Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3: Деякі важливі набори

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    53134

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    В основному ми будемо мати справу з множинами, елементами яких є математичні об'єкти. Чотири таких набори досить важливі, щоб мати конкретні назви:

    \ [\ begin {зібраний}
    \ begin {масив} {lr}
    \ Nat =\ {0, 1, 2, 3,\ ldots\}
    &\ & {\ text
    {\ Int =\ {\ ldots, -2, -1, 1, 2,\ ldots\}} &\\ & {\
    text {набір цілих чисел}\
    {\\ Щур =\ Setabs {\ nicefrac {m} {n}} {m, n\ in\ Int\ text {і} n\ neq 0}} &\
    & {\ text {множина раціональних}}\\
    {\ Real = (-\ infty,\ infty)} &\
    &\ text {множина дійсних чисел (континуум)}
    \ end {масив}
    \ кінець {зібраний}\

    Це все нескінченні множини, тобто кожен з них має нескінченно багато елементів.

    Коли ми рухаємося через ці набори, ми додаємо більше цифр до нашого запасу. Дійсно, повинно бути зрозуміло, що\(\Nat \subseteq \Int \subseteq \Rat \subseteq \Real\): адже кожне натуральне число є цілим числом; кожне ціле число - раціональне; а кожне раціональне - це реальне. Так само повинно бути зрозуміло, що\(\Nat \subsetneq \Int \subsetneq \Rat\), оскільки\(-1\) є цілим, але не натуральним числом, і\(\nicefrac{1}{2}\) є раціональним, але не цілим. Менш очевидно\(\Rat \subsetneq \Real\), що, тобто є деякі дійсні числа, які не є раціональними.

    Ми іноді також використовувати набір натуральних чисел\(\PosInt = \{1, 2, 3, \dots\}\) і набір, що містить тільки перші два натуральних числа\(\Bin = \{0, 1\}\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\): Strings

    Іншим цікавим прикладом є набір\(A^{*}\) скінченних рядків над алфавітом\(A\): будь-яка скінченна послідовність елементів\(A\) - це рядок над\(A\). Ми включаємо порожній рядок\(\Lambda\) серед рядків над\(A\), для кожного алфавіту\(A\). Наприклад,

    \ [\ begin {зібраний}
    \ почати {вирівняний}
    \ Bin^* =\ {\
    Лямбда,0,1,00&,01,10,11,\\ &000,001,010,011,101,101,110,110,111,0000,\ ldots\}.
    \ end {вирівняний}
    \ кінець {зібраний}\]

    Якщо\(x=x_{1}\ldots x_{n}\in A^{*}\) це рядок, що складається з\(n\) «букв» від\(A\), то ми говоримо довжина рядка є\(n\) і пишемо\(\len{x}=n\).

    Приклад\(\PageIndex{3}\): Infinite sequences

    Для будь-якої\(A\) множини ми також можемо розглянути безліч\(A^\omega\) нескінченних послідовностей елементів\(A\). Нескінченна послідовність\(a_1a_2a_3a_4\dots\) складається з одностороннього нескінченного списку об'єктів, кожен з яких є елементом\(A\).