Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2: Підмножини та набори живлення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    53125

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Ми часто хочемо порівняти набори. І один очевидний вид порівняння, який можна зробити, полягає в наступному: все в одному наборі теж знаходиться в іншому. Ця ситуація досить важлива для нас, щоб ввести деякі нові позначення.

    Визначення\(\PageIndex{1}\): Subset

    Якщо кожен елемент множини також\(A\) є елементом\(B\), то ми говоримо, що\(A\) є підмножиною\(B\), і писати\(A \subseteq B\). Якщо не\(A\) є підмножиною\(B\) ми пишемо\(A \not\subseteq B\). Якщо\(A \subseteq B\) але\(A \neq B\), ми пишемо\(A \subsetneq B\) і говоримо, що\(A\) є належним підмножиною\(B\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Кожен набір є підмножиною себе і\(\emptyset\) є підмножиною кожного набору. Множина парних чисел є підмножиною множини натуральних чисел. Крім того,\(\{ a, b \} \subseteq \{ a, b, c \}\). Але\(\{ a, b, e \}\) це не підмножина\(\{ a, b, c \}\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Число\(2\) є елементом множини цілих чисел, тоді як множина парних чисел є підмножиною безлічі цілих чисел. Однак множина може бути як елементом, так і підмножиною якогось іншого набору, наприклад,\(\{0\} \in \{0, \{0\}\}\) а також\(\{0\} \subseteq \{0, \{0\}\}\).

    Розширеність дає критерій ідентичності множин:\(A = B\) якщо кожен елемент також\(A\) є елементом\(B\) і навпаки. Визначення «підмножина» визначає\(A \subseteq B\) саме як першу половину цього критерію: кожен елемент також\(A\) є елементом\(B\). Звичайно, визначення також застосовується, якщо ми перемикаємо\(A\) і\(B\): тобто,\(B \subseteq A\) якщо кожен елемент також\(B\) є елементом\(A\). А це, в свою чергу, саме «навпаки» частина розширеності. Іншими словами, розширення тягне за собою те, що множини рівні, якщо вони є підмножинами один одного.

    Пропозиція\(\PageIndex{1}\)

    \(A = B\)якщо обидва\(A \subseteq B\) і\(B \subseteq A\).

    Тепер також є гарною можливістю ввести деякі додаткові біти корисних позначень. Визначаючи, коли\(A\) є підмножиною\(B\) ми сказали, що «кожен елемент\(A\) є...», і заповнив «\(\dots\)» з «елементом\(B\)». Але це настільки поширена форма вираження, що корисно буде ввести деякі формальні позначення для нього.

    Визначення\(\PageIndex{2}\)

    \((\forall x \in A)\phi\)скорочує\(\forall x(x \in A \rightarrow \phi)\). Аналогічно\((\exists x \in A)\phi\) скорочується\(\exists x(x \in A \land \phi)\).

    Використовуючи це позначення, можна сказати, що\(A \subseteq B\) iff\((\forall x \in A)x \in B\).

    Тепер перейдемо до розгляду певного виду множини: множини всіх підмножин заданого множини.

    Визначення\(\PageIndex{3}\): Power Set

    Множина, що складається з усіх підмножин множини,\(A\) називається силовим набором\(A\), записаним\(\Pow{A}\). \[\Pow{A} = \Setabs{B}{B \subseteq A}\nonumber\]

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Які всі можливі підмножини\(\{ a, b, c \}\)? Ними є:\(\emptyset\)\(\{a \}\),\(\{b\}\),\(\{c\}\),\(\{a, b\}\),\(\{a, c\}\),\(\{b, c\}\),\(\{a, b, c\}\). Множина всіх цих підмножин\(\Pow{\{a,b,c\}}\):\[\Pow{\{ a, b, c \}} = \{\emptyset, \{a \}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\nonumber\]

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Перелічити всі підмножини\(\{a, b, c, d\}\).

    Проблема\(\PageIndex{2}\)

    Показати, що якщо\(A\) має\(n\) елементи, то\(\Pow{A}\) має\(2^n\) елементи.