2.15: Докази - Кутові пари та сегменти

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54563

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вертикальні кути, перпендикулярні бісектриси та інші теореми, засновані на пересічних лініях або паралельних лініях і поперечних.

Теореми про лінії та кути

Розглянемо лінію\(l\) і точку\(P\), яка не знаходиться на лінії\(l\). Скільки існує ліній, паралельних\(l\) і проходять через точку\(P\)?

Теореми про пряму та кут

Розглянемо дві паралельні лінії, які перетинаються третьою лінією. (Пам'ятайте, що галочки () можуть бути використані для позначення того, що дві лінії паралельні.)

Ця третя лінія називається поперечної. Зверніть увагу, що чотири кути створюються там, де поперечний перетинає кожну лінію. Кожен кут, створений поперечною і верхньою лінією, має відповідний кут з кутом, створюваним поперечною і нижньою лінією. Ці відповідні кутові пари показані кольоровими кодами нижче. Як ви думаєте, ці відповідні кути пов'язані між собою?

Ваша інтуїція та знання перекладів можуть припустити, що ці кути збігаються. Уявіть собі переклад одного з кутів уздовж поперечного, поки він не зустрінеться з другою паралельною лінією. Він буде точно відповідати відповідному його куту. Це відоме як відповідний постулат кута:

Якщо дві паралельні лінії розрізаються поперечним, то відповідні кути конгруентні.

Пам'ятайте, що постулат - це твердження, яке приймається як істинне без доказів. Ваші знання перекладів повинні переконати вас, що цей постулат істинний.

Ресурси

Давайте розглянемо деякі приклади проблем.

1. Нагадаємо, що вертикальні кути - це пара протилежних кутів, створених пересічними лініями. Доведіть, що вертикальні кути є конгруентними.

Для цього доказу вам не дається конкретна картина. Коли не дано зображення, це допомагає створити загальну картину для посилання у вашому доказі. Важливо, щоб зображення не містило жодної інформації, яку ви не можете припустити. Нижче наведено загальну картину пересічних ліній з кутами, пронумерованими для довідки.

На цій картинці\(\angle 1\) і\(\angle 2\) знаходяться вертикальні кути. Ваша робота полягає в тому, щоб довести це\(\angle 1\cong \angle 2\). Ви можете використовувати будь-який стиль доказу, який ви віддаєте перевагу. Ось двоколонковий доказ.

Заяви	причини
\(m\angle 1+m\angle 3=180^{\circ}\)і\(m\angle 2+m\angle 3=180^{\circ}\)	Два кути, що утворюють лінію, є додатковими
\(m\angle 1+m\angle 3=m\angle 2+m\angle 3\)	Алгебраїчна заміщення
\(m\angle 1=m\angle 2\)	Віднімання властивості рівності
\(\angle 1\cong \angle 2\)	Якщо два кути мають однакову міру, вони конгруентні.

Вертикальні кути конгруентні - це теорема. Тепер, коли це було доведено, ви можете використовувати його в майбутніх доказах, не доводячи це знову.

2. Коли дві паралельні лінії розрізаються попереком, утворюються дві пари чергуються внутрішніх кутів. На схемі нижче\(\angle 5\) чергуються\(\angle 3\) і внутрішні кути. Аналогічно\(\angle 6\) чергуються\(\angle 4\) і внутрішні кути.

Доведіть, що якщо дві паралельні лінії розрізаються поперечним, альтернативні внутрішні кути є конгруентними.

Скористайтеся діаграмою вище, і доведіть це\(\angle 3\cong \angle 5\). (Те саме точне доказ покаже, що\(\angle 4\cong \angle 6\)). Знову ж таки, загалом ви можете використовувати будь-який стиль доказу, який ви віддаєте перевагу. Ось доказ абзацу.

\(\angle 1\cong \angle 3\)тому що вони вертикальні кути, а вертикальні кути завжди конгруентні. \(\angle 1\cong \angle 5\)оскільки вони є відповідними кутами, створеними паралельними лініями, а відповідні кути конгруентні, коли лінії паралельні. \(\angle 3\cong \angle 5\)тому що якщо два кути конгруентні одному куту, вони конгруентні один одному перехідною властивістю .

* Примітка: Перехідне властивість стверджує, що якщо два об'єкти рівни/конгруентні одному третьому об'єкту, то вони рівні/конгруентні один одному. Перехідне властивість є формою заміщення. Ви можете використовувати його в будь-якому доказі.

3. Твердження «якщо дві паралельні лінії розрізаються поперечним, то альтернативні внутрішні кути конгруентні» є теоремою . Тепер, коли це було доведено, ви можете використовувати його в майбутніх доказах, не доводячи це знову.

Довести, що точки на перпендикулярній бісектрисі відрізка лінії рівновіддалені від кінцевих точок відрізка лінії.

