Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.7: Контрольний список глав

Тепер ви повинні мати можливість:

  1. Розпізнати скінченну систему як частину космічного перекладу інваріантної нескінченної системи;
  2. Знайти нормальні режими скінченної системи як лінійні комбінації нормальних режимів космічного перекладу інваріантної нескінченної системи, узгодженої з фізикою меж, шляхом накладення граничних умов;
  3. Охарактеризуйте нормальні режими інваріантної системи просторового перекладу в терміні кутового хвильового числаk;
  4. Знайти дисперсійне відношення, яке пов'язує кутову частотуω, до числа кутових хвильk;
  5. Розв'язувати задачі примусових коливань за допомогою граничних умов;
  6. Проаналізуйте інваріантні системи космічного перекладу зв'язанихLC ланцюгів.

Проблеми

5.1. Розглянемо малі поздовжні коливання системи, наведені нижче:

clipboard_e9a25279507dab24a62d972e41a14895a.png

На малюнку вище кожен боб має масуm, кожен маятник має довжину, кожна пружина має постійну пружинуκ, а рівноважний поділ між бобами єa.

  1. ЗнайтиM1K матрицю для цієї системи в основі, в якій зміщення блоків від рівноваги вимірюються вправо і розташовані в вектор очевидним чином,\ [X (t) =\ left (\ begin {array} {l}
    x_ {1} (t)\\
    x_ {2} (t)\\
    x_ {3} (t)\\
    x_ {4} (t)
    \ end {масив}\ справа).\]
  2. Класифікуйте як TRUE або FALSE кожне з наступних питань щодо нормальних режимів цієї системи. Якщо можливо, поясніть свої відповіді якісно, тобто словами, а не шляхом підключення до формули, і обговоріть загальність ваших результатів.
    1. У звичайному режимі з найменшою частотою все блоки рухаються в одному напрямку, коли вони взагалі рухаються.
    2. У звичайному режимі з другою найнижчою частотою 1-й і 2-й блоки мають однакове зміщення.
    3. У звичайному режимі з найбільшою частотою сусідні блоки рухаються в протилежних напрямках, коли вони взагалі рухаються.
  3. Знайдіть кутові частоти кожного з нормальних режимів. Підказка: Ви можете використовувати співвідношення дисперсії для зв'язаних маятників,ω2=2B2Ccoska

деB=g2+κm,C=κm.

5.2.

clipboard_e89d3d32a981332605cb08261f797964b.png

У наведеній вище системі всі блоки мають масу m і вони обмежені переміщатися тільки по горизонталі. Довгі пружини з шістьма петлями мають постійну пружинуK. Більш короткі пружини, з трьома петлями, мають постійну пружину2K. Найкоротші пружини, з двома петлями, мають постійну пружину3K. Як ви побачите в розділі 7, це те, що ми очікуємо, якщо пружини всі зроблені з одного матеріалу (див. Малюнок7.1). Знайдіть нормальні режими роботи системи і відповідні частоти. Переконайтеся, що ви виправдовуєте будь-які припущення, які ви робите щодо звичайних режимів. Підказка: Спробуйте знайти нескінченну систему з інваріантністю перекладу простору, яка містить це таким чином, що ви можете поставити фізику стін як граничну умову. Ще одна підказка: Це працює просто, лише якщо три петлеві пружини мають рівно вдвічі більшу постійну пружини довгих пружин. Ваша відповідь повинна пояснити, чому.

5.3. У бісерної нитки, показаної нижче, інтервал між сусідніми намистинами дорівнюєa, а відстань від торцевих намистин до стін -a/2. Всі намистини мають масуm і обмежені рухатися тільки вертикально, в площині паперу.

clipboard_e9205720537722eafbf7b8c55cf5dc9b1.png

Покажіть, що фізика лівої стіни може бути включена, перейшовши до нескінченної системи і вимагаючи граничної умовиA0=A1.

  1. Легко. Знайдіть аналогічну граничну умову для правої стінки.
  2. Знайдіть нормальні режими і відповідні частоти.

5.4. Розглянемо наступну схему:

clipboard_e0dd5eab05e0daecf6285648e663eac6e.png

Всі конденсатори мають однакову ємністьC0.00667μF, і всі індуктори мають однакову індуктивність,L150μH і немає опору. Центральний провід заземлений. Ця схема є електричним аналогом інваріантних систем космічного перекладу зв'язаних механічних осциляторів, про які ми говорили в цьому розділі.

Коли ви подаєте гармонічно коливальний сигнал від генератора сигналів через коаксіальний кабель доV6, різні коливальні напруги будуть індуковані вздовж лінії. Тобто, якщоV6(t)=Vcosωt,

тоVj(t) має виглядVj(t)=Ajcosωt+Bjsinωt.

ЗнайтиAj іBj.