4.2: Контрольний список глав
Тепер ви повинні мати можливість:
- Застосовуйте аргументи симетрії для пошуку нормальних режимів систем зв'язаних осциляторів шляхом знаходження власних значень та власних векторів матриці симетрії.
Проблеми
4.1. Показати явно, що (4.7) вірно дляK матриці, (4.43), системи Рисунок4.3 шляхом знаходженняSK іKS.
4.2. Розглянемо систему з шести однакових мас, які вільно ковзають без тертя на кругове кільце радіусаR і кожна з яких з'єднана з обома своїми найближчими сусідами однаковими пружинами, показаними нижче в рівновазі:
- Проаналізуйте можливі рухи цієї системи в тій області, в якій вона лінійна (зверніть увагу, що це не зовсім невеликі коливання). Для цього потрібно визначити відповідні змінні зміщення (щоб можна було використовувати аргумент симетрії), знайти формуK матриці і далі слідувати аналізу в (4.37) - (4.55). Якщо ви зробили це правильно, ви повинні виявити, що один з режимів має нульову частоту. Поясніть фізичну значимість цього режиму. Підказка: Не намагайтеся знайти формуK матриці безпосередньо з пружинних констант пружини та геометрії. Це безлад. Замість цього з'ясуйте, як він повинен виглядати на основі аргументів симетрії. Можливо, ви захочете подивитися на додаток c.
- Якщо приt=0, маси рівномірно розподіляються по колу, але кожна інша маса рухається зі швидкістю (проти годинникової стрілки),v тоді як інші маси знаходяться в стані спокою, знайдіть і опишіть словами подальший рух системи.
4.3.
- Доведіть (4.56).
- Доведіть, що якщоA іA′ нормальні режими, відповідні різним кутовим частотам,ω іω′ відповідно, деω2\ neq\ omega^ {\ prime 2}\), то неbA+cA′ є нормальним режимом, якщоb або неc дорівнює нулю. Підказка: Вам потрібно буде використовувати той факт, що обидваA іA′ є ненульовими векторами.
4.4. Показати, що (4.43) є найбільш загальною симетричною6×6 матрицею, що задовольняє (4.44).