Почніть з вивчення цього твердження. Намалюйте малюнок відрізка лінії і перпендикулярної бісектриси цього відрізка. Пам'ятайте, що перпендикулярна бісектриса перпендикулярна відрізку лінії (зустрічає його під прямим кутом) і розсікає відрізок лінії (розрізає його навпіл).

Твердження полягає в тому, що будь-яка точка на перпендикулярній бісектрисі (наприклад, точка\(C\)), знаходиться на однаковій відстані від кожної кінцевої точки. Іншими словами, твердження полягає в тому, що для якоїсь родової точки\(C\) на перпендикулярній бісектрисі,\(\overline{AC}\cong \overline{BC}\).

Щоб довести початкове твердження, досить буде довести, що якщо\(\overleftrightarrow{CD}\) перпендикулярна бісектриса до\(\overline{AB}\) with\(D\) on\(\overline{AB}\), то\(\overline{AC}\cong \overline{BC}\) використовуючи наведену вище діаграму в якості довідки. Пам'ятайте, загалом ви можете використовувати будь-який стиль доказу, який ви віддаєте перевагу. Ось схема потоку. Щоб довести це твердження, ви покажете, що два трикутники є конгруентними, а потім, що\(\overline{AC}\) і\(\overline{BC}\) відповідають частини так повинні бути конгруентними.

Твердження «точки на перпендикулярній бісектрисі відрізка прямої рівновіддалені від кінцевих точок відрізка» є теоремою. Тепер, коли це було доведено, ви можете використовувати його в майбутніх доказах, не доводячи це знову.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, скільки існує ліній, паралельних l і проходять через точку\(P\).

Рішення

Здоровий глузд повинен сказати вам, що існує лише одна лінія\(P\), яка паралельна\(l\).

Цікаво, що протягом сотень років люди намагалися довести це твердження з більш простих висловлювань, не пощастивши. Зрештою, було прийнято, що це просто повинен бути постулатом, твердженням, яке вважається істинним без доказів. Це відоме як паралельний постулат.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Якщо відповідні кути конгруентні, то паралельні лінії?

Рішення

Це відоме як зворотне постулат відповідних кутів. Оригінальний постулат говорив:

Оригінал: Якщо лінії паралельні, то відповідні кути конгруентні.

Тут частина твердження «if» (відома як гіпотеза) перемикається з «тоді» частиною твердження (відомої як висновок).

Converse: Якщо відповідні кути конгруентні, то лінії паралельні.

Загалом, тільки тому, що твердження є істинним, не обов'язково означає, що його зворотне вірне. У цьому випадку зворотне трапляється правдою. Єдиний спосіб, щоб відповідні кути були конгруентними, - це паралельні лінії. Відповідні кути зворотні також є постулатом, що означає, що він приймається як істинний без доказів.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Доведіть, що якщо лінії паралельні, то ті ж бічні внутрішні кути (наприклад,\(\angle 3\) і\(\angle 6\)) є додатковими.

Рішення

Загалом ви можете використовувати будь-який стиль доказу, який ви віддаєте перевагу. Тут використовуйте доказ абзацу.

\(\angle 3\cong \angle 5\)оскільки вони є альтернативними внутрішніми кутами, створеними паралельними лініями, а альтернативні внутрішні кути є конгруентними, коли лінії паралельні. \(m\angle 3=m\angle 5\)тому що конгруентні кути мають однакову міру. \(m\angle 5+m\angle 6=180^{\circ}\)тому що два кути, які утворюють лінію, є додатковими. Шляхом підміни ,\(m\angle 3+m\angle 6=180^{\circ}\) . \(\angle 3\)і\(\angle 6\) є додатковими, оскільки два кути із заходами, які додають до,\(180^{\circ}\) є додатковими.

Твердження «якщо дві паралельні лінії розрізаються поперечним, то однакові бічні внутрішні кути є додатковими» є теоремою . Тепер, коли це було доведено, ви можете використовувати його в майбутніх доказах, не доводячи це знову.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Доведіть, що якщо альтернативні внутрішні кути є конгруентними, то лінії паралельні.

Рішення

Це зворотна теорема про альтернативні внутрішні кути.

Оригінал: Якщо лінії паралельні, то альтернативні внутрішні кути конгруентні.

Зворотний: Якщо альтернативні внутрішні кути конгруентні, то лінії паралельні.

Щоб довести це твердження, почніть із зображення альтернативних внутрішніх кутів, які вважаються конгруентними, але не припускайте, що лінії паралельні. На малюнку нижче припустимо\(\angle 1\cong \angle 2\). Доведіть, що\(m \parallel n\) (дві паралельні смуги позначають паралельні лінії).

