4.2: Контрольний список глав
- Page ID
- 79303
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Тепер ви повинні мати можливість:
- Застосовуйте аргументи симетрії для пошуку нормальних режимів систем зв'язаних осциляторів шляхом знаходження власних значень та власних векторів матриці симетрії.
Проблеми
4.1. Показати явно, що (4.7) вірно для\(K\) матриці, (4.43), системи Рисунок\( 4.3\) шляхом знаходження\(SK\) і\(KS\).
4.2. Розглянемо систему з шести однакових мас, які вільно ковзають без тертя на кругове кільце радіуса\(R\) і кожна з яких з'єднана з обома своїми найближчими сусідами однаковими пружинами, показаними нижче в рівновазі:
- Проаналізуйте можливі рухи цієї системи в тій області, в якій вона лінійна (зверніть увагу, що це не зовсім невеликі коливання). Для цього потрібно визначити відповідні змінні зміщення (щоб можна було використовувати аргумент симетрії), знайти форму\(K\) матриці і далі слідувати аналізу в (4.37) - (4.55). Якщо ви зробили це правильно, ви повинні виявити, що один з режимів має нульову частоту. Поясніть фізичну значимість цього режиму. Підказка: Не намагайтеся знайти форму\(K\) матриці безпосередньо з пружинних констант пружини та геометрії. Це безлад. Замість цього з'ясуйте, як він повинен виглядати на основі аргументів симетрії. Можливо, ви захочете подивитися на додаток c.
- Якщо при\(t = 0\), маси рівномірно розподіляються по колу, але кожна інша маса рухається зі швидкістю (проти годинникової стрілки),\(v\) тоді як інші маси знаходяться в стані спокою, знайдіть і опишіть словами подальший рух системи.
4.3.
- Доведіть (4.56).
- Доведіть, що якщо\(A\) і\(A^{\prime}\) нормальні режими, відповідні різним кутовим частотам,\(\omega\) і\(\omega^{\prime}\) відповідно, де\(\omega^{2}\)\ neq\ omega^ {\ prime 2}\), то не\(b A+c A^{\prime}\) є нормальним режимом, якщо\(b\) або не\(c\) дорівнює нулю. Підказка: Вам потрібно буде використовувати той факт, що обидва\(A\) і\(A^{\prime}\) є ненульовими векторами.
4.4. Показати, що (4.43) є найбільш загальною симетричною\(6 \times 6\) матрицею, що задовольняє (4.44).