2.12: Зворотні, зворотні та контрапозитивні твердження

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.11: Якщо тоді заяви
- 2.13: Вступ до доказів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Умовні заяви, отримані з оператора if - то.

Зворотний, зворотний і контрапозитивний

Розглянемо твердження: Якщо погода хороша, то вимию машину. Ми можемо переписати це твердження, використовуючи літери для представлення гіпотези та висновку.

$p=the\: weather \:is \:nice \qquad q=I'll \:wash \:the \:car$

Тепер твердження таке: if $p$ , то $q$ , який також може бути записаний як $p\rightarrow q$ .

Ми також можемо зробити заперечення, або «nots», $p$ і $q$ . Символічна версія «not p» -\ (\ sim p.

$\sim p=the \:weather \:is \:not \:nice \qquad \sim q=I \:won't \:wash \:the \:car$

Використовуючи ці «ноти» і перемикаючи порядок $p$ і $q$ , ми можемо створити три нових заяви.

$Converse \qquad q\rightarrow p \qquad \underbrace{If\: I\: wash\: the\: car}_\text{q}, \underbrace{then\: the \:weather \:is \: nice}_\text{p}$ .

$Inverse \qquad \sim p\rightarrow \sim q \qquad \underbrace{If\: the\: weather\: is \:not \:nice}_\text{p}, \underbrace{\:then \:I \:won't \:wash \:the \:car}_\text{q}$ .

$Contrapositive \qquad \sim q\rightarrow \sim p \qquad \underbrace{If\: I \:don't \:wash \:the \:car}_\text{q}, \underbrace{then the weather is not nice}_\text{p}$ .

Якщо твердження «якщо-то» вірно, то і контрапозитив вірний. Контрапозитив логічно еквівалентний оригінальному твердженню. Зворотне і зворотне може бути істинним, а може і не бути. Коли початкове твердження і зворотне є істинними, то твердження є біумовним твердженням. Іншими словами, якщо $p\rightarrow q$ істинно і $q\rightarrow p$ є істинним, то $p \leftrightarrow q$ (сказав « $p$ якщо і тільки якщо $q$ »).

Що робити, якщо вам дали умовне твердження на кшталт «Якщо я піду до школи, то я запізнися»? Як ви могли б змінити і/або заперечити цю заяву, щоб сформувати нові умовні оператори?

Приклад $\PageIndex{1}$

Якщо $n>2$ , то $n^{2}>4$ .

Знайдіть зворотне, зворотне та контрапозитивне. Визначте, чи є кожен результуючий оператор істинним чи хибним Якщо вона неправдива, знайдіть контрприклад.

Рішення

Оригінальне твердження вірно.

$\underline{Converse}$ : Якщо $n^{2}>4$ , то $n>2$ .

Помилкові. Якщо $n^{2}=9$ , $n=−3\: or \: 3$ . $(−3)^{2}=9$

$\underline{Inverse}$ : Якщо $n\leq 2$ , то $n^{2}\leq 4$ .

Помилкові. Якщо $n=−3$ , то $n^{2}=9$ .

$\underline{Contrapositive}$ : Якщо $n^{2}\leq 4$ , то $n\leq 2$ .

Правда. Єдине $n^{2}\leq 4$ - 1 або 4. $\sqrt{1}=\pm 1$ і $\sqrt{4}=\pm 2$ , які обидва менше або рівні 2.

Приклад $\PageIndex{2}$

Якщо я в Діснейленді, то я в Каліфорнії.

Рішення

Оригінальне твердження вірно.

$\underline{Converse}$ : Якщо я перебуваю в Каліфорнії, то я в Діснейленді.

Помилкові. Я міг би бути в Сан-Франциско.

$\underline{Inverse}$ : Якщо я не в Діснейленді, то я не в Каліфорнії.

Помилкові. Знову ж таки, я міг би бути в Сан-Франциско.

$\underline{Contrapositive}$ : Якщо я не в Каліфорнії, то я не в Діснейленді.

Правда. Якщо я не перебуваю в штаті, я не міг би бути в Діснейленді.

