17.8: Вправи шавлії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 64246

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1

Розглянемо поліном\(x^3-3x+4\text{.}\) Обчислити найбільш ретельну факторизацію цього многочлена над кожним з наступних полів: (а) скінченне поле\({\mathbb Z}_5\text{,}\) (b) скінченне поле з 125 елементами, (c) раціональні, (d) дійсні числа та (е) комплексні числа. Для цього побудуйте відповідне кільце полінома, і побудуйте многочлен як член цього кільця, і скористайтеся метод.factor ().

2

«Поліноми Конвея» є незведеними поліномами над тим\({\mathbb Z}_p\), що Sage (та інше програмне забезпечення) використовує для побудови максимальних ідеалів у кільцях поліномів, і, отже, часткових кілець, які є полями. Грубо кажучи, вони є «канонічними» варіантами для кожного ступеня і кожного простого. Команда conway_polynomial (p, n) поверне запис бази даних, який є незведеним поліномом ступеня\(n\) над\({\mathbb Z}_p\text{.}\)

Виконайте команду conway_polynomial (5, 4), щоб отримати нібито нескорочуваний многочлен ступеня 4 над\({\mathbb Z}_5\text{:}\)\(p = x^{4} + 4x^{2} + 4x + 2\text{.}\) Побудувати праве поліноміальне кільце (тобто в невизначеному\(x\)) і переконайтеся, що p дійсно є елементом вашого поліноміального кільця.

Спочатку визначте, що p не має лінійних факторів. Залишилася єдина можливість полягає в тому, що p множники як два квадратичні поліноми над\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Використовуйте розуміння списку з трьома твердженнями для створення всіх можливих квадратичних поліномів над\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Тепер використовуйте цей список для створення всіх можливих добутків два квадратичних многочлени і перевірте, чи є p в цьому списку.

Детальніше про поліноми Конвея можна знайти на сайті Френка Любека.

3

Побудувати скінченне поле порядку\(729\) як частку поліноміального кільця за головним ідеалом, породженим поліномом Конвея.

4

Визначте\(p = x^3 + 2x^2 + 2x + 4\) многочлени і\(q = x^4 + 2x^2\) як поліноми з коефіцієнтами з цілих чисел. Обчислити gcd (p, q) і переконайтеся, що результат ділить як p, так і q (просто сформуйте дріб в Sage і подивіться, що це спрощує чисто, або використовуйте метод.quo_rem ()).

Пропозиція\(17.10\) говорить, що існують поліноми\(r(x)\) і\(s(x)\) такі, що найбільший спільний дільник дорівнює,\(r(x)p(x)+s(x)q(x)\text{,}\) якщо коефіцієнти походять з поля. Оскільки тут ми маємо два поліноми над цілими числами, досліджуємо результати, повернуті Sage для розширеного gcd, xgcd (p, q). Зокрема, показати, що перший результат поверненої трійки кратний НСД. Потім перевірте властивість «лінійної комбінації» результату.

5

Для многочленного кільця над полем кожен ідеал є основним. Почніть з кільця многочленів над раціональними. Експериментуйте з побудовою ідеалів за допомогою двох генераторів, а потім переконайтеся, що Sage перетворює ідеал в основний ідеал за допомогою одного генератора. (Ви можете отримати цей генератор за допомогою ідеального методу.gen ().) Чи можете ви пояснити, як обчислюється цей єдиний генератор?