4.1: Симетрія

Повернемося до системи двох однакових маятників, з'єднаних пружиною, розглянутої в главі 3, в (3.78) - (3.93). Ця проста система має більше навчити нас. Вона показана на малюнку\( 4.1\). Як і в (3.78) - (3.93), обидва блоки мають масу\(m\), обидва маятника мають довжину\(\ell\) і постійну пружини є\(\kappa\). Знову позначаємо невеликі зсуви блоків вправо,\(x_{1}\) і\(x_{2}\).

Нормальні режими роботи цієї системи ми знайшли в останньому розділі. Але насправді ми могли б знайти їх ще легше, використовуючи симетрію цієї системи. