2.14: Властивості рівності та конгруентності

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.13: Вступ до доказів
- 2.15: Докази - Кутові пари та сегменти

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Логічні правила, що включають рівність та конгруентність, які дозволяють маніпулювати та вирішувати рівняння.

Властивості рівності та конгруентності

Основні властивості рівності були введені вам в алгебрі I. Ось вони знову:

Рефлексивне властивість рівності: $AB=AB$
Симетрична властивість рівності: якщо $m\angle A=m\angle B$ , то $m\angle B=m\angle A$
Перехідне властивість рівності: якщо $AB=CD$ і $CD=EF$ , то $AB=EF$
Властивість заміщення рівності: Якщо $a=9$ і $a−c=5$ , то $9−c=5$
Додавання властивості рівності: Якщо $2x=6$ , то $2x+5=6+5$ чи $2x+5=11$
Віднімання властивості рівності: Якщо $m\angle x+15^{\circ}=65^{\circ}$ , то $m\angle x+15^{\circ}−15^{\circ}=65^{\circ}−15^{\circ}$ або $m\angle x=50^{\circ}$
Властивість множення рівності: Якщо $y=8$ , то $5\cdot y=5\cdot 8$ чи $5y=40$
Поділ власності рівності: Якщо $3b=18$ , то $\dfrac{3b}{3}=\dfrac{18}{3}$ чи $b=6$
Розподільна власність: $5(2x−7)=5(2x)−5(7)=10x−35$

Так само, як і властивості рівності, є властивості конгруентності. Ці властивості дотримуються для фігур і фігур.

Рефлексивне властивість конгруентності: $\overline{AB}\cong \overline{AB}$ або $\angle B\cong \angle B$
Симетрична властивість конгруентності: Якщо $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ , то $\overline{CD}\cong \overline{AB}$ . Або, якщо $\angle ABC\cong \angle DEF$ , то $\angle DEF\cong \angle ABC$
Перехідне властивість конгруентності: Якщо $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ і $\overline{CD}\cong \overline{EF}$ , то $\overline{AB}\cong \overline{EF}$ . Або, якщо $\angle ABC\cong \angle DEF$ і $\angle DEF\cong \angle GHI$ , то $\angle ABC\cong \angle GHI$

Коли ви вирішуєте рівняння в алгебрі, ви використовуєте властивості рівності. Можливо, ви не виписуєте властивість для кожного кроку, але ви повинні знати, що існує властивість рівності, яка виправдовує цей крок. Ми будемо скорочувати «Властивість рівності» « $PoE$ » і «Властивість конгруентності» « $PoC$ », коли ми використовуємо ці властивості в докази.

Припустимо, ви знаєте, що коло вимірює 360 градусів, і ви хочете знайти, який кут одна чверть кола.

Для прикладів 1 і 2 використовуйте дану властивість рівності, щоб заповнити пробіл. $x$ і $y$ є дійсними числами.

Приклад $\PageIndex{1}$

Розподільна: Якщо $4(3x−8)$ , то ______________.

Рішення

$12x−32$

Приклад $\PageIndex{2}$

Перехідний: Якщо $y=12$ і $x=y$ , то ______________

Рішення

$x=12$

Приклад $\PageIndex{3}$

Вирішіть $2(3x−4)+11=x−27$ і запишіть властивість для кожного кроку (також називається «обґрунтувати кожен крок»).

Рішення

$\begin{align*} 2(3x−4)+11 &= x−27 \\ 6x−8+11 &= x−27 &Distributive\: Property \\ 6x+3 &= x−27 & Combine\: like \:terms\\ 6x+3−3 &= x−27−3 & Subtraction \: PoE\\ 6x &= x−30 & Simplify\\ 6x−x &= x−x−30 & Subtraction \: PoE\\ 5x &= −30 & Simplify\\ \dfrac{5x}{5} &= \dfrac{−30}{5}& Division \: PoE\\ x &= −6 &Simplify \end{align*}$

Приклад $\PageIndex{4}$

$AB=8$ , $BC=17$ , і $AC=20$ . Чи є точки $A$ $B$ , і $C$ колінеарні?

Рішення

Налаштуйте рівняння за допомогою постулату додавання сегментів.

$\begin{align*} AB+BC &=AC & Segment\: Addition \:Postulate \\ 8+17&= 20 &Substitution\: PoE \\ 25&\neq 20 & Combine\: like \:terms \end{align*}$

Тому що дві сторони рівняння не рівні,, $A$ $B$ , і $C$ не колінеарні.

