2.3: Кількість шаблонів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54519

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Визначте відсутні значення в числових закономірностях.

Розширити числові шаблони

Микола на шляху до нового будинку свого двоюрідного брата. Він знайшов вулицю і просто шукає будинок. Його двоюрідний брат живе під номером 1644. Микола зауважує, що номери будинків з правого боку вулиці, здається, слідують шаблону:

\(1574, 1584, 1594, … \)

№ 1574 був перший будинок Миколи побачив праворуч. Якщо він припускає, що схема того, як нумеруються будинки, буде продовжуватися, як Микола може продовжити візерунок, щоб з'ясувати, скільки будинків від будинку його двоюрідного брата?

У цій концепції ви дізнаєтеся, як розширити числові закономірності.

Числові закономірності

Числовий шаблон - це послідовність чисел, яка була створена на основі правила, званого правилом візерунка. Правила шаблону можуть використовувати одну або кілька математичних операцій для опису зв'язку між послідовними числами в послідовності.

Знання правила викрійки допоможе вам продовжити візерунок. Розширити шаблон означає використовувати правило шаблону, щоб записати числа, які будуть наступними в послідовності.

Ось приклад.

Наступні два числа знайти в такій послідовності: 3, 6, 9, 12,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Для початку розберемося з правилом викрійки. Це висхідний візерунок, тому правило, ймовірно, передбачає додавання або множення.

Далі придумайте потенційні правила шаблону. Подумайте: «Що ви могли б зробити, щоб 3, щоб отримати 6?»

Ви можете додати 3
Можна було б помножити на 2.
Ви можете зробити комбінацію двох або більше операцій.

Тепер перевірте, чи працює будь-яке з цих потенційних правил шаблону з рештою послідовності.

Розглянемо 6 і 9.

Якщо додати 3 до 6, ви отримаєте 9. Так що правило візерунка «додати 3», здається, працює.

Переконайтеся, що «додати 3" працює протягом усієї послідовності.

«Додати 3" працює для всієї послідовності.

Тепер продовжимо візерунок. Застосуйте правило візерунка «додати 3» до 12 в кінці візерунка.

Наступним числом в викрійці буде 15.

«Додайте 3» ще раз, щоб отримати шосте число в послідовності.

Відповідь полягає в тому, що розширений візерунок дорівнює 3, 6, 9, 12,\(\underline{15}\), \(\underiline{18}\).

Іноді вас зацікавить той чи інший термін в шаблоні. Для того, щоб з'ясувати конкретний термін, продовжуйте розширювати шаблон, поки не досягнете терміну, який шукаєте.

Давайте розглянемо приклад.

Що таке сьоме число в послідовності:\(1,3,9,27, \ldots\)?

Далі придумайте потенційні правила шаблону. Подумайте: «Що ви могли б зробити, щоб 1 отримати 3?»

Ви можете додати 2.
Можна було б помножити на 3.
Ви можете зробити комбінацію двох або більше операцій.

Тепер перевірте, чи працює будь-яке з цих потенційних правил шаблону з рештою послідовності.

Розглянемо 1 і 3.

Якщо додати 2 до 3 ви отримаєте 5, а не 9. Таким чином, правило шаблону не «додати 2».
Якщо помножити 3 на 3, то вийде 9. Так що правило візерунка «помножити на 3», здається, працює.

Переконайтеся, що «множення на 3» працює протягом усієї послідовності.

«Помножити на 3» працює для всієї послідовності.

Нарешті, ви можете продовжити візерунок, щоб знайти сьоме число. Продовжуйте множити на 3, поки не досягнете сьомого числа в послідовності.

Перші сім чисел у послідовності є\(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729\).

Відповідь полягає в тому, що сьоме число в послідовності - 729.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вам давали проблему про Миколи, який збирається в будинок свого двоюрідного брата.

Він щойно пройшов будинок № 1574 і помітив, що номери будинків, здається, слідують шаблону:

\(1574, 1584, 1594\)

Його двоюрідний брат живе під номером 1644. Микола хоче розширити закономірність, щоб передбачити, скільки будинків від будинку його двоюрідного брата.

Рішення

Для початку розберемося з правилом викрійки. Це висхідний візерунок, тому правило, ймовірно, передбачає множення або додавання.

Далі подивіться, як пов'язані цифри. Різниця між числами - постійна 10. Це означає, що правило шаблону «додати 10». Двічі перевірте, чи працює це правило шаблону для трьох заданих чисел у послідовності.

Візерункове правило «додати 10» працює для трьох заданих чисел у послідовності.

Тепер продовжимо візерунок. Застосуйте правило візерунка «додати 10" в кінці візерунка, поки не натиснете 1644.

Далі випишіть розширену послідовність.

Зверніть увагу, що 1644 - восьме число в послідовності.

Відповідь полягає в тому, що Микола може очікувати, що будинок його двоюрідного брата буде восьмим будинком праворуч.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Наступні два числа знайти в такій послідовності: 24, 14, 9\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Рішення

Для початку розберемося з правилом викрійки. Це спадна картина, тому правило, ймовірно, передбачає поділ або віднімання.

Далі подивіться, як пов'язані цифри. Різниця між числами зменшується при переміщенні послідовності. Щоб отримати від 24 до 14 потрібно відняти 10, але щоб отримати від 14 до 9, вам доведеться відняти 5. Це означає, що задіяний поділ. Оскільки немає цілого числа, яке ви можете розділити 24 на, щоб отримати 14, правило шаблону, ймовірно, ділення з додаванням або відніманням.