Заяви	причини
\(\angle 1\cong \angle 2\)	Враховується
\(\angle 1\cong \angle 3\)	Вертикальні кути конгруентні
\(\angle 2\cong \angle 3\)	Перехідна властивість конгруентності
\(m \parallel n\)	Якщо відповідні кути конгруентні, то лінії паралельні.

Рецензія

1. У задачі 1 з розділу теорем прямої та кута вище доведена теорема «вертикальні кути конгруентні» з двоколонковим доказом. Перепишіть цей доказ у форматі абзацу.

2. У задачі 2 з розділу теорем лінії та кута вище теорема «якщо лінії паралельні, то альтернативні внутрішні кути конгруентні» була доведена з доказом абзацу. Перепишіть цей доказ за допомогою блок-схеми.

3. У задачі 3 з розділу теорем прямої та кутової теореми було доведено теорему «точки на перпендикулярній бісектрисі відрізка прямої рівновіддалені від кінцевих точок відрізка» за допомогою блок-схеми. Перепишіть цей доказ у форматі з двома колонками.

4. У прикладі 3 теорема «якщо лінії паралельні, то однакові бічні внутрішні кути є додатковими» була доведена з доказом абзацу. Перепишіть цей доказ у форматі з двома колонками.

5. У прикладі 4 теорема «якщо альтернативні внутрішні кути конгруентні, то лінії паралельні» була доведена з двоколонковим доказом. Перепишіть цей доказ за допомогою блок-схеми.

6. Альтернативні зовнішні кути знаходяться поза парою ліній і по протилежних сторонам поперечного. \(\angle 2\)і\(\angle 8\) є прикладом альтернативних зовнішніх кутів. \ кут 1 і\ кут 7 - ще один приклад альтернативних зовнішніх кутів.

Теорема «якщо лінії паралельні, то альтернативні зовнішні кути конгруентні» частково доведена нижче. Заповніть пробіли, щоб завершити докази. Зверніть увагу, що кути, на які посилаються, взяті з наведеного вище малюнка.

Заяви	причини
Дві паралельні лінії розрізаються поперечним	_________
\(\angle 2\cong \angle 6\)	_________
\(\angle 6\cong \underline{\qquad}\)	Вертикальні кути конгруентні.
_________	Перехідне властивість.

7. Що таке зворотна теорема «якщо лінії паралельні, то однакові бічні внутрішні кути є додатковими»?

8. Доведіть зворотне, що ви написали в #7. Використовуйте будь-який стиль доказу, який ви віддаєте перевагу.

9. У задачі 3 з розділу теорем про пряму та кут доведено теорему «точки перпендикулярної бісектриси відрізка прямої рівновіддалені від кінцевих точок відрізка». Цю теорему можна переписати як «якщо точка знаходиться на перпендикулярній бісектрисі відрізка лінії, то точка рівновіддалена від кінцевих точок відрізка лінії». У чому зворотна ця теорема? Щоб перевірити свою відповідь, подивіться на #10.

10. Зворотна теорема в #9 - «якщо точка рівновіддалена від кінцевих точок відрізка лінії, то точка знаходиться на перпендикулярній бісектрисі відрізка лінії». Щоб довести цю нову теорему, ви можете скористатися малюнком нижче.

Припустімо\(C\), точка є випадковою точкою, яка є рівновіддаленою від кінцевих точок\(A\) і\(B\). \(D\)Точка - середина відрізка лінії\(\overline{AB}\). Ваша мета - показати, що\(\overline{CD}\) має бути перпендикулярно\(\overline{AB}\) (\(\overline{CD}\perp \overline{AB}\)). Ця нова теорема частково доведена нижче. Заповніть пробіли, щоб завершити докази.

У 11-13 ви доведете, що якщо два кути доповнюють один і той же кут, то два кути конгруентні.

11. Намалюйте загальну картину цієї ситуації і позначте три кути.

12. Які «дані» з вашої картини? Що ти намагаєшся довести?

13. Напишіть доказ заяви, використовуючи будь-який стиль доказу, який ви віддаєте перевагу.

14. Використовуючи свою роботу з 11-13, щоб допомогти, доведіть, що якщо два кути є додатковими до одного і того ж кута, то два кути є конгруентними.

15. Наведіть хоча б 3 методи доведення того, що лінії паралельні.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.2.

Лексика

Термін	Визначення
чергувати внутрішні кути	Чергуються внутрішні кути - це два кути, які знаходяться на внутрішній стороні двох різних ліній, але з протилежних сторін поперечної.
Відповідні кути	Відповідні кути - це два кути, які знаходяться в одному положенні щодо поперечного, але на різних лініях.
перпендикулярна бісектриса	Перпендикулярна бісектриса відрізка лінії проходить через середину відрізка лінії і перетинає відрізок лінії в\(90^{\circ}\).
постулат	Постулат - це твердження, яке приймається як істинне без доказів.
поперечний	Поперечний - це лінія, яка перетинає дві інші лінії.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент