми зазвичай просто опускаємо цей термін.

Рішення

У цьому випадку ми б\(q(x) = 2 - x^2 + 4 x^4\text{.}\) написали\(p(x) = 3 + 2 x^3\) і Сума цих двох многочленів дорівнює

\[ p(x) + q(x)= 5 - x^2 + 2 x^3 + 4 x^4\text{.} \nonumber \]

Продукт,

\[ p(x) q(x) = (3 + 2 x^3)( 2 - x^2 + 4 x^4 ) = 6 - 3x^2 + 4 x^3 + 12 x^4 - 2 x^5 + 8 x^7\text{,} \nonumber \]

можна обчислити або визначивши\(c_i\) s у визначенні, або просто множивши многочлени так само, як ми це робили завжди.

Приклад\(17.2\)

Нехай

\[ p(x) = 3 + 3 x^3 \qquad \text{and} \qquad q(x) = 4 + 4 x^2 + 4 x^4 \nonumber \]

бути поліномами в\({\mathbb Z}_{12}[x]\text{.}\)

Рішення

Сума\(p(x)\) і\(q(x)\) є\(7 + 4 x^2 + 3 x^3 + 4 x^4\text{.}\) добутком двох многочленів нульового многочлена. Цей приклад говорить нам, що ми не можемо\(R[x]\) очікувати бути інтегральним доменом, якщо\(R\) це не інтегральна область.

Теорема\(17.3\)

\(R\)Дозволяти комутативне кільце з ідентичністю. Потім\(R[x]\) - комутативне кільце з ідентичністю.

Доказ

Наше перше завдання - показати, що\(R[x]\) це абелева група при поліноміальному додаванні. Нульовий многочлен\(f(x) = 0\text{,}\) - це адитивна ідентичність. З огляду на многочлен\(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\), обернене легко\(p(x)\) перевіряється як\(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) Комутативність і асоціативність випливають відразу з визначення поліноміального додавання і з того факту, що додавання в\(R\) є як комутативним, так і асоціативним.

Щоб показати, що множення поліномів є асоціативним, нехай

\ почати {вирівнювати*} p (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {м} a_i x^i,\\ q (x) & =\ сума_ {i = 0} ^ {n} b_i x^i,\\ r (x) & =\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Тоді

\ begin {align*} [p (x) q (x)] r (x) & =\ лівий [\ лівий (\ sum_ {i = 0} ^ {м} a_i x^i\ правий)\ лівий (\ sum_ {i = 0} ^ {n} b_i x ^ i\ праворуч)\ праворуч]\ ліворуч (\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x_i)\ праворуч]\ ліворуч (\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x_i ^i\ праворуч)\\ & =\ ліворуч [\ sum_ {i = 0} ^ {m+n}\ ліворуч (\ sum_ {j = 0} ^ {i} a_j b_ {i - j}\ праворуч) x^i\ праворуч]\ ліворуч (\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x ^ i\ праворуч)\\ & = \ sum_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ лівий [\ sum_ {j = 0} ^ {i}\ лівий (\ sum_ {k=0} ^j a_k b_ {j-k}\ праворуч) c_ {i-j}\ праворуч] x^i\\\ & =\ sum_ {i = 0} ^ {m + n + p}\ вліво (\ сума {j + k + л = i} a_j b_k c_l\ право) x^i\\ & =\ сума {i = 0} ^ {m+n+p}\ лівий [\ sum_ {j = 0} ^ {i} a_j\ ліворуч (\ sum_ {k = 0} ^ {i - j} b_k c_ {i - j - k}\ праворуч)\ ] x^i\\ & =\ лівий (\ sum_ {i = 0} ^ {м} a_i x^i\ правий)\ лівий [\ sum_ {i = 0} ^ {n + p}\ лівий (\ sum_ {j = 0} ^ {i} b_j c_ {i - j}\ праворуч) x^i\ праворуч]\\ & =\ ліворуч (\ sum_ {i = 0} ^ {м} a_i x ^ i\ праворуч)\ ліворуч [\ ліворуч (\ sum_ {i = 0} ^ {n} b_i x^i\ праворуч)\ ліворуч (\ sum_ {i = 0} ^ {p} c_i x^i\ праворуч]\\ & = p (x) [q (x) r (x) ]\ end {вирівнювати*}

Подібним чином доведено комутатність і розподільні властивості множення поліномів. Ми залишимо докази цих властивостей як вправу.

