1.1: Системи числення
- Page ID
- 58054
У цьому розділі ми представляємо системи числення, з якими ми будемо працювати в решті частини цього тексту.
Натуральні числа
Почнемо з визначення натуральних чисел, або підрахунку чисел.
Визначення 1: натуральні числа
Безліч натуральних чисел - множина
\[\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}\]
Позначення в рівнянні (2) читається «\(\mathbb{N}\)є множиною, членами якої є 1, 2, 3 і так далі». Три крапки (три крапки) в кінці рівняння (2) - це спосіб математика сказати «et-cetera». Ми перераховуємо достатньо чисел, щоб встановити впізнаваний візерунок, потім пишемо «і так далі», припускаючи, що закономірність була достатньо встановлена, щоб читач міг інтуїтивно зрозуміти інші числа в наборі. Таким чином, наступні кілька чисел в наборі\(\mathbb{N}\) - 4, 5, 6, 7, «і так далі».
Зверніть увагу, що існує нескінченна кількість натуральних чисел. Інші приклади натуральних чисел - 578,736 і 55 617 778. Множина\(\mathbb{N}\) натуральних чисел необмежена; тобто немає найбільшого натурального числа. Для будь-якого натурального числа, яке ви виберете, додавання одного до вашого вибору дає більше натуральне число.
Для будь-якого натурального числа n, ми називаємо m дільник або множник n, якщо є ще одне натуральне число k так, що\(n = mk\). Наприклад, 4 є дільником 12 (тому що 12=4\ раз 3), а 5 - ні. Подібним чином, 6 є дільником 12 (тому що 12=6\ раз 2), але 8 - ні.
Далі ми визначаємо дуже спеціальну підмножину натуральних чисел.
Визначення 3: Прості числа
Якщо єдиними дільниками натурального числа\(p\) є 1 і сам, то\(p\) вважається простим.
Наприклад, оскільки його єдиними дільниками є 1 і сам, 11 - це просте число. З іншого боку, 14 не є простим (він має дільники, відмінні від 1 і самого себе, тобто 2 і 7). Подібним чином, кожне з натуральних чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 і 19 є простим. Зауважте, що 2 є єдиним парним натуральним числом, яке є простим.
Якщо натуральне число, відмінне від 1, не є простим, то ми говоримо, що воно складене. Зауважте, що будь-яке натуральне число (крім 1) потрапляє в один з двох класів; воно або просте, або є складовим.
Матеріали, захищені авторським правом. Дивись: http://msenux.redwoods.edu/IntAlgText/ 1
У цьому підручнику визначення, рівняння та інші мічені частини тексту нумеруються послідовно, 2 незалежно від типу інформації. Цифри нумеруються окремо, як і таблиці.
Хоча натуральне число 1 має лише 1 і саме як дільники, математики, зокрема теоретики числа 3, не вважають 1 простим. Для цього є вагомі причини, але це може зайняти нас занадто далеко. Наразі просто зауважте, що 1 не є простим числом. Будь-яке число, яке є простим, має рівно два множники, а саме саме і 1.
Ми можемо множити складене число 36 як добуток простих множників, а саме
\[36=2 \times 2 \times 3 \times 3\]
Крім перестановки факторів, це єдиний спосіб, яким ми можемо висловити 36 як добуток простих множників.
Визначення 4: Фундаментальна теорема арифметики
Фундаментальна теорема арифметики говорить, що кожне натуральне число має унікальну просту факторизацію.
Незалежно від того, як ви починаєте процес факторизації, всі дороги ведуть до однакової простої факторизації. Для прикладу розглянемо два різних підходи для отримання простої факторизації 72.
\[\begin{array}{llllll} 72 & = & 8\times 9 & 72 & = & 4\times 18 & \\ & =& (4 \times 2) \times(3 \times 3) & & = &(2 \times 2) \times(2 \times 9) \\ &=&2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 & & = & 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\end{array}\]
У кожному конкретному випадку результат однаковий,\(72=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\)
Нуль
Використання нуля як заповнювача і як числа має багату і багатоповерхову історію. Стародавні вавилоняни записували свою роботу на глиняних табличках, вдавлюючи в м'яку глину стилусом. Отже, таблички ще з 1700 року до н.е. існують і сьогодні в музеях усього світу. Фото знаменитого Plimpton_322 показано на малюнку\(\PageIndex{1}\), де маркування деякими вважаються піфагорійськими трійками, або мірами сторін прямих трикутників.
