5.1: Інваріантність космічного перекладу
Малюнок5.1: Скінчена система зв'язаних маятників.
Типова система зв'язаних осциляторів, яка підтримує хвилі, є такою, як системаN однакових пов'язаних маятників, показана на малюнку5.1. Ця система є узагальненням системи двох пов'язаних маятників, яку ми вивчали в розділах 3 і 4. Припустимо, що кожен маятник боб має масуm, кожен маятник має довжинуℓ, кожна пружина має постійну пружинуκ і рівноважний поділ між бобами єa. Припустимо далі, що тертя немає і що маятники обмежені коливатися тільки в тому напрямку, в якому натягнуті пружини. Нас цікавить вільне коливання цієї системи, без зовнішньої сили. Таке коливання, коли рух паралельно напрямку, в якому система розтягується в просторі, називається «поздовжнім коливанням». Викликати поздовжнє зміщенняj го боба від рівноваги (\ psi_ {j}\). Ми можемо організувати зсуви в вектор,Ψ (з причин, які стануть зрозумілими нижче, це було б заплутаним у використанніX, тому ми вибираємо іншу букву, грецька буква psi, яка виглядає якψ у нижньому регістрі таΨ коли з великої літери):\ [\ Psi =\ left (\ begin {array} {c}
\ psi_ {1}\
\ psi_ {2}\
\ psi_ {3}\
\ vdots\\
\ psi_ {N}
\ кінець {масив}\ праворуч).\]
Тоді рівняння руху (для малих поздовжніх коливань)d2Ψdt2=−M−1KΨ
деM діагональна матриця withm вздовж діагоналі,\ [\ left (\ begin {масив} {ccccc}
m & 0 & 0 &\ cdots &
0\\ 0 & m & 0 &\ cdots &
0\\ cdots & 0\\ vdots &
\\ vdots &\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
0 & 0 &\ cdots & m
\ end {масив}\ праворуч),\]
іK має діагональні елементи(mg/ℓ+2κ)−κ, елементи поруч з діагоналлю та нулі в іншому місці,\ [\ left (\ begin {масив} {ccccc}
m g/\ ell+2\ kappa & -\ kappa & 0\ cdots & 0\\
-\ kappa & m g/\ ell+2\ kappa &\ cdots & 0\\
0 & -\ kappa & m g/\ ell+2\ kappa &\ cdots & 0\\ vdots &
\\ vdots &\ vdots &\ ddots &\\ vdots\\
0 & 0 &\ cdots & m/\ ell+2\ kappa
\ end {масив}\ праворуч).\]
−κУ наближених до діагоналі елементи мають точно таке ж походження, як і−κ в2×2 K матриці в (3.78). У ній описується зчеплення двох сусідніх блоків пружиною. (mg/ℓ+2κ)На діагоналі аналогічний(mg/ℓ+κ) по діагоналі (3,78). Різниця в коефіцієнті 2 в коефіцієнтіκ виникає через те, що є дві пружини, по одній з кожного боку, які сприяють відновлювальному зусиллю на кожному блоці в системі, показаної на малюнку5.1, в той час як в системі була тільки одна, показана на малюнку3.1. Таким чиномM−1K має вигляд\ [\ left (\ begin {масив} {ccccc}
2 B & -C & 0 &\ cdots & 0\\
-C & 2 B & -C &\\ cdots &
0\\ cdots & 0\\ vdots &
\ vdots &\\ vdots &\\ dots &\ vdots\\
0 & 0 & 0 &\ cdots & 2 B
\ end {масив}\ праворуч)\]
де2B=g/ℓ+2κ/m,C=κ/m.
Цікаво порівняти матрицю (5.5) з матрицею, (4.43), з попередньої глави. В обох випадках діагональні елементи все рівні, через симетрії. Те ж саме стосується наближених до діагоналі елементів. Однак у (5.5) всі інші елементи дорівнюють нулю, оскільки взаємодія відбувається лише між найближчими сусідніми блоками. Ми називаємо такі взаємодії «локальними». У (4.43), з іншого боку, кожна з мас взаємодіє з усіма іншими. Ми будемо використовувати локальний характер взаємодій нижче.
Ми могли б спробувати знайти нормальні режими цієї системи безпосередньо, знайшовши власні векториM−1K, але є набагато простіша і більш корисна техніка. Ми можемо розділити фізику системи на дві частини: фізику з'єднаних маятників та фізику стін. Для цього спочатку розглянемо нескінченну систему, яка взагалі не має стін.
Малюнок5.2: Шматок нескінченної системи з'єднаних маятників.
Зверніть увагу5.2, що на малюнку ми взагалі не змінили інтер'єр системи, зображеної5.1 на малюнку. Ми тільки що замінили стіни продовженням інтер'єру.
