5.6: З'єднані LC-схеми
Ми побачили в главі 1 аналогію міжLC схемою на малюнку1.10 та відповідною системою маси та пружин на рис1.11. У цьому розділі ми обговорюємо, що відбувається, коли ми об'єднуємоLC схеми в інваріантну систему космічного перекладу.
Для прикладу розглянемо нескінченну інваріантну схему перекладу простору, шматок якої зображений на малюнку5.23. Можна здогадатися, виходячи з обговорення в главі 1, що схема на малюнку5.23 аналогічна поєднанню пружин і мас, показаних на
Малюнок5.23: Нескінченна система з'єднанихLC ланцюгів.
Малюнок5.24, з відповідністю між двома системами:\ [\ begin {вирівняний}
m &\ leftrightarrow\ quad L\\
K &\ leftrightarrow 1/C\\
x_ {j} &\ leftrightarrow\ quad Q_ {j}
\ end {вирівняний}\]
деxj - зміщенняj го блоку вправо іQj - заряд, який був «витіснений» через індуктор з ситуації рівноваги з незарядженими конденсаторами.j Насправді, це правильно, і ми могли б використовувати (5.69), щоб записати відношення дисперсії для малюнка5.23. Однак за допомогою наших потужних інструментів лінійності та інваріантності космічного перекладу ми можемо вирішити проблему з нуля без особливих зусиль. Стратегія полягатиме в тому, щоб записати те, як ми знаємо, має виглядати рішення, з інваріантності космічного перекладу, а потім працювати назад, щоб знайти співвідношення дисперсії.
Малюнок5.24: Механічна система, аналогічна рис5.23.
Відправна точка повинна бути знайома вже зараз. Оскільки система лінійна та космічна трансляція інваріантна, режими нескінченної системи пропорційніe±ikx. Тому всі фізичні величини в режимі, напруги, заряди, струми, що завгодно, також повинні бути пропорційнимиe±ikx. У цьому випадку зміннаx, насправді просто мітка. Електричні властивості схеми не дуже залежать від розташування елементів в просторі. 6 Співвідношення дисперсії буде залежати тільки від тогоka, деa знаходиться поділ між однаковими частинами системи (див. (5.35)). Однак легше думати про систему, якщо вона фізично викладена в простір перекладу інваріантної конфігурації, як показано на малюнку5.23.
Малюнок5.25: Маркування нескінченної системи з'єднанихLC ланцюгів.
Зокрема, позначимо індуктори і конденсатори, як показано на малюнку5.25. Тоді заряд, зміщений черезj індуктор в режимі з кутовим числом хвилі,k, становитьQj(t)=qeijkae−iωt
за якийсь постійний заряд,q. Зверніть увагу, що ми могли б так само добре взяти залежність часуcosωt, щоб бутиsinωt, або\boldsymbol{e^{i \omega t}. Це не має значення для аргументу нижче. Важливо те, що коли миQj(t) двічі диференціюємось щодо часу, ми отримуємо−ω2Qj(t). Струм черезj індуктор дорівнюєIj=ddtQj(t)=−iωqeijkae−iωt.
Заряд наj -му конденсаторі, який ми будемо називатиqj, теж пропорційнийeijkae−iωt, але насправді ми також можемо обчислити його безпосередньо. Зарядqj,, простоqj=Qj−Qj+1
тому що заряд, зміщений черезj індуктор, повинен або надходитиj на конденсатор, або зміщуватися черезj+1 st індуктор, так щоQj=qj+Qj+1. Тепер ми можемо обчислитиVj напругу кожного конденсатора,Vj=1C(Qj−Qj+1)=qC(1−eika)eijkae−iωt,
а потім обчислити падіння напруги на індукторах,LdIjdt=Vj−1−Vj,
вставивши (5.71) і (5.73) в (5.74), і розділивши обидві сторони на загальний коефіцієнт−qLeijkae−iωt, отримаємо співвідношення дисперсії,ω2=−1LC(1−eika)(e−ika−1)=4LCsin2ka2.
Це відповідає (5.37) сB=1/LC. Це саме те, що ми очікуємо від (5.69). Ми будемо називати (5.75) відношення дисперсії для зв'язанихLC ланцюгів.
Приклад зв'язанихLC схем
Малюнок5.26: Схема з трьома індукторами.
Скористаємося результатами цього розділу для вивчення скінченного прикладу, з граничними умовами. Розглянемо схему, зображену на малюнку5.26. Ця схема на малюнку5.26 аналогічна поєднанню пружин і мас, показаної на малюнку5.27.
Малюнок5.27: Механічна система, аналогічна рис5.26.
Ми вже знаємо, що це вірно для середини. Залишилося тільки розібратися в граничних умовах на кінцях. Якщо позначити індуктори, як показано на малюнку5.28, то ми можемо собі уявити, що ця система є частиною нескінченної системи, показаної на малюнку5.23, з обмеженими зарядами, щоб задовольнитиQ0=Q4=0.
Це повинно бути правильно. Ніякі заряди не можуть зміщуватися через індуктори 0 і 4, тому що на малюнку5.26 їх не існує. Це якраз те, що ми очікуємо від аналогії з системою в (5.27), де зміщення блоків 0 і 4 повинно зникнути, тому що вони займають місце нерухомих стін.
Тепер ми можемо відразу записати рішення для нормальних режимів, по аналогії з (5.21) і (5.22),Qj∝sinjn4
Малюнок5.28: Маркування індукторів на рис5.26.
дляn = 1 до 3.
Задача примусових коливань для зв'язанихLC ланцюгів
Малюнок5.29: Примусове коливання з трьома індукторами.
Ще один дещо більш практичний приклад може бути повчальним. Розглянемо схему, зображену на малюнку5.29. На малюнку5.29 розшифровується як джерело гармонічно змінної напруги. Будемо вважати, що напруга в цій точці ланцюга фіксується джерелом
,Vcosωt.
Ми хотіли б знайти напруги на інших вузлах системи, як показано на малюнку5.30, зV3−Vcosωt.
Ми могли б вирішити цю задачу за допомогою зміщених зарядів, однак трохи простіше використовувати той факт, що всі фізичні величини в нескінченній системі на малюнку5.23 пропорційніeikx в режимі з кутовим хвильовим числомk. Оскільки це задача вимушеного коливання (і тому, що, як зазвичай, ми ігноруємо можливі вільні коливання системи і шукаємо рішення стійкого стану),k визначається зω, по відношенню дисперсії для нескінченної системи зв'язанихLC ланцюгів, (5.75).
Інше, що нам потрібно, це те, щоV0=0,
Малюнок5.30: Напруги в системі рис5.29.
тому що ланцюг замикається в кінці. Таким чином, ми повинні об'єднати два режими нескінченної системиe±ikxsinkx, в, і рішення має формуVj∝sinjka.
Ми можемо задовольнити граничну умову на іншому кінці, взявшиVj=Vsin3kasinjkacosωt.
Це рішення.
_________________
6 Однак це не зовсім так. Відносність накладає обмеження. Див. главу 11.