\(\PageIndex{1}\)Малюнок Плімптон_322
У людей цієї стародавньої культури була шестигранна (база 60) система нумерації, яка вижила без використання нуля в якості заповнювача понад 1000 років. У ранній вавилонській системі цифри 216 і 2106 мали ідентичні записи на глиняних табличках авторів. Можна було лише визначити різницю між двома числами на основі контексту, в якому вони були використані. Десь близько 400 року до н.е. Вавилоняни почали використовувати два клинові символи, щоб позначити нуль як заповнювач (деякі таблетки показують один або подвійний гачок для цього заповнювача).
Стародавні греки добре знали вавилонську позиційну систему, але більша частина акцентів грецької математики була геометричною, тому використання нуля як заповнювача було не таким важливим. Однак є деякі докази того, що греки використовували символ, що нагадує великий омікрон, в деяких своїх астрономічних таблицях.
Лише приблизно в 650 році нашої ери використання нуля як числа почало повзати в математику Індії. Брахмагупта (598-670?) , у своїй роботі Brahmasphutasiddhanta, був одним з перших записаних математиків, які спробували арифметичні операції з числом нуль. Тим не менш, він не зовсім знав, що робити з поділом на нуль, коли писав
Позитивні або від'ємні числа при діленні на нуль - це дріб з нулем як знаменник.
Відзначимо, що він стверджує, що результатом ділення на нуль є дріб з нулем в знаменнику. Не дуже інформативно. Майже через 200 років Махавіра (800-870) не зробив набагато краще, коли писав
Число залишається незмінним при діленні на нуль.
Схоже, індійські математики не могли визнати, що ділення на нуль було неможливим.
Культура майя (250-900 н.е.) мала базову позиційну систему 20 та символ, який вони використовували як нульовий заповнювач. Робота індійських математиків поширилася в арабському та ісламському світі і була вдосконалена. Ця робота врешті-решт пробралася на Далекий Схід, а також в Європу. Тим не менш, до 1500-х років європейські математики все ще не використовували нуль як число на регулярній основі. Лише в 1600-х роках використання нуля як числа набуло широкого поширення.
Звичайно, сьогодні ми знаємо, що додавання нуля до числа залишає це число незмінним, і що поділ на нуль безглуздий4, але, коли ми боремося з цими поняттями, ми повинні мати на увазі, скільки часу потрібно людству, щоб впоратися з цією потужною абстракцією (нуль як число).
Якщо ми додамо число нуль до набору натуральних чисел, у нас з'явиться новий набір чисел, які називаються цілими числами
Визначення 5
Безліч цілих чисел - це безліч
\[\mathbb{W}=\{0,1,2,3, \ldots\}\]
Цілі числа
Сьогодні, наскільки ми сприймаємо як належне той факт, що існує число нуль, позначається 0, таке, що
% Немає сенсу питати, скільки груп нуль в п'яти. Таким чином, 5/0 не визначено. 4
\[a+0=a\]
для будь-якого цілого числа a, ми аналогічно сприймаємо як належне, що для будь-якого цілого числа існує унікальне число −a, яке називається «негативним» або «протилежним» від a, так що\[a+(-a)=0\]
Природним чином, або так здається сучасним математикам, це легко вводить поняття негативного числа. Однак історія вчить нас, що поняття негативних чисел не було охоплено математиками до приблизно 17 століття.
У своїй роботі «Арифметика» (c. 250 р. н.е.) , грецький математик Діофант (бл. 200-284 р. н.е.?) , кого деякі називають «Батьком алгебри», описав рівняння 4 = 4x + 20 як «абсурдним», бо як можна говорити про відповідь менше нічого? Джироламо Кардано (1501-1576) у своїй насіннєвій праці Ars Magna (c. 1545 р. н.е.) називав негативні числа «numeri ficti», тоді як німецький математик Майкл Штіфель (1487-1567) називав їх «numeri absurdi». Джон Нейпір (1550-1617) (творець логарифмів) називав від'ємні числа «дефектними», а Рене Декарт (1596-1650) (творець аналітичної геометрії) позначив негативні розв'язки алгебраїчних рівнянь «помилковими коренями».
З іншого боку, були математики, чия обробка негативних чисел дещо нагадувала наші сучасні уявлення про властивості, що утримуються негативними числами. Індійський математик Брахмагупта, про роботу якого з нулем ми вже згадували, описав арифметичні правила в плані статків (додатне число) і боргів (від'ємні числа). Дійсно, у своїй роботі «Брахмаспутасіддханта» він пише «стан, відніманий з нуля, - це борг», який у сучасних позначеннях нагадував би 0 − 4 = −4. Крім того, «борг, відніманий з нуля, - це стан», який резонує як 0 − (−4) = 4. Далі Брахмагупта описує правила множення і ділення позитивних і від'ємних чисел:
- Продукт або частка двох статків - це одне статок.
- Продукт або частка двох боргів - це один стан.
- Продукт або частка боргу і статку - це борг.
- Продукт або частка стану і боргу - це борг.
