5.6: З'єднані LC-схеми

Ми побачили в главі 1 аналогію між\(LC\) схемою на малюнку\( 1.10\) та відповідною системою маси та пружин на рис\( 1.11\). У цьому розділі ми обговорюємо, що відбувається, коли ми об'єднуємо\(LC\) схеми в інваріантну систему космічного перекладу.

Для прикладу розглянемо нескінченну інваріантну схему перекладу простору, шматок якої зображений на малюнку\( 5.23\). Можна здогадатися, виходячи з обговорення в главі 1, що схема на малюнку\( 5.23\) аналогічна поєднанню пружин і мас, показаних на

Малюнок\( 5.23\): Нескінченна система з'єднаних\(LC\) ланцюгів.

Малюнок\( 5.24\), з відповідністю між двома системами:\ [\ begin {вирівняний}
m &\ leftrightarrow\ quad L\\
K &\ leftrightarrow 1/C\\
x_ {j} &\ leftrightarrow\ quad Q_ {j}
\ end {вирівняний}\]

де\(x_{j}\) - зміщення\(j\) го блоку вправо і\(Q_{j}\) - заряд, який був «витіснений» через індуктор з ситуації рівноваги з незарядженими конденсаторами.\(j\) Насправді, це правильно, і ми могли б використовувати (5.69), щоб записати відношення дисперсії для малюнка\( 5.23\). Однак за допомогою наших потужних інструментів лінійності та інваріантності космічного перекладу ми можемо вирішити проблему з нуля без особливих зусиль. Стратегія полягатиме в тому, щоб записати те, як ми знаємо, має виглядати рішення, з інваріантності космічного перекладу, а потім працювати назад, щоб знайти співвідношення дисперсії.

Малюнок\( 5.24\): Механічна система, аналогічна рис\( 5.23\).

Відправна точка повинна бути знайома вже зараз. Оскільки система лінійна та космічна трансляція інваріантна, режими нескінченної системи пропорційні\(e^{\pm i k x}\). Тому всі фізичні величини в режимі, напруги, заряди, струми, що завгодно, також повинні бути пропорційними\(e^{\pm i k x}\). У цьому випадку змінна\(x\), насправді просто мітка. Електричні властивості схеми не дуже залежать від розташування елементів в просторі. ⁶ Співвідношення дисперсії буде залежати тільки від того\(ka\), де\(a\) знаходиться поділ між однаковими частинами системи (див. (5.35)). Однак легше думати про систему, якщо вона фізично викладена в простір перекладу інваріантної конфігурації, як показано на малюнку\( 5.23\).

Малюнок\( 5.25\): Маркування нескінченної системи з'єднаних\(LC\) ланцюгів.

Зокрема, позначимо індуктори і конденсатори, як показано на малюнку\( 5.25\). Тоді заряд, зміщений через\(j\) індуктор в режимі з кутовим числом хвилі,\(k\), становить\[Q_{j}(t)=q e^{i j k a} e^{-i \omega t}\]

за якийсь постійний заряд,\(q\). Зверніть увагу, що ми могли б так само добре взяти залежність часу\(\cos \omega t\), щоб бути\(\sin \omega t\), або\(e^{i \omega t\). Це не має значення для аргументу нижче. Важливо те, що коли ми\(Q_{j}(t)\) двічі диференціюємось щодо часу, ми отримуємо\(-\omega^{2} Q_{j}(t)\). Струм через\(j\) індуктор дорівнює\[I_{j}=\frac{d}{d t} Q_{j}(t)=-i \omega q e^{i j k a} e^{-i \omega t} .\]

Заряд на\(j\) -му конденсаторі, який ми будемо називати\(q_{j}\), теж пропорційний\(e^{i j k a} e^{-i \omega t}\), але насправді ми також можемо обчислити його безпосередньо. Заряд\(q_{j}\),, просто\[q_{j}=Q_{j}-Q_{j+1}\]

тому що заряд, зміщений через\(j\) індуктор, повинен або надходити\(j\) на конденсатор, або зміщуватися через\(j + 1\) st індуктор, так що\(Q_{j}=q_{j}+Q_{j+1}\). Тепер ми можемо обчислити\(V_{j}\) напругу кожного конденсатора,\[V_{j}=\frac{1}{C}\left(Q_{j}-Q_{j+1}\right)=\frac{q}{C}\left(1-e^{i k a}\right) e^{i j k a} e^{-i \omega t} ,\]

