5.7: Контрольний список глав
Тепер ви повинні мати можливість:
- Розпізнати скінченну систему як частину космічного перекладу інваріантної нескінченної системи;
- Знайти нормальні режими скінченної системи як лінійні комбінації нормальних режимів космічного перекладу інваріантної нескінченної системи, узгодженої з фізикою меж, шляхом накладення граничних умов;
- Охарактеризуйте нормальні режими інваріантної системи просторового перекладу в терміні кутового хвильового числаk;
- Знайти дисперсійне відношення, яке пов'язує кутову частотуω, до числа кутових хвильk;
- Розв'язувати задачі примусових коливань за допомогою граничних умов;
- Проаналізуйте інваріантні системи космічного перекладу зв'язанихLC ланцюгів.
Проблеми
5.1. Розглянемо малі поздовжні коливання системи, наведені нижче:
На малюнку вище кожен боб має масуm, кожен маятник має довжинуℓ, кожна пружина має постійну пружинуκ, а рівноважний поділ між бобами єa.
- ЗнайтиM−1K матрицю для цієї системи в основі, в якій зміщення блоків від рівноваги вимірюються вправо і розташовані в вектор очевидним чином,\ [X (t) =\ left (\ begin {array} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)\\
x_ {3} (t)\\
x_ {4} (t)
\ end {масив}\ справа).\] - Класифікуйте як TRUE або FALSE кожне з наступних питань щодо нормальних режимів цієї системи. Якщо можливо, поясніть свої відповіді якісно, тобто словами, а не шляхом підключення до формули, і обговоріть загальність ваших результатів.
- У звичайному режимі з найменшою частотою все блоки рухаються в одному напрямку, коли вони взагалі рухаються.
- У звичайному режимі з другою найнижчою частотою 1-й і 2-й блоки мають однакове зміщення.
- У звичайному режимі з найбільшою частотою сусідні блоки рухаються в протилежних напрямках, коли вони взагалі рухаються.
- Знайдіть кутові частоти кожного з нормальних режимів. Підказка: Ви можете використовувати співвідношення дисперсії для зв'язаних маятників,ω2=2B−2Ccoska
деB=g2ℓ+κm,C=κm.
5.2.
У наведеній вище системі всі блоки мають масу m і вони обмежені переміщатися тільки по горизонталі. Довгі пружини з шістьма петлями мають постійну пружинуK. Більш короткі пружини, з трьома петлями, мають постійну пружину2K. Найкоротші пружини, з двома петлями, мають постійну пружину3K. Як ви побачите в розділі 7, це те, що ми очікуємо, якщо пружини всі зроблені з одного матеріалу (див. Малюнок7.1). Знайдіть нормальні режими роботи системи і відповідні частоти. Переконайтеся, що ви виправдовуєте будь-які припущення, які ви робите щодо звичайних режимів. Підказка: Спробуйте знайти нескінченну систему з інваріантністю перекладу простору, яка містить це таким чином, що ви можете поставити фізику стін як граничну умову. Ще одна підказка: Це працює просто, лише якщо три петлеві пружини мають рівно вдвічі більшу постійну пружини довгих пружин. Ваша відповідь повинна пояснити, чому.
5.3. У бісерної нитки, показаної нижче, інтервал між сусідніми намистинами дорівнюєa, а відстань від торцевих намистин до стін -a/2. Всі намистини мають масуm і обмежені рухатися тільки вертикально, в площині паперу.
Покажіть, що фізика лівої стіни може бути включена, перейшовши до нескінченної системи і вимагаючи граничної умовиA0=−A1.
- Легко. Знайдіть аналогічну граничну умову для правої стінки.
- Знайдіть нормальні режими і відповідні частоти.
5.4. Розглянемо наступну схему:
Всі конденсатори мають однакову ємністьC≈0.00667μF, і всі індуктори мають однакову індуктивність,L≈150μH і немає опору. Центральний провід заземлений. Ця схема є електричним аналогом інваріантних систем космічного перекладу зв'язаних механічних осциляторів, про які ми говорили в цьому розділі.
Коли ви подаєте гармонічно коливальний сигнал від генератора сигналів через коаксіальний кабель доV6, різні коливальні напруги будуть індуковані вздовж лінії. Тобто, якщоV6(t)=Vcosωt,
тоVj(t) має виглядVj(t)=Ajcosωt+Bjsinωt.
ЗнайтиAj іBj.