У сучасному використанні можна сказати, що «подібні знаки дають позитивну відповідь», тоді як «на відміну від знаків дають негативну відповідь». Сучасними прикладами перших двох правил Брахмагупти є (5) (4) = 20 і (−5) (−4) = 20, тоді як прикладами останніх двох є (−5) (4) = −20 та (5) (−4) = −20. Правила аналогічні для поділу.
У будь-якому випадку, якщо почати з безлічі натуральних чисел\(\mathbb{N} = {1, 2, 3, . . .}\), додати нуль, потім скласти негативне кожного натурального числа, отримаємо безліч цілих чисел.
Визначення 8
Безліч цілих чисел - множина
\[\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}\]
Буква\(\mathbb{Z}\) походить від слова Zahl, яке є німецьким словом, що означає «число».
Важливо відзначити, що ціле число - це «ціле» число, або додатне, від'ємне, або нуль. Таким чином, −11 456, −57, 0, 235 та 41 234 576 є цілими числами, але числа −2/5, 0,125\(\sqrt{2}\) і не\(\pi\) є. Ми будемо більше сказати про класифікацію останніх чисел в наступних розділах.
Раціональні числа
Ви могли помітити, що кожне натуральне число також є цілим числом. Тобто кожне число в наборі\(\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}\) - це теж число в наборі\(\mathbb{W}=\{0,1,2,3, \ldots\}\). Математики кажуть, що «\(\mathbb{N}\)є підмножиною»\(\mathbb{W}\), тобто кожен член\(\mathbb{N}\) множини також є членом множини\(\mathbb{W}\). У подібному ключі кожне ціле число також є цілим числом, тому\(\mathbb{W}\) множина є підмножиною множини\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}\).
Тепер ми додамо дроби до нашого зростаючого набору чисел. Дроби використовувалися з давніх часів. Вони були добре відомі і використовувалися стародавніми вавилонянами і єгиптянами.
У наш час ми використовуємо словосполучення раціональне число для опису будь-якого числа, яке є співвідношенням двох цілих чисел. Буквою ми будемо позначати набір раціональних чисел\(\mathbb{Q}\).
Визначення 10
Безліч раціональних чисел - множина
\[\mathbb{Q}=\{{\frac{m}{n} : \text{m, n are integers}, n \neq 0}\}\]
Це позначення читається «множина всіх співвідношень m/n, такі, що m і n є цілими числами, а n - не 0». Обмеження на n потрібно, оскільки ділення на нуль не визначено.
Очевидно, що числа, такі як −221/31, −8/9 та 447/119, які є співвідношеннями двох цілих чисел, є раціональними числами (дробами). Однак, якщо розглядати ціле число 6 як співвідношення 6/1 (або поперемінно, як 24/4, −48/ − 8 і т.д.), то зауважимо, що 6 також є раціональним числом. Таким чином, будь-яке ціле число можна розглядати як раціональне число (наприклад, 12 = 12/1, −13 = −13/1 тощо). Тому множина\(\mathbb{Z}\) цілих чисел є підмножиною множини\(\mathbb{Q}\) раціональних чисел.
Але почекайте, є більше. Будь-яке десяткове число, яке закінчується, також є раціональним числом. Наприклад,
\[0.25=\frac{25}{100}, \quad 0.125=\frac{125}{1000}, \quad and -7.6642=-\frac{76642}{10000}\]
Процес перетворення кінцевої десяткової дробу в дріб зрозумілий; підрахуйте кількість десяткових знаків, потім запишіть 1, а потім цю кількість нулів для знаменника.
Наприклад, в 7.638 є три знака після коми, тому помістіть число більше 1000, як в
\[\frac{7638}{1000}\]
Але почекайте, є ще більше, для будь-якої десяткової, яка повторюється також може бути виражена у вигляді співвідношення двох цілих чисел. Розглянемо, наприклад, повторювану десяткову
\[0.0 \overline{21}=0.0212121 \ldots\]
Зверніть увагу, що послідовність цілих чисел під «повторюваною смугою» повторюється знову і знову нескінченно довго. Далі, у випадку з\(0.0\overline{21}\), є точно дві цифри під повторюваною планкою. Таким чином, якщо ми пустимо\(x=0.0\overline{21}\), то
\[x=0.0212121 \ldots\]
і множення на 100 переміщує десяткові два розряди вправо.
\[100 x=2.12121 \ldots\]
Якщо ми вирівнюємо ці два результати
\[\begin{aligned} 100 x &=2.12121 \ldots \\-x &=0.02121 \ldots \end{aligned}\]
і відніміть, тоді результат
\[\begin{aligned} 99 x &=2.1 \\ x &=\frac{2.1}{99} \end{aligned}\]
Однак цей останній результат не є співвідношенням двох цілих чисел. Це легко виправити, множивши і чисельник, і знаменник на 10.
\[x=\frac{21}{990}\]
Ми можемо зменшити цей останній результат, розділивши як чисельник, так і знаменник на 3. Таким чином\(0.0 \overline{21}=7 / 330\), будучи співвідношенням двох цілих чисел, є раціональним числом.
