5.3: Хвилі

Рядок з бісеру

Малюнок\( 5.4\): Бісерна нитка в рівновазі.

Ще одна повчальна система - бісерна струна, що зазнає поперечні коливання. Коливання називаються «поперечними», якщо рух перпендикулярно напрямку, в якому розтягується система. Розглянемо безмасову нитку з натягом\(T\), до якої через рівні проміжки часу\(m\) прикріплюються однакові кульки маси,\(a\). Частина такої системи в її рівноважної конфігурації зображена на малюнку\( 5.4\). Намистини не можуть коливатися поздовжньо, тому що струна зламається. ³ Однак при невеликих поперечних коливаннях розтягнення струни мізерно мало, а натяг і горизонтальна складова сили від струни приблизно постійні. Горизонтальна складова сили на кожному блоці з рядки праворуч його скасовується горизонтальною складовою з рядка зліва. Сумарна горизонтальна сила на кожному блоці дорівнює нулю (це повинно бути, тому що блоки не рухаються горизонтально). Але струни виробляють поперечну відновлювальну силу, коли сусідні намистини не мають такого ж поперечного зміщення, як показано на малюнку\( 5.5\). Показана сила струни на бісерину 1 разом з поперечною складовою. Пунктирними лініями завершити аналогічні трикутники, так що\(F / T=\left(\psi_{2}-\psi_{1}\right) / a\). З малюнка видно,\( 5.5\) що відновлювальна сила,\(F\) на малюнку, для малих поперечних коливань лінійна, і відповідає постійній пружини\(T / a\).

Малюнок\( 5.5\): Дві сусідні намистини на бісерній нитці.

Таким чином (5.37) також є дисперсійним відношенням для малих поперечних коливань бісерної нитки з\[B=\frac{T}{m a},\]

де\(T\) натяг нитки,\(m\) - маса бісеру і\(a\) - поділ між намистинами. Таким чином, співвідношення дисперсії для бісерної нитки можна записати як\[\omega^{2}=\frac{4 T}{m a} \sin ^{2} \frac{k a}{2}\]

Це співвідношення дисперсії, (5.39), має цікаву властивість, що\(\omega \rightarrow 0\) як\(k \rightarrow 0\). Це обговорюється з точки зору симетрії в додатку С, де ми обговорюємо зв'язок цього дисперсійного відношення з тим, що називаються «бозонами Голдстоуна». Тут слід обговорити особливі властивості\(k = 0\) режиму з рівно нульовою кутовою частотою,\(\omega = 0\). Це відрізняється від усіх інших кутових частот тим, що ми не отримуємо різну часову залежність шляхом складного сполучення незведеного комплексу експоненціального,\(e^{-i \omega t}\). Але нам потрібні два рішення для того, щоб описати можливі початкові умови системи, тому що ми можемо вказати як зміщення, так і швидкість для кожного кульки. Дозвіл цієї дилеми аналогічний тому, який обговорювався для критичного демпфування в главі 2 (див. (2.12)). Якщо підходити\(\omega = 0\) з ненульових\(\omega\), ми можемо сформувати два незалежних рішення наступним чином: ⁴\[\lim _{\omega \rightarrow 0} \frac{e^{-i \omega t}+e^{i \omega t}}{2}=1, \quad \lim _{\omega \rightarrow 0} \frac{e^{-i \omega t}-e^{i \omega t}}{-2 i \omega}=t\]

Перший, для, описує ситуацію\(k = 0\), в якій всі намистини сидять в якомусь фіксованому положенні. Друга описує ситуацію, при якій всі кульки рухаються разом з постійною швидкістю в поперечному напрямку.

Точно аналогічні речі можна сказати і про\(x\) залежність\(k = 0\) режиму. Знову, наближаючись\(k = 0\) від ненульових\(k\), ми можемо сформувати два режими,\[\lim _{k \rightarrow 0} \frac{e^{i k x}+e^{-i k x}}{2}=1, \quad \lim _{k \rightarrow 0} \frac{e^{i k x}-e^{-i k x}}{2 i k}=x\]

Другий режим тут описує ситуацію, при якій кожна наступна намистина більше зміщується. Поперечна сила на кожній намистини від нитки зліва скасовується силою від нитки справа.

Фіксовані кінці

5-2

Малюнок\( 5.6\): Рядок з бісеру з закріпленими кінцями.

Тепер припустимо, що ми дивимося на кінцеву бісерну нитку з її кінцями,\(x = 0\) закріпленими на і\(x = L = (N + 1)a\), як показано на малюнку\( 5.6\). Аналіз нормальних режимів цієї системи точно такий же, як і для пов'язаної маятникової задачі на початку глави. Ще раз уявляємо, що скінченна система є частиною нескінченної системи з космічною інваріантністю перекладу і шукаємо лінійні комбінації режимів, такі, що кульки в\(x = 0\) і\(x = L\) закріплені. Знову це призводить до (5.33). Єдині відмінності:

1. частоти режимів різні, оскільки співвідношення дисперсії тепер задається (5.39);
2. (5.33) описує поперечні зміщення намистин.

Це дуже приємний приклад нормальних режимів стоячої хвилі (5.33), тому що ви можете побачити форми легше, ніж для поздовжніх коливань. Для чотирьох намистин (\(N = 4\)) чотири незалежні нормальні режими проілюстровані в\(Figures \text { } 5.7 \text {-} 5.10\), де ми зробили муфтові струни невидимими для наочності. Фіксовані уявні намистини, які грають роль стін, показані (пунктирними) при\(x = 0\) і\(x = L\). Накладається на положення бісеру безперервна функція\(\sin k x\), для кожного\(k\) значення представлена пунктирною лінією. Відзначимо, що дана функція не описує положення струн зчеплення, які натягнуті прямо між сусідніми намистинами.

Малюнок\( 5.7\):\(n = 1\).

Малюнок\( 5.8\):\(n = 2\).

Малюнок\( 5.9\):\(n = 3\).

Малюнок\( 5.10\):\(n = 4\).

\(Figures \text { } 5.7 \text {-} 5.10\)Саме такі картинки виправдовують слово «хвиля» для цих стоячих хвильових рішень. Вони, чесно кажучи, хвилясті, проявляючи синусоїдальну космічну залежність, яка є неодмінною умовою хвильових явищ.

Поперечне коливання бісерної струни з закріпленими обома кінцями проілюстровано в програмі 5-2, де показано загальне коливання разом з нормальними режимами, з яких вона побудована. Зверніть увагу на різні частоти різних нормальних режимів, зі збільшенням частоти, коли режими стають більш хвилястими. Ми часто будемо використовувати бісерну нитку як наочний приклад, оскільки режими так легко візуалізувати.

_____________________
³ Точніше, струна має дуже велику і нелінійну постійну сили для поздовжнього розтягування. Поздовжні коливання мають набагато більшу частоту і набагато сильніше затухають, ніж поперечні коливання, тому ми можемо ігнорувати їх в діапазоні частот поперечних мод. Дивіться обговорення «легкої» масивної весни в главі 7.
⁴ Ви можете легко оцінити межі, використовуючи серію Тейлора для\(e^{x}=1+x+\cdots\).