Приклад $\PageIndex{5}$

Якщо $m\angle A+m\angle B=100^{\circ}$ і $m\angle B=40^{\circ}$ , довести, що $m\angle A$ це гострий кут.

Рішення

Ми будемо використовувати 2-стовпцевий формат, з твердженнями в одному стовпці та їх причинами поруч, як і приклад А.

$\begin{align*} m\angle A+m\angle B &=100^{\circ} &Given\: Information \\ m\angle B &=40^{\circ} &Given \:Information\\ m\angle A+40^{\circ} &=100^{\circ} &Substitution \:PoE\\m\angle A &=60^{\circ} &Subtraction \:PoE \\ \angle A \: & is \:an \:acute \:angle & Definition\: of \:an \:acute \:angle, m\angle A<90^{\circ}\end{align*}$

Рецензія

Для питань 1-8 вирішуйте кожне рівняння і обґрунтуйте кожен крок.

$3x+11=−16$
$7x−3=3x−35$
$\dfrac{2}{3}g+1=19$
$\dfrac{1}{2}MN=5$
$5m\angle ABC=540^{\circ}$
$10b−2(b+3)=5b$
$\dfrac{1}{4}y+\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{4}AB+\dfrac{1}{3}AB=12+\dfrac{1}{2}AB$

Для питань 9-11 використовуйте задану властивість або властивості рівності, щоб заповнити бланк. $x$ , $y$ , і $z$ є дійсними числами.

Симетричний: Якщо $x+y=y+z$ , то ______________.
Перехідний: Якщо $AB=5$ і $AB=CD$ , то ______________.
Заміна: Якщо $x=y−7$ і $x=z+4$ , то ______________.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.6.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
властивості рівності	Разом з *властивостями конгруентності*, логічні правила, що дозволяють маніпулювати і вирішувати рівняння.
Додаткова властивість нерівності	Ви можете додати кількість до обох сторін нерівності, і це не змінює відчуття нерівності. Якщо $x>3$ , то $x+2>3+2$ .
розподільна власність	Розподільна властивість стверджує, що добуток виразу і суми дорівнює сумі добутків виразу і кожного члена в сумі. Наприклад, $a(b+c)=ab+ac$ .
Поділ власності нерівності	Властивість ділення нерівності стверджує, що два нерівних значення, поділені на додатне число, зберігають однакову залежність. Два нерівних значення, поділені на від'ємне число, призводять до розвороту відносини.
Властивість множення рівності	Властивість множення рівності стверджує, що якщо одну і ту ж константу помножити на обидві сторони рівняння, рівність відповідає дійсності.
Реальне число	Реальне число - це число, яке може бути нанесено на числовий рядок. Справжні числа включають всі раціональні та ірраціональні числа.
Рефлексивне властивість конгруентності	$\overline{AB}\cong \overline{AB}$ або $\angle B\cong \angle B$
Рефлексивне властивість рівності	Будь-алгебраїчний або геометричний елемент дорівнює за значенням собі.
Теорема про прямий кут	Теорема прямого кута стверджує, що якщо два кути є прямими кутами, то кути конгруентні.
Теорема про однакові кутові добавки	Теорема про однакові кутові добавки стверджує, що якщо два кути є додатковими до одного кута, то два кути є конгруентними.
Заміна властивості рівності	Якщо змінна дорівнює заданій величині, цю суму можна безпосередньо підставити в рівняння для заданої змінної.
Віднімання властивості рівності	Властивість віднімання рівності стверджує, що ви можете відняти однакову величину з обох сторін рівняння, і вона все одно буде балансувати.
Симетрична властивість конгруентності	Якщо $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ , то $\overline{CD}\cong \overline{AB}$ . Або, якщо $\angle ABC\cong \angle DEF$ , то $\angle DEF\cong \angle ABC$
Перехідна властивість конгруентності	Якщо $\overline{AB}\cong \overline{CD}$ і $\overline{CD}\cong \overline{EF}$ , то $\overline{AB}\cong \overline{EF}$ . Або, якщо $\angle ABC\cong \angle DEF$ і $\angle DEF\cong \angle GHI$ , то $\angle ABC\cong \angle GHI$
Перехідна властивість рівності	Якщо $a = 5$ , і $b = 5$ , то $a = b$ .
Теорема про вертикальні кути	Теорема вертикальних кутів стверджує, що якщо два кути вертикальні, то вони є конгруентними.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Властивості принципів рівності та конгруентності - Основи

Діяльність: Властивості рівності та конгруентності Дискусійні питання

Навчальні посібники: Докази Навчальний посібник

Практика: властивості рівності та конгруентності

Реальний світ: властивості рівності та конгруентності