Розділ 5: Інші логічні поняття

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52252

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Крім дедуктивної валідності, нас будуть цікавити і деякі інші логічні поняття.

Істина-цінності

Правда чи брехня вважається істинним значенням речення. Ми визначили речення як речі, які можуть бути істинними чи хибними; замість цього ми могли б сказати, що речення - це речі, які можуть мати істинні значення.

Логічна істина

Розглядаючи аргументи формально, ми дбаємо про те, що було б правдою, якби приміщення було правдою. Як правило, ми не стурбовані фактичним значенням істинності будь-яких конкретних пропозицій— чи є вони насправді істинними чи помилковими. Але є деякі речення, які повинні бути правдивими, так само як справа логіки.

Розглянемо ці пропозиції:

1. Йде дощ.
2. Або йде дощ, або ні.
3. Йде і дощ, і не дощ.

Для того, щоб дізнатися, чи вірно речення 1, вам потрібно буде подивитися на вулицю або перевірити канал погоди. Логічно кажучи, це може бути або істинним, або хибним. Такі речення називаються умовними реченнями.

Речення 2 відрізняється. Не потрібно дивитися назовні, щоб знати, що це правда. Незалежно від того, яка погода, йде або дощ, або ні. Це речення логічно вірно; воно істинне лише як питання логіки, незалежно від того, яким є світ насправді. Логічно вірне речення називається тавтологією.

Вам також не потрібно перевіряти погоду, щоб знати про пропозицію 3. Він повинен бути помилковим, просто як справа логіки. Тут може бути дощ, а не дощ по всьому місту, може бути дощ зараз, але перестати дощ, навіть коли ви читаєте це, але неможливо, щоб це було як дощ, так і не дощ тут в цей момент. Третє речення логічно помилкове; воно помилкове незалежно від того, яким є світ. Логічно помилкове речення називається протиріччям.

Якщо бути точним, ми можемо визначити умовне речення як речення, яке не є ні тавтологією, ні протиріччям.

Речення завжди може бути істинним і все ще бути контингентним. Наприклад, якби ніколи не було часу, коли Всесвіт містив менше семи речей, то речення «Принаймні сім речей існує» завжди було б правдою. Проте вирок є умовним; його істина не є питанням логіки. Немає протиріччя в розгляді можливого світу, в якому менше семи речей. Важливе питання полягає в тому, чи має речення бути істинним, як раз на рахунок логіки.

Логічна еквівалентність

Ми також можемо запитати про логічні відносини між двома реченнями. Наприклад:

Джон пішов в магазин після того, як помив посуд.
Джон помив посуд перед тим, як пішов в магазин.

Ці два речення є умовними, оскільки Джон, можливо, взагалі не пішов в магазин або не помив посуд. І все ж вони повинні мати однакову істинну цінність. Якщо будь-яке з речень істинне, то вони обидва є; якщо будь-яке з речень помилкове, то вони обидва є. Коли два речення обов'язково мають однакову істинну цінність, ми говоримо, що вони логічно еквівалентні.

Послідовність

Розглянемо ці два речення:

B1 Мій єдиний брат вищий за мене.
B2 Мій єдиний брат коротший, ніж я.

Логіка сама по собі не може сказати нам, яке з цих речень, якщо таке є істинним. Ще можна сказати, що якщо перше речення (B1) істинно, то друге речення (B2) має бути помилковим. А якщо B2 істинно, то B1 повинен бути помилковим. Не може бути так, що обидва ці речення є істинними.

Якщо набір речень не може бути істинним одночасно, як B1—B2, вони кажуть, що вони несумісні. В іншому випадку вони послідовні.

Ми можемо запитати про узгодженість будь-якої кількості пропозицій. Для прикладу розглянемо наступний список пропозицій:

G1 У парку диких тварин є щонайменше чотири жирафи.
G2 Є рівно сім горил в парку диких тварин.
G3 У парку диких тварин є не більше двох марсіан.
G4 Кожен жираф у парку диких тварин - марсіанин.

G1 і G4 разом означають, що в парку є принаймні чотири марсіанських жирафи. Це конфліктує з G3, що означає, що марсіанських жирафів там не більше двох. Таким чином, набір речень G1—G4 суперечливий. Зверніть увагу, що невідповідність взагалі не має нічого спільного з G2. G2 просто трапляється, є частиною непослідовного набору.

Іноді люди скажуть, що непослідовний набір речень «містить протиріччя». Під цим вони означають, що було б логічно неможливо, щоб всі речення були правдивими відразу. Набір може бути непослідовним, навіть якщо кожне з речень у ньому є або умовним, або тавтологічним. Коли одне речення є протиріччям, то саме це речення не може бути істинним.