Пропозиція\(17.4\)

\(p(x)\)\(q(x)\)Дозволяти і бути поліномами в\(R[x]\text{,}\) де\(R\) є інтегральна область. Тоді\(\deg p(x) + \deg q(x) = \deg( p(x) q(x) )\text{.}\) Крім того,\(R[x]\) є цілісним доменом.

Доказ

Припустимо, що у нас є два ненульових многочлена

\[ p(x) = a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0 \nonumber \]

і

\[ q(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0 \nonumber \]

з\(a_m \neq 0\) і\(b_n \neq 0\text{.}\) Ступенями\(p(x)\) і\(q(x)\) є\(m\) і\(n\text{,}\) відповідно. Провідний термін,\(a_m b_n x^{m + n}\text{,}\) який не може бути нулем, оскільки\(R\) є інтегральною доменом; отже, ступінь\(p(x) q(x)\) є\(m + n\text{,}\) і\(p(x)q(x) \neq 0\text{.}\) Оскільки\(p(x) \neq 0\) і\(q(x) \neq 0\) означає, що\(p(x)q(x) \neq 0\text{,}\) ми знаємо, що також\(R[x]\) повинна бути інтегральною доменом.\(p(x) q(x)\)

Ми також хочемо розглянути поліноми в двох або більше змінних, таких як\(x^2 - 3 x y + 2 y^3\text{.}\)\(R\) Дозволяти бути кільцем і припустимо, що нам дано дві\(x\) невизначені і\(y\text{.}\) Звичайно, ми можемо сформувати кільце\((R[x])[y]\text{.}\) Це просто, але, можливо, нудно показати, що\((R[x])[y] \cong R([y])[x]\text{.}\) Ми будемо ідентифікувати ці два кільця цим ізоморфізмом і просто\(R[x,y]\text{.}\) пишуть\(R[x, y]\) Кільце називається кільцем поліномів у двох невизначеннях\(x\) і\(y\) з коефіцієнтами в\(R\text{.}\) Ми можемо визначити кільце многочлени в\(n\) невизначених з коефіцієнтами в\(R\) аналогічно. Позначимо це кільце\(R[x_1, x_2, \ldots, x_n]\text{.}\)

Теорема\(17.5\)

\(R\)Дозволяти комутативне кільце з ідентичністю і\(\alpha \in R\text{.}\) тоді у нас є кільцевий гомоморфізм, що\(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) визначається

\[ \phi_{\alpha} (p(x) ) = p( \alpha ) = a_n \alpha^n + \cdots + a_1 \alpha + a_0\text{,} \nonumber \]

де\(p( x ) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\text{.}\)

Доказ

Нехай\(p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i x^i\) і\(q(x) = \sum_{i = 0}^m b_i x^i\text{.}\) Це легко показати, що\(\phi_{\alpha}(p(x) + q(x)) = \phi_{\alpha}(p(x)) + \phi_{\alpha}(q(x))\text{.}\) Щоб показати, що множення зберігається під картою\(\phi_{\alpha}\text{,}\) спостерігати, що

\ begin {align*}\ phi_ {\ альфа} (p (x))\ phi_ {\ альфа} (q (x)) & = p (\ альфа) q (\ альфа)\\ & =\ лівий (\ sum_ {i = 0} ^n a_i\ альфа ^ i\ правий)\ лівий (\ сума {i = 0} ^m b_i\ альфа ^ i\ правий\)\ & =\ sum_ {i = 0} ^ {m + n}\ ліворуч (\ sum_ {k = 0} ^i a_k b_ {i - k}\ право)\ альфа ^ i\\ & =\ phi_ {\ альфа} (p (x) q (x) q (x)))\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Карта\(\phi_{\alpha} : R[x] \rightarrow R\) називається оцінкою гомоморфізму при\(\alpha\text{.}\)