2.13: Вступ до доказів

Дві колонки Докази

Двоколонковий доказ - це один із поширених способів організації доказу в геометрії. Двоколонкові докази завжди мають два стовпці: один для тверджень і один з причин. Найкращий спосіб зрозуміти докази з двома стовпцями - прочитати приклади.

При написанні власного доказу з двох стовпців майте на увазі такі речі:

• Пронумеруйте кожен крок.
• Почніть з наданої інформації.
• Висловлювання з тією ж причиною можна об'єднати в один крок. Це вирішувати вам.
• Намалюйте картинку і позначте її заданою інформацією.
• У вас повинна бути причина для КОЖНОГО твердження.
• Порядок тверджень у доказі не завжди фіксується, але переконайтеся, що порядок має логічний сенс.
• Причинами будуть визначення, постулати, властивості і раніше доведені теореми. «Giden» використовується лише як причина, якщо інформація у стовпці оператора була надана в задачі.
• Використовуйте символи та абревіатури для слів у доказах. Наприклад,$\cong$ може використовуватися замість слова конгруентний. Ви також можете використовувати\ (\ кут) для слова кут.

Припустимо, вам кажуть, що$\angle XYZ$ це прямий кут і що$\overrightarrow{YW}$ бісекції$\angle XYZ$. Потім вас просять довести$\angle XYW\cong \angle WYZ$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Напишіть докази з двох стовпців для наступного:

Якщо$A$,$B$,$C$, і$D$ є точками на прямій, в заданому порядку, і$AB=CD$, то$AC=BD$.

Рішення

Коли твердження дається таким чином, частина «якщо» - це дана, а частина «тоді» - це те, що ми намагаємося довести.

Завжди починайте з малювання картини того, що вам дано.

Покладіть точки в порядку$A$,$B$,$C$,,$D$ на лінії.

Додайте дане,$AB=CD$.

Намалюйте докази з двох стовпців і почніть з заданої інформації.

Заява	Причина
1. $A$,$B$,$C$, і$D$ є колінеарними, в такому порядку.	1. Враховується
2. $AB=CD$	2. Враховується
3. $BC=BC$	3. Рефлексивний PoE
4. $AB+BC=BC+CD$	4. Додаток PoE
5. $AB+BC=AC$ $BC+CD=BD$	5. Постулат додавання сегмента
6. $AC=BD$	6. Заміна або перехідний PoE

Приклад$\PageIndex{2}$

Напишіть докази з двох стовпців.

Дано:$\overrightarrow{BF}$ бісекти$\angle ABC$;$\angle ABD\cong \angle CBE$

Доведіть:$\angle DBF\cong \angle EBF$

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Спочатку нанесіть відповідну розмітку на малюнку. Нагадаємо, що бісекція означає «розрізати навпіл». Тому,$m\angle ABF=m\angle FBC$.

Заява	Причина
1. $\overrightarrow{BF}$бісекції$\angle ABC$,$\angle ABD\cong \angle CBE$	1. Враховується
2. $m\angle ABF=m\angle FBC$	2. Визначення бісектриси кута
3. $m\angle ABD=m\angle CBE$	3. Якщо кути є$\cong$, то їх мірки рівні.
4. $m\angle ABF=m\angle ABD+m\angle DBF$ $m\angle FBC=m\angle EBF+m\angle CBE$	4. Постулат додавання кута
5. $m\angle ABD+m\angle DBF=m\angle EBF+m\angle CBE$	5. Підміна PoE
6. $m\angle ABD+m\angle DBF=m\angle EBF+m\angle ABD$	6. Підміна PoE
7. $m\angle DBF=m\angle EBF$	7. Віднімання PoE
8. $\angle DBF\cong \angle EBF$	8. Якщо міри рівні, то кути дорівнюють\ (\ cong.

Приклад$\PageIndex{5}$

Теорема вертикальних кутів стверджує, що вертикальні кути є конгруентними. Доведіть цю теорему.

Задано: Лінії$k$ і$m$ перетинаються.

Доведіть:$\angle 1\cong \angle 3$

Рішення

Заява	Причина
1. Лінії$k$ і$m$ перетин	1. Враховується
2. $\angle 1$і$\angle 2$ є лінійною парою \ кут 2 і$\angle 3$ є лінійною парою	2. Визначення лінійної пари
3. $\angle 1$і$\angle 2$ є додатковими $\angle 2$і$\angle 3$ є додатковими	3. Постулат лінійної пари
4. $m\angle 1+m\angle 2=180^{\circ}$ $m\angle 2+m\angle 3=180^{\circ}$	4. Визначення додаткових кутів
5. $m\angle 1+m\angle 2=m\angle 2+m\angle 3$	5. Підміна PoE
6. $m\angle 1=m\angle 3$	6. Віднімання PoE
7. $\angle 1\cong \angle 3$	7. $\cong$кути мають = заходи

Приклад$\PageIndex{6}$

$\angle 1\cong \angle 4$і$\angle C$ і$\angle F$ знаходяться під прямим кутом.

Які кути є конгруентними і чому?

Рішення

За теоремою прямого кута,$\angle C\cong \angle F$. Крім того,$\angle 2\cong \angle 3$ за тими ж кутами доповнює теорему тому, що$\angle 1\cong \angle 4$ і вони є лінійними парами з цими конгруентними кутами.

Рецензія

Заповніть пропуски в докази нижче.

1. Дано:$\angle ABC\cong \angle DEF$ і$\angle GHI\cong \angle JKL$

Доведіть:$m\angle ABC+m\angle GHI=m\angle DEF+m\angle JKL$

2. Дано:$M$ є середньою точкою$\overline{AN}$. $N$є середньою точкою$\overline{MB}$

Доведіть:$AM=NB$

3. Дано:$\overline{AC}\perp \overline{BD}$ і$\angle 1\cong \angle 4$

Доведіть:$\angle 2\cong \angle 3$

4. Дано:$\angle MLN\cong \angle OLP$

Доведіть:$\angle MLO\cong \angle NLP$

5. Дано:$\underline{AE}\perp \underline{EC}$ і$\underline{BE}\perp \underline{ED}$

Доведіть:$\angle 1\cong \angle 3$

6. $\angle L$Враховується: є додатковим до$\angle M$ і$\angle P$ є додатковим до$\angle O$ і$\angle L\cong \angle O$

Доведіть:$\angle P\cong \angle M$

7. Дано:$\angle 1\cong \angle 4$

Доведіть:$\angle 2\cong \angle 3$

8. Дано:$\angle C$ і$\angle F$ є прямими кутами

Доведіть:$m\angle C+m\angle F=180^{\circ}$

9. Дано:$l\perp m$

Доведіть:$\angle 1\cong \angle 2$

10. Дано:$m\angle 1=90^{\circ}$

Доведіть:$m\angle 2=90^{\circ}$

11. Дано:$l\perp m$

Доведіть:$\angle 1$ і$\angle 2$ є доповненнями

12. Дано:$l\perp m$ і$\angle 2\cong \angle 6$

Доведіть:$\angle 6\cong \angle 5$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.7.

Лексика

Додаткові ресурси

Відео: Принципи доказів двох стовпців - Основні

Діяльність: Дві колонки Докази Дискусійні питання

Навчальні посібники: Докази Навчальний посібник

Практика: Вступ до доказів

Реальний світ: Дайте мені одну причину