Давайте розглянемо інший приклад.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Показати, що\(0 . \overline{621}\) є раціональним числом.
Рішення
При цьому під повторюваною планкою знаходяться три цифри. Якщо ми дозволимо x = 0.621, то множимо на 1000 (три нулі), це змістить три знака після коми вправо.
\[\begin{aligned} 1000 x &=621.621621 \ldots \\ x &=0.621621 \ldots \end{aligned}\]
Віднімання,
\[\begin{aligned} 999 x &=621 \\ x &=\frac{621}{999} \end{aligned}\]
Діливши чисельник і знаменник на 27 (або спочатку на 9 потім на 3), знаходимо, що\(0 . \overline{621}=23 / 37\). Таким чином, 0,621, будучи співвідношенням двох цілих чисел, є раціональним числом.
У цей момент природно задатися питанням: «Чи всі числа раціональні?» Або: «Чи є інші типи чисел, про які ми ще не обговорювали?» Давайте розбиратися далі.
Ірраціональні числа
Якщо число не є раціональним, математики кажуть, що воно ірраціональне
Визначення 13
Будь-яке число, яке не може бути виражене у співвідношенні двох цілих чисел, називається ірраціональним числом.
Математики боролися з поняттям ірраціональних чисел протягом всієї історії. На малюнку\(\PageIndex{2}\) зображений стародавній вавилонський артефакт під назвою Квадратний корінь двох табличок.
\(\PageIndex{2}\)Малюнок Квадратний корінь з двох таблеток.
Існує стародавня байка, яка розповідає про учня Піфагора, який надав геометричний доказ ірраціональності\(\sqrt{2}\). Однак піфагорійці вірили в абсолютність чисел, і не могли дотримуватися думки про числа, які не були раціональними. В якості покарання Піфагор засудив свого учня до смерті потопаючи, або так йде історія.
Але як щодо\(\sqrt{2}\)? Раціонально це чи ні? Класичний доказ, відомий за часів Евкліда («Батько геометрії», бл. 300 р. До н.е.), використовує доказ протиріччям. Припустимо, що\(\sqrt{2}\) це дійсно раціонально, а це означає, що\(\sqrt{2}\) може бути виражено у вигляді співвідношення двох цілих чисел p і q наступним чином.
\[\sqrt{2}=\frac{p}{q}\]
Квадрат з обох сторін,
\[2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\]
потім очистити рівняння дробів, помноживши обидві сторони на\(q^{2}\).
\[p^{2}=2 q^{2}\]
Тепер p і q кожен має свої унікальні прості факторизації. Обидва\(p^{2}\) і\(q^{2}\) мають парну кількість факторів у своїх простих факторизаціях.6 Але це суперечить рівнянню 14, тому що ліва сторона матиме парну кількість факторів у простому факторизації, тоді як права сторона матиме непарну кількість факторів у його простому факторизації (є один додаткові 2 з правого боку).
Тому наше припущення, яке\(\sqrt{2}\) було раціональним, є помилковим. Таким чином,\(\sqrt{2}\) нераціонально.
Існує безліч інших прикладів ірраціональних чисел. Наприклад,\(\pi\) це ірраціональне число, як і число\(e\), з яким ми зіткнемося при вивченні експоненціальних функцій. Десяткові числа, які не повторюються і не закінчуються, такі як
\[0.1411411141114 \ldots\]
також нераціональні. Докази ірраціональності таких чисел виходять за рамки цього курсу, але якщо ви зважитеся на кар'єру в математиці, то коли-небудь уважно подивитеся на ці докази. Досить сказати, є багато ірраціональних чисел там. Дійсно, ірраціональних чисел набагато більше, ніж раціональних чисел.
Реальні числа
Якщо взяти всі числа, які ми обговорювали в цьому розділі, натуральні числа, цілі числа, цілі числа, раціональні числа, і ірраціональні числа, і об'єднати їх все в один гігантський набір чисел, то ми маємо те, що відомо як набір дійсних чисел. Будемо використовувати букву R для позначення безлічі всіх дійсних чисел.
Визначення 15
\[\mathbb{R}=\{x : \quad\text{ x is a real number} \}\]
Це позначення читається «множина всіх x така, що х є дійсним числом». Набір дійсних чисел\(\mathbb{R}\) охоплює всі числа, з якими ми зіткнемося в цьому курсі.