Розділ 6: Формальні мови

Ось відомий вагомий аргумент:

Сократ - людина.
Всі люди смертні.
.7. Сократ смертний.

Це залізний аргумент. Єдиний спосіб оскаржити висновок - заперечуючи одне з передумов - логічна форма бездоганна. Як щодо цього наступного аргументу?

Сократ - людина.
Всі чоловіки - морква.
.7. Сократ - морква.

Цей аргумент може бути менш цікавим, ніж перший, оскільки друга передумова явно помилкова. Немає чіткого сенсу, в якому всі чоловіки - морква. І все ж аргумент є дійсним. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що обидва аргументи мають таку форму:

\(S\)є\(M\).
Всі\(M\) ми є\(C\).
.7. \(S\)є\(C\).

В обох аргументах\(S\) виступає за Сократа і\(M\) виступає за людину. У першому аргументі\(C\) розшифровується як смертний; у другому\(C\) розшифровується як морква. Обидва аргументи мають таку форму, і кожен аргумент цієї форми є дійсним. Таким чином, обидва аргументи є дійсними.

Те, що ми зробили тут, було замінити такі слова, як «людина» або «морква» символами, такими як «M» або «C», щоб зробити логічну форму явною. Це центральна ідея формальної логіки. Ми хочемо прибрати неактуальні або відволікаючі риси аргументу, щоб зробити логічну форму більш прозорливою.

Починаючи з аргументу природною мовою, як англійська, ми переводимо аргумент на формальну мову. Частини англійських речень замінюються буквами і символами. Мета полягає в тому, щоб розкрити формальну структуру аргументу, як ми це робили з цими двома.

Існують формальні мови, які працюють як символізація, яку ми дали для цих двох аргументів. Подібну логіку розробив Аристотель, філософ, який жив у Греції протягом 4 століття до нашої ери. Аристотель був учнем Платона і наставником Олександра Македонського. Логіка Аристотеля, з деякими ревізіями, була домінуючою логікою в західному світі більше двох тисячоліть.

У Аристотелевської логіці категорії замінюються великими літерами. Кожне речення аргументу потім представляється як одне з чотирьох форм, які середньовічні логіки позначені таким чином: (A) Усі\(A\)\(B\) s є s. (E) Ні\(A\) s є\(B\) s. (I) Деякі\(A\) є\(B\). (O) Деякі\(A\) ні\(B\).

Тоді можна описати дійсні силогізми, трирядкові аргументи, подібні до двох, які ми розглядали вище. Середньовічні логіки дали мнемонічні імена всім вагомим формам аргументів. Наприклад, форма наших двох аргументів називалася Барбара. Голосні в назві, всі As, являють собою той факт, що дві умови і висновок все (А) утворюють пропозиції.

Є багато обмежень у Аристотелевської логіки. Одна з них полягає в тому, що він не робить різниці між видами та особами. Отже, перша передумова може бути так само добре написана «Всі\(S\)\(M\) s є»: Усі Сократи - це люди. Незважаючи на своє історичне значення, Аристотельська логіка була витіснена. Решта цієї книги буде розвивати дві формальні мови.

Перший - SL, що розшифровується як логіка речення. У SL найменші одиниці - це самі пропозиції. Прості речення представлені у вигляді букв і пов'язані з логічними зв'язками на кшталт 'і' і 'не', щоб скласти більш складні речення.

Другий - QL, що розшифровується як кількісна логіка. У QL базовими одиницями є об'єкти, властивості об'єктів, відносини між об'єктами.

Коли ми перекладаємо аргумент формальною мовою, ми сподіваємося зробити його логічну структуру зрозумілішою. Ми хочемо включити достатньо структури аргументу англійської мови, щоб ми могли судити, чи є аргумент дійсним чи недійсним. Якби ми включили кожну особливість англійської мови, всю тонкість і нюанси, то не було б ніякої переваги в перекладі на формальну мову. Ми могли б також подумати про аргумент англійською мовою.

У той же час ми хотіли б формальну мову, яка дозволяє нам представляти багато видів аргументів англійської мови. Це одна з причин віддати перевагу QL аристотелевської логіці; QL може представляти кожен вагомий аргумент Аристотелевської логіки тощо.

Таким чином, при прийнятті рішення про формальну мову, неминуче виникає напруга між бажаючими захопити якомога більше структури і бажаючи простий формальний language— простіші формальні мови залишити поза більше. Це означає, що немає досконалої формальної мови. Деякі виконають кращу роботу, ніж інші, перекладаючи певні англомовні аргументи.

У цій книзі ми робимо припущення, що істина і хибність є єдино можливими істини-значеннями. Логічні мови, які роблять це припущення, називаються двовалентними, що означає двозначні. Аристотельська логіка, SL і QL є двовалентними, але існують межі потужності двовалентної логіки. Наприклад, деякі філософи стверджували, що майбутнє ще не визначено. Якщо вони мають рацію, то речення про те, яким буде випадок, ще не є істинними або помилковими. Деякі формальні мови вміщують це, дозволяючи речення, які не є ні правдивими, ні помилковими, але щось середнє. Інші формальні мови, так звані парапослідовні логіки, дозволяють речення, які є як істинними, так і помилковими.

Мови, представлені в цій книзі, не є єдиними можливими формальними мовами. Однак більшість нестандартних логік поширюються на основну формальну структуру двовалентної логіки, розглянутої в цій книзі. Так що це гарне місце для початку.

Короткий зміст логічних понять

~Аргумент є (дедуктивно) дійсним, якщо приміщення не може бути істинним, а висновок помилковим; інакше він є недійсним.
~Тавтологія - це речення, яке повинно бути істинним, як питання логіки.
~Протиріччя - це речення, яке повинно бути помилковим, як питання логіки.
~Умовне речення не є ні тавтологією, ні протиріччям.
~Два речення логічно еквівалентні, якщо вони обов'язково мають однакове значення істинності.
~ Набір речень є послідовним, якщо логічно можливо, щоб всі члени множини були істинними одночасно; інакше це непослідовно.