2.16: Докази паралелограма

Чотирикутники, які є паралелограмами

Нагадаємо, що паралелограм - це чотирикутник з двома парами паралельних сторін. Навіть якщо чотирикутник не позначений з двома парами сторін, це все одно може бути паралелограмом. Нижче наведено список теорем, які допоможуть вам вирішити, чи є чотирикутник паралелограмом чи ні.

1. Зворотна теорема протилежних сторін: Якщо обидві пари протилежних сторін чотирикутника конгруентні, то фігура є паралелограмом.

Якщо

потім

2. Протилежні кути Теорема Конверс: Якщо обидві пари протилежних кутів чотирикутника конгруентні, то фігура є паралелограмом.

Якщо

потім

3. Теорема діагоналей паралелограма Converse: Якщо діагоналі чотирикутника бісектують один одного, то фігура є паралелограмом.

Якщо

потім

4. Теорема паралельних конгруентних сторін: Якщо чотирикутник має один набір паралельних ліній, які також є конгруентними, то це паралелограм.

Якщо

потім

Ви можете використовувати будь-яку з наведених вище теорем, щоб показати, що чотирикутник - це паралелограм. Якщо ви працюєте у площині x−y, вам може знадобитися знати наведені нижче формули, щоб допомогти вам скористатися теоремами.

• Формула нахилу,$\dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$. (Пам'ятайте, що якщо схили однакові, то лінії паралельні).
• Формула відстані,$\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}$. (Це допоможе вам показати, що дві сторони є конгруентними).
• Формула середньої точки,$( \dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} )$. (Якщо середні точки діагоналей однакові, то діагоналі розділяють один одного).

Що робити, якщо вам дали чотири пари координат, які утворюють чотирикутник? Як ви могли визначити, чи цей чотирикутник є паралелограмом?

Приклад$\PageIndex{1}$

Доведіть теорему паралельних конгруентних сторін.

Дано:$\overline{AB}\parallel\overline{DC}$, і$\overline{AB}\cong \overline{DC}$

Доведіть:$ABCD$ це паралелограм

Рішення

Заява	Причина
1. $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$, і$\overline{AB}\cong \overline{DC}$	1. Враховується
2. $\angle ABD\cong \angle BDC$	2. Альтернативні внутрішні кути
3. $\overline{DB}\cong \overline{DB}$	3. Рефлексивний$PoC$
4. $\Delta ABD\cong \Delta CDB$	4. САС
5. $\overline{AD}\cong \overline{BC}$\)	5. CPCTC
6. $ABCD$є паралелограмом	6. Протилежні сторони Converse

Приклад$\PageIndex{2}$

$ABCD$Яке значення$x$ зробив би паралелограм?

Рішення

$\overline{AB}\parallel\overline{DC}$. За теоремою паралельних конгруентних сторін,$ABCD$ буде паралелограм, якщо$AB=DC$.

$\begin{align*} 5x−8 &=2x+13 \\ 3x &=21 \\ x &=7 \end{align*}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Доведіть зворотну теорему протилежних сторін.

З огляду на:$\overline{AB}\cong \overline{DC}$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$

Доведіть:$ABCD$ це паралелограм

Рішення

Заява	Причина
1. $\overline{AB}\cong \overline{DC}$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$	1. Дано
2. $\overline{DB}\cong \overline{DB}$	2. Рефлексивний$PoC$
3. $\Delta ABD\cong \Delta CDB$	3. ССС
4. $\angle ABD\cong \angle BDC$,$\angle ADB\cong \angle DBC$	4. $CPCTC$
5. $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$,$\overline{AD}\parallel\overline{BC}$	5. Альтернативні внутрішні кути Converse
6. $ABCD$є паралелограмом	6. Визначення паралелограма

Приклад$\PageIndex{4}$

$EFGH$Чотирикутник - паралелограм? Звідки ти знаєш?

Рішення

За теоремою протилежних кутів Converse,$EFGH$ є паралелограмом.

$EFGH$не є паралелограмом, тому що діагоналі не розділяють один одного.

Приклад$\PageIndex{5}$

Чотирикутник$ABCD$ є паралелограмом?

Рішення

Давайте використаємо теорему паралельних конгруентних сторін, щоб побачити, чи$ABCD$ є паралелограмом. Спочатку знайдіть довжину AB і CD за допомогою формули відстані.

$\begin{align*} AB &=\sqrt{(−1−3)^2+(5−3)^2} & CD &=\sqrt{(2−6)^2+(−2+4)^2} \\ &=\sqrt{(−4)^{2}+2^2} & &=\sqrt{(−4)^2+2^2} \\ &=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} & & =\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \end{align*}$

Далі знайдіть ухили, щоб перевірити, чи паралельні лінії.

$\begin{align*} Slope \: AB =\dfrac{5−3}{−1−3} =\dfrac{2}{−4} &=−\dfrac{1}{2} &Slope \: CD=\dfrac{−2+4}{2−6}=\dfrac{2}{−4}=−\dfrac{1}{2} \end{align*}$

$AB=CD$а нахили однакові (маючи на увазі, що лінії паралельні),$ABCD$ так і паралелограм.

Рецензія

З питань 1-12 визначте, чи є чотирикутники паралелограмами.

Для питань 13-18, визначити значення$x$ і$y$ що б зробити чотирикутник паралелограм.

З питань 19-22 визначте, чи$ABCD$ є паралелограм.

19. $A(8,−1)$,$B(6,5)$,$C(−7,2)$,$D(−5,−4)$
20. $A(−5,8)$,$B(−2,9)$,$C(3,4)$,$D(0,3)$
21. $A(−2,6)$,$B(4,−4)$,$C(13,−7)$,$D(4,−10)$
22. $A(−9,−1)$,$B(−7,5)$,$C(3,8)$,$D(1,2)$

Заповніть пропуски в докази нижче.

23. Теорема протилежних кутів

З огляду на:$\angle A\cong \angle C$,$\angle D\cong \angle B$

Доведіть:$ABCD$ це паралелограм

24. Теорема діагоналей паралелограма

З огляду на:$\overline{AE}\cong \overline{EC}$,$\overline{DE}\cong \overline{EB}$

Доведіть:$ABCD$ це паралелограм

25. З огляду на:$\angle ADB\cong \angle CBD$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$

Доведіть:$ABCD$ це паралелограм

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.4.

Додаткові ресурси

Відео: Доведення чотирикутника - це принципи паралелограма - Основні

Діяльність: Чотирикутники, які є паралелограмами Питання обговорення

Навчальні посібники: паралелограми навчальний посібник

Практика: Докази паралелограма

Реальний світ: чотирикутники, які є паралелограмами