а потім обчислити падіння напруги на індукторах,\[L \frac{d I_{j}}{d t}=V_{j-1}-V_{j} ,\]

вставивши (5.71) і (5.73) в (5.74), і розділивши обидві сторони на загальний коефіцієнт\(-q L e^{i j k a} e^{-i \omega t}\), отримаємо співвідношення дисперсії,\[\omega^{2}=-\frac{1}{L C}\left(1-e^{i k a}\right)\left(e^{-i k a}-1\right)=\frac{4}{L C} \sin ^{2} \frac{k a}{2} .\]

Це відповідає (5.37) с\(B = 1 / LC\). Це саме те, що ми очікуємо від (5.69). Ми будемо називати (5.75) відношення дисперсії для зв'язаних\(LC\) ланцюгів.

Приклад зв'язаних\(LC\) схем

Малюнок\( 5.26\): Схема з трьома індукторами.

Скористаємося результатами цього розділу для вивчення скінченного прикладу, з граничними умовами. Розглянемо схему, зображену на малюнку\( 5.26\). Ця схема на малюнку\( 5.26\) аналогічна поєднанню пружин і мас, показаної на малюнку\( 5.27\).

Малюнок\( 5.27\): Механічна система, аналогічна рис\( 5.26\).

Ми вже знаємо, що це вірно для середини. Залишилося тільки розібратися в граничних умовах на кінцях. Якщо позначити індуктори, як показано на малюнку\( 5.28\), то ми можемо собі уявити, що ця система є частиною нескінченної системи, показаної на малюнку\( 5.23\), з обмеженими зарядами, щоб задовольнити\[Q_{0}=Q_{4}=0 .\]

Це повинно бути правильно. Ніякі заряди не можуть зміщуватися через індуктори 0 і 4, тому що на малюнку\( 5.26\) їх не існує. Це якраз те, що ми очікуємо від аналогії з системою в (5.27), де зміщення блоків 0 і 4 повинно зникнути, тому що вони займають місце нерухомих стін.

Тепер ми можемо відразу записати рішення для нормальних режимів, по аналогії з (5.21) і (5.22),\[Q_{j} \propto \sin \frac{j n}{4}\]

Малюнок\( 5.28\): Маркування індукторів на рис\( 5.26\).

для\(n\) = 1 до 3.

Задача примусових коливань для зв'язаних\(LC\) ланцюгів

Малюнок\( 5.29\): Примусове коливання з трьома індукторами.

Ще один дещо більш практичний приклад може бути повчальним. Розглянемо схему, зображену на малюнку\( 5.29\). На малюнку\( 5.29\) розшифровується як джерело гармонічно змінної напруги. Будемо вважати, що напруга в цій точці ланцюга фіксується джерелом,\[V \cos \omega t .\]

Ми хотіли б знайти напруги на інших вузлах системи, як показано на малюнку\( 5.30\), з\[V_{3}-V \cos \omega t .\]

Ми могли б вирішити цю задачу за допомогою зміщених зарядів, однак трохи простіше використовувати той факт, що всі фізичні величини в нескінченній системі на малюнку\( 5.23\) пропорційні\(e^{i k x}\) в режимі з кутовим хвильовим числом\(k\). Оскільки це задача вимушеного коливання (і тому, що, як зазвичай, ми ігноруємо можливі вільні коливання системи і шукаємо рішення стійкого стану),\(k\) визначається з\(\omega\), по відношенню дисперсії для нескінченної системи зв'язаних\(LC\) ланцюгів, (5.75).

Інше, що нам потрібно, це те, що\[V_{0}=0 ,\]

Малюнок\( 5.30\): Напруги в системі рис\( 5.29\).

тому що ланцюг замикається в кінці. Таким чином, ми повинні об'єднати два режими нескінченної системи\(e^{\pm i k x}\)\(\sin kx\), в, і рішення має форму\[V_{j} \propto \sin j k a .\]

Ми можемо задовольнити граничну умову на іншому кінці, взявши\[V_{j}=\frac{V}{\sin 3 k a} \sin j k a \cos \omega t .\]

Це рішення.

_________________
⁶ Однак це не зовсім так. Відносність накладає обмеження. Див. главу 11.