Тепер розглянемо можливі правила шаблону, які передбачають поділ і додавання або віднімання. Подумайте: «Що ви могли б зробити, щоб 24, щоб отримати 14?»

Ви можете розділити на 2 і додати 2.
Ви можете розділити на 3 і додати 6.
Ви можете зробити якусь іншу комбінацію двох або більше операцій.

Далі озирніться назад на решту послідовності. Розглянемо 14 і 9.

Якщо розділити 14 на 2 і додати 2, то вийде 9. Таким чином, правило візерунка «ділити на 2 і додати 2" працює для трьох заданих чисел в послідовності.

Тепер продовжимо візерунок. Застосуйте правило візерунка «розділіть на 2 і додайте 2» в кінці візерунка два рази.

Наступні два числа в послідовності будуть 6,5 і 5,25.

Відповідь полягає в тому, що розширений візерунок дорівнює 24, 14, 9,\(\underline{6.5}\), \(\underline{5.25}\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Наступні два числа знайти в такій послідовності: 9,17,33,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Рішення

Далі подивіться, як пов'язані цифри. Різниця між числами збільшується при переміщенні по послідовності. Це означає, що задіяно множення. Оскільки немає цілого числа, ви можете помножити 9 на, щоб отримати 17, правило шаблону, швидше за все, множення з додаванням або відніманням.

Тепер розглянемо можливі правила шаблону, які передбачають множення і додавання або віднімання. Подумайте: «Що ви могли б зробити, щоб 9, щоб отримати 17?»

Ви можете помножити на 2 і відняти 1.
Ви можете помножити на 3 і відняти 10.
Ви можете зробити якусь іншу комбінацію двох або більше операцій.

Далі озирніться назад на решту послідовності. Розглянемо 17 і 33.

Якщо помножити 17 на 2 і відняти 1, то вийде 33. Таким чином, правило шаблону помножити на 2 і відняти 1 працює для трьох заданих чисел в послідовності.

Тепер продовжимо візерунок. Застосуйте правило візерунка «помножте на 2 і відніміть 1» в кінці візерунка два рази.

Наступні два числа в візерунку будуть 65 і 129.

Відповідь полягає в тому, що розширений шаблон дорівнює 9, 17, 33\(\underline{65}\),,\ (\ підкреслення {129}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Наступні два числа знайти в такій послідовності: 3, 10, 31,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Рішення

Далі подивіться, як пов'язані цифри. Різниця між числами збільшується при переміщенні по послідовності. Це означає, що задіяно множення. Оскільки немає цілого числа, ви можете помножити 3 на, щоб отримати 10, правило шаблону, швидше за все, множення з додаванням або відніманням.

Тепер розглянемо можливі правила шаблону, які передбачають множення і додавання або віднімання. Подумайте: «Що ви могли б зробити, щоб 3, щоб отримати 10?»

Можна помножити на 2 і додати 4.
Можна помножити на 3 і додати 1.
Ви можете зробити якусь іншу комбінацію двох або більше операцій.

Далі озирніться назад на решту послідовності. Розглянемо 10 і 31.

Якщо помножити 10 на 3 і додати 1, то вийде 31. Таким чином, правило шаблону «помножити на 3 і додати 1» працює для трьох заданих чисел в послідовності.

Тепер продовжимо візерунок. Застосовуємо правило візерунка «множимо на 3 і додаємо 1» в кінці візерунка два рази.

Наступні два числа в візерунку будуть 94 і 283.

Відповідь полягає в тому, що розширеним шаблоном є 3, 10, 31,\ (\ підкреслення {94}\),\ (\ підкреслення {283}\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть шосте число в такій послідовності:\(4, 17, 56, \ldots\)

Рішення

Далі подивіться, як пов'язані цифри. Різниця між числами збільшується при переміщенні по послідовності. Це означає, що задіяно множення. Оскільки немає цілого числа, ви можете помножити 4 на, щоб отримати 17, правило шаблону, швидше за все, множення з додаванням або відніманням.

Тепер розглянемо можливі правила шаблону, які передбачають множення і додавання або віднімання. Подумайте: «Що ви могли б зробити, щоб 4, щоб отримати 17?»

Можна помножити на 2 і додати 9.
Можна помножити на 3 і додати 5.
Можна помножити на 4 і додати 1.
Ви можете зробити якусь іншу комбінацію двох або більше операцій.

Далі озирніться назад на решту послідовності. Розглянемо 17 і 56.

Якщо помножити 17 на 3 і додати 5, то вийде 56. Таким чином, правило шаблону «помножити на 3 і додати 5» працює для трьох заданих чисел у послідовності.

Тепер продовжимо візерунок. Застосовуємо правило візерунка «множимо на 3 і додаємо 5» в кінці візерунка три рази для того, щоб дістатися до шостого числа в послідовності.

Розширений візерунок є\(4, 17, 56, 173, 524, 1577\).

Відповідь полягає в тому, що шосте число в послідовності - 1577.

Рецензія

Розширити кожен числовий візерунок, заповнивши заготовки.

2, 3, 4, 5,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
2, 4, 6, 8,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
2, 5, 11, 23\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
3, 6, 9,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
64, 16, 4\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
150, 100, 50\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
10, 20, 30, 40\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
15, 30, 45\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
100, 112, 124\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
4, 18, 74\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
40, 120, 360\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
2.5, 6, 13,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
50, 25, 12.5,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
3, 4.5, 6, 7.5, 9,\(\underline{\quad}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.2.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Візерунки в послідовностях 2

Практика: Кількість шаблонів