Тепер ми можемо знайти всі режими нескінченної системи Figure5.2 дуже легко, використовуючи аргумент симетрії. Нескінченна система Фігури5.2 виглядає однаково, якщо вона перекладена, переміщена вліво або вправо кратним поділу рівноваги,a. Він має властивість «інваріантність космічного перекладу». Інваріантність космічного перекладу — це симетрія нескінченної системи при перекладах кратними числамиa. У цьому прикладі через дискретні блоки та скінченну довжину пружин інваріантність космічного перекладу є «дискретною». Тільки переклад інтегральними кратнимиa дають однакову фізику. Пізніше ми обговоримо неперервні системи, які мають неперервну інваріантність космічного перекладу. Однак ми побачимо, що такі системи можна проаналізувати за допомогою тих самих методів, які ми впроваджуємо в цьому розділі.
Ми можемо використовувати симетрію інваріантності космічного перекладу, подібно до того, як ми використовували симетрії відображення та обертання, розглянуті в попередньому розділі, щоб знайти нормальні режими нескінченної системи. Дискретна космічна інваріантність перекладу нескінченної системи (симетрія при перекладах кратнимиa) дозволяє знайти нормальні режими нескінченної системи простим способом.
Більшість режимів, які ми знаходимо за допомогою інваріантності космічного перекладу нескінченної системи Figure, не5.2 матимуть нічого спільного з скінченною системою, показаною на рис5.1. Але якщо ми можемо знайти лінійні комбінації нормальних режимів нескінченної системи Фігури,5.2 в яких 0-й іN + 1-й блоки залишаються фіксованими, то вони повинні бути розв'язками рівнянь руху системи, показаних на рис5.1. Причина в тому, що взаємодії між блоками є «локальними» — вони відбуваються тільки між найближчими сусідніми блоками. Таким чином, блок 1 знає, що робить блок 0, але не те, що робить блок −1. Якщо блок 0 нерухомий, він також може бути стіною, оскільки блоки з іншого боку ніяк не впливають на блок 1 (або будь-який з блоків 1 доN). Локальний характер взаємодії дозволяє поставити в фізику стін як граничну умову після розв'язання нескінченної задачі. Цей же трюк також дозволить нам вирішити багато інших проблем.
Давайте подивимося, як це працює для системи, показаної на малюнку5.1. По-перше, ми використовуємо симетрію під перекладами, щоб знайти нормальні режими нескінченної системи Figure5.2. Як і в попередніх двох розділах, ми описуємо розв'язки з точки зору вектора,A. Але теперA має нескінченну кількість компонентів,Aj де ціле числоj працює від−∞ до+∞. Записати цей нескінченний вектор вниз трохи незручно, але ми можемо уявити його шматок:\ [A=\ left (\ begin {масив} {c}
\ vdots\\
A_ {0}\
A_ {1}\
A_ {2}\
A_ {3}\\
\ vdots\\
A_ {N}\\
A_ {N+1}\
\ vdots
\ end {масив}\ справа).\]
АналогічноM−1K матриця для системи є нескінченною матрицею, не легко записаної, але будь-який її шматок (по діагоналі) виглядає як внутрішня частина (5.5):\ [\ left (\ begin {array} {cccccc}
\ ddots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\
\ ddots &\ підсилювач; 2 B & -C & 0 & 0 &\ cdots
\\\ cdots & -C & 2 B & -C & 0 &
\ cdots\\\ cdots & 0 & -C & 2 B & -C &
\\ cdots\\\ cdots\\ cdots & 0 &\\ dots &
vdots &\ vdots &\ vdots &\ ddots
\ end {масив}\ справа).\]
Ця система є «інваріантною трансляції простору», оскільки вона виглядає однаково, якщо її переміщати вліво на відстаньa. Це переміщує блокj+1 туди, деj раніше був блок, таким чином, якщо є режим з компонентамиAj, повинен бути інший режим з тією ж частотою, представлений вектором,\ (A^ {\ prime} = SA|), з компонентамиA′j=Aj+1.
