1.3: Деякі важливі набори

Template:MathJaxZach

Приклад$\PageIndex{1}$

В основному ми будемо мати справу з множинами, елементами яких є математичні об'єкти. Чотири таких набори досить важливі, щоб мати конкретні назви:

\ [\ begin {зібраний}
\ begin {масив} {lr}
\ Nat =\ {0, 1, 2, 3,\ ldots\}
&\ & {\ text
{\ Int =\ {\ ldots, -2, -1, 1, 2,\ ldots\}} &\\ & {\
text {набір цілих чисел}\
{\\ Щур =\ Setabs {\ nicefrac {m} {n}} {m, n\ in\ Int\ text {і} n\ neq 0}} &\
& {\ text {множина раціональних}}\\
{\ Real = (-\ infty,\ infty)} &\
&\ text {множина дійсних чисел (континуум)}
\ end {масив}
\ кінець {зібраний}\

Це все нескінченні множини, тобто кожен з них має нескінченно багато елементів.

Коли ми рухаємося через ці набори, ми додаємо більше цифр до нашого запасу. Дійсно, повинно бути зрозуміло, що$\Nat \subseteq \Int \subseteq \Rat \subseteq \Real$: адже кожне натуральне число є цілим числом; кожне ціле число - раціональне; а кожне раціональне - це реальне. Так само повинно бути зрозуміло, що$\Nat \subsetneq \Int \subsetneq \Rat$, оскільки$-1$ є цілим, але не натуральним числом, і$\nicefrac{1}{2}$ є раціональним, але не цілим. Менш очевидно$\Rat \subsetneq \Real$, що, тобто є деякі дійсні числа, які не є раціональними.

Ми іноді також використовувати набір натуральних чисел$\PosInt = \{1, 2, 3, \dots\}$ і набір, що містить тільки перші два натуральних числа$\Bin = \{0, 1\}$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Strings

Іншим цікавим прикладом є набір$A^{*}$ скінченних рядків над алфавітом$A$: будь-яка скінченна послідовність елементів$A$ - це рядок над$A$. Ми включаємо порожній рядок$\Lambda$ серед рядків над$A$, для кожного алфавіту$A$. Наприклад,

\ [\ begin {зібраний}
\ почати {вирівняний}
\ Bin^* =\ {\
Лямбда,0,1,00&,01,10,11,\\ &000,001,010,011,101,101,110,110,111,0000,\ ldots\}.
\ end {вирівняний}
\ кінець {зібраний}\]

Якщо$x=x_{1}\ldots x_{n}\in A^{*}$ це рядок, що складається з$n$ «букв» від$A$, то ми говоримо довжина рядка є$n$ і пишемо$\len{x}=n$.

Приклад$\PageIndex{3}$: Infinite sequences

Для будь-якої$A$ множини ми також можемо розглянути безліч$A^\omega$ нескінченних послідовностей елементів$A$. Нескінченна послідовність$a_1a_2a_3a_4\dots$ складається з одностороннього нескінченного списку об'єктів, кожен з яких є елементом$A$.