Зверніть увагу на зворотне і зворотне ми можемо використовувати той же контрприклад.

Приклад $\PageIndex{3}$

Перепишіть як біумовний оператор: Будь-які дві точки є колінеарними.

Рішення

Це твердження можна переписати як:

Дві точки знаходяться на одній лінії тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні. Замініть «if-то» на «if і тільки якщо» посередині заяви.

Приклад $\PageIndex{4}$

Будь-які дві точки є колінеарними.

Рішення

Спочатку змініть заяву на «якщо-тоді»:

Якщо дві точки знаходяться на одній лінії, то вони колінеарні.

$\underline{Converse}$ : Якщо дві точки колінеарні, то вони знаходяться на одній лінії. Правда.

$\underline{Inverse}$ : Якщо дві точки знаходяться не на одній лінії, то вони не колінеарні. Правда.

$\underline{Contrapositive}$ : Якщо дві точки не колінеарні, то вони не лежать на одній лінії. Правда.

Приклад $\PageIndex{5}$

Нижче наведено правдиве твердження:

$m\angle ABC>90^{\circ}$ якщо і тільки $\angle ABC$ якщо тупий кут.

Визначте два істинних твердження в рамках цього біумовного.

Рішення

Твердження 1: Якщо $m\angle ABC>90^{\circ}$ , то $\angle ABC$ є тупим кутом.

Твердження 2: Якщо $\angle ABC$ тупий кут, то $m\angle ABC>90^{\circ}$ .

Рецензія

Для питань 1-4 використовуйте твердження:

Якщо $AB=5$ і $BC=5$ , то $B$ це середина $\overline{AC}$ .

Це правдиве твердження? Якщо ні, то що таке контрприклад?
Знайдіть зворотне це твердження. Це правда?
Знайдіть зворотне цьому твердженню. Це правда?
Знайдіть контрапозитив цього твердження. Яке твердження воно таке ж, як?

Знайдіть зворотне кожне істинне твердження if - то. Якщо зворотне вірно, напишіть біумовний оператор.

Гострий кут менше $90^{\circ}$ .
Якщо ви перебуваєте на пляжі, значить, ви вигоріли сонцем.
Якщо $x>4$ , то $x+3>7$ .

Для питань 8-10 визначте два істинних умовних твердження з заданих біумовних тверджень.

Громадянин США може голосувати лише тоді, коли йому або їй виповнилося 18 і більше років.
Ціле число є простим тоді і тільки тоді, коли його множники дорівнюють 1 і саме по собі.
$2x=18$ якщо і тільки якщо $x=9$ .

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.4.

Ресурси

Лексика

Термін	Визначення
двоумовне твердження	Оператор є двозастережним, якщо початковий умовний оператор і зворотний оператор є істинними.
Умовний оператор	Умовний оператор (або 'if-то' оператор) - це твердження з гіпотезою, за якою слідує висновок.
контрапозитивний	Якщо умовний оператор є $p\rightarrow q$ (якщо $p$ то q), то контрапозитивним є $\sim q\rightarrow \sim p$ (якщо не q, то не p).
зворотний	Якщо умовний оператор є $p\rightarrow q$ ( $p$ if, то $q$ ), то зворотним є $q\rightarrow p$ (if $q$ , то $p$ . Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним.
зворотний	Якщо умовний оператор є $p\rightarrow q$ , то зворотним є $\sim p\rightarrow \sim q$ .
Логічно еквівалентний	Твердження логічно еквівалентне, якщо твердження «якби тоді» та контрапозитивне твердження є істинними.
передумова	Передумова - це початкове твердження, яке ви використовуєте, щоб зробити логічні висновки.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Конверсні, зворотні та контрапозитивні принципи умовного твердження - Основні

Діяльність: Зворотні, зворотні та контрапозитивні дискусійні питання

Навчальні посібники: Умовні заяви Навчальний

Практика: зворотні, зворотні та контрапозитивні твердження

Реальний світ: зворотний зворотний контрапозитив