Матриця симетрії - це нескінченна матриця з 1s уздовж діагоналі.S Вони аналогічні 1s уздовж діагоналі поруч з діагоналлю в (4.40). Однак зараз трансформація ніколи не закривається на собі. Аналога 1 в нижньому лівому куті (4.40) немає, тому що нескінченна матриця не має кута. Ми хочемо знайти власні значення та власні вектори матриціS, що задовольняютьA′=SA=βA
або еквівалентно (від (5.9)), режими в якихAj іA′j пропорційні:A′j=βAj=Aj+1
деβ деяка ненульова константа. 1
Рівняння (5.11) можна вирішити наступним чином: ВиберітьA0=1. ТодіA1=βA2=β2,etc.,sothat\(Aj=(β)j для всіх ненегативнихj. Ми також можемо переписати (5.11) якAj−1=β−1Aj, так що\boldsymbol{A_{-1} = \beta_{-1}A−2=β−2, і т.д. таким чином рішенняAj=(β)j
Тепер, коли ми знаємо форму нормальних режимів, легко отримати відповідні частоти, впливаючи на (5.12) зM−1K матрицею, (5.8). Це даєω2Aβj=2BAβj−CAβj+1−CAβj−1,
або вставлення (5.13),ω2βj=2Bβj−Cβj+1−Cβj−1=(2B−Cβ−Cβ−1)βj.
Це вірно для всіхj, що показує, що (5.13) дійсно є власним вектором (ми вже знали це з аргументу симетрії, (4.22), але це приємно перевірити, коли це можливо), а власне значення єω2=2B−Cβ−Cβ−1.
Зверніть увагу, що майже для кожного значенняω2, є два нормальних режими, тому що ми можемо обмінюватисяβ іβ−1 без зміни (5.16). Виняток становлять лишеω2=2B∓2C,
що відповідаєβ=±1. Той факт, що існує не більше двох нормальних режимів для кожного значенняω2 матиме драматичний наслідок. Це означає, що нам доведеться мати справу лише з двома нормальними режимами одночасно, щоб реалізувати фізику кордону. Це особливість одновимірної системи, яку не поділяють дво- і тривимірні системи. Як ми побачимо, це робить одновимірну систему дуже простою в обробці.
граничні умови
5-1 Зараз
ми вирішили задачу коливання нескінченної системи. Озброївшись таким результатом, ми можемо знову занести фізику стін. Будь-якийβ (крімβ=±1) дає пару нормальних режимів для нескінченної системи Figure5.2. Але тільки спеціальні значенняβ будуть працювати для скінченної системи, показаної на малюнку5.1. Для пошуку нормальних режимів роботи системи, показаної на малюнку5.1, ми використовуємо (4.56), той факт, що будь-яка лінійна комбінація двох нормальних режимів з однаковою кутовою частотоюω, також є нормальним режимом. Якщо ми зможемо знайти лінійну комбінацію, яка зникає дляj=0 і дляj=N+1, це буде нормальний режим системи, показаний на малюнку5.1. Саме зникнення нормального режиму приj=0 іj=N+1 є «граничними умовами» для цієї конкретної скінченної системи.
Почнемо з спроби задовольнити граничну умову приj=0. Для кожного можливого значенняω2, ми повинні турбуватися тільки про два нормальних режими, два рішення (5.16) дляβ. До тих пірβ≠±1, поки ми можемо знайти комбінацію, яка зникає вj=0; просто відніміть два режимиAβ іAβ−1 отримати векторA=Aβ−Aβ−1,
або в компонентахAj∝Aβj−Aβ−1j=βj−β−j.
Перше, що слід помітити про (5.19), це те, щоAj не може зникнути ні для кого,j≠0 якщо|β|=1. Таким чином, якщо ми маємо шанс задовольнити граничну умову вj=N+1, ми повинні припустити, щоβ=eiθ.
Тоді з (5.19),Aj∝sinjθ.
Тепер ми можемо задовольнити граничну умову приj=N+1 встановленніAN+1=0. Це має на увазіsin[(N+1)θ]=0, абоθ=nπ/(N+1), for integer n.
Таким чином, нормальні режими системи, показані на малюнку5.1, єAnj=sin(jnπN+1), for n=1,2,⋯N.
Інші значенняn не призводять до нових режимів, вони просто повторюютьN режими вже показані в (5.23). Відповідні частоти отримують шляхом введення (5.20) - (5.21) в (5.16), щоб отриматиω2=2B−2Ccosθ=2B−2Ccos(nπN+1).
Звідси аналіз руху системи такий же, як і для будь-якої іншої системи зв'язаних осциляторів. Як обговорювалося в розділі 3, ми можемо розділити загальний рух і висловити його як суму нормальних режимів. Це проілюстровано для системи зв'язаних маятників в програмі 5-1 на диску програми. Нове в цій системі - це спосіб, яким ми отримали нормальні режими та їх своєрідно просту форму з точки зору тригонометричних функцій. Ми отримаємо більше розуміння значення цих режимів у наступному розділі. Тим часом зверніть увагу на спосіб, за допомогою якого прості режими можна об'єднати в дуже складний рух повної системи.
___________________
1 Нуль не працює,β оскільки рівняння власного значення не має рішення.