5.4: Вільні кінці
Розберемо приклад вимушеного коливання з іншим видом граничної умови. Розглянемо поперечні коливання бісерної нитки. Для визначеності візьмемо чотири намистини, щоб це була система з чотирьох спарених осциляторів. Однак замість того, щоб сполучати струни на кінцях з нерухомими стінками, ми будемо прикріплювати їх до безмасовим кільцям, які вільно ковзають в поперечному напрямку на нефрикційних стрижнях. Потім, як кажуть, струна має вільні кінці (принаймні для поперечного руху). Тоді система виглядає як діаграма на малюнку5.11, де осцилятори рухаються вгору і вниз в площині паперу: Давайте знайдемо її нормальні режими.
Малюнок 5.11: Рядок з бісеру з вільними кінцями.
Звичайні режими для вільних кінців
5-3
Як і раніше, ми уявляємо, що це частина нескінченної системи бісеру з космічною інваріантністю перекладу. Це показано на малюнку5.12. Тут безмасові кільця, що ковзають на стрижнях без тертя, були замінені уявними (пунктирними) намистинами, 0 і 5. Співвідношення дисперсії таке ж, як і для будь-якої іншої нескінченної бісерної нитки, (5.39). Питання в тому, яка гранична умова на нескінченній системі відповідає фізичній граничній умові, що кінцеві кульки вільні з одного боку? Відповідь полягає в тому, що ми повинні мати першу уявну намистину з обох боків рухатися вгору і вниз з останньою справжньою намистиною, так що муфта з бісеру 0 горизонтальна і не чинить поперечної відновлювальної сили на намистину 1, а муфта струна з бісеру 5 горизонтальна і не чинить поперечної відновлювальної сили на намистина 4:A0=A1,
A4=A5;
Малюнок5.12: Задоволення граничних умов у скінченній системі.
Ми будемо працювати в позначеннях, в яких намистини маркуються їх положеннями рівноваги. Нормальні режими нескінченної системи тодіe±ikx. Але нам ще не довелося вирішувати, куди ми поставимо походження. Як сформувати лінійну комбінацію складних експоненціальних режимівe±ikx, іk вибрати відповідність цій граничній умові? Почнемо з (5.42). Ми можемо записати лінійну комбінацію, якою б вона не була, у виглядіcos(kx−θ).
Будь-яка дійсна лінійна комбінаціяe±ikx може бути записана таким чином до загальної мультиплікативної константи (див. (1.96)). Тепер, якщоcos(kx0−θ)=cos(kx1−θ),
деxj - положенняj го блоку, то або
- cos(kx−θ)має максимум або мінімум приx0+x12, або
- kx1−kx0є кратним2π.
Розглянемо випадок 1. Ми побачимо, що випадок 2 не дає ніяких додаткових режимів. Миx0+x12 виберемо наші координати так, щоб точка, посередині міжx0 іx1, булаx=0. Ми не дбаємо про загальну нормалізацію, тому якщо функція має мінімум, ми помножимо її на −1, щоб зробити її максимальною. Таким чином, у випадку 1 функціяcos(kx−θ) має максимум atx=0, що означає, що ми можемо взятиθ=0. Таким чином, функція простоcoskx. Система з таким маркуванням показана на рис5.13. Зсувj намиста тодіAj=cos[ka(j−1/2)].
Малюнок5.13: Та ж система осциляторів позначена більш спритно.
Тепер повинно бути зрозуміло, як накладати граничну умову (5.43) на іншому кінці. Ми хочемо мати максимальну або мінімальну середину між намистиною 4 та намистиною 5, вx=4a. Ми отримуємо максимум або мінімум кожного разу, коли аргумент косинуса є цілим кратнимπ. Аргумент косинуса приx=4a є4ka, деk - кутове хвильове число. Таким чином, гранична умова буде задоволена, якщо режим має4ka=nπ для цілого числаn. Тодіcos[ka(4−1/2)]=cos[ka(5−1/2)]⇒ka=nπ4.
Таким чином, режимиAj=cos[ka(j−1/2)] with k=nπ4a for n=0 to 3.
Боn>3, режими просто повторюються, тому щоk≥π/a.
У (5.48),n=0 це тривіальний режим, в якому всі намистини рухаються вгору-вниз разом. Це можливо тому, що немає відновлювальної сили взагалі, коли всі намистини рухаються разом. Як обговорювалося вище (див. (5.40)), кульки можуть рухатися з постійною швидкістю, тому щоω=0 для цього режиму. Зверніть увагу, що випадок 2, вище, дає той же режим, і нічого іншого, тому що якщоkx1−kx0=2nπ, то (5.44) має однакове значення для всіхxj. Решта режимів показані вFigures 5.14-5.16. Ця система проілюстрована в програмі 5-3 на диску програми.
Малюнок5.14:n=1,Aj=cos[(j−1/2)π/4].
Малюнок5.15:n=2,Aj=cos[(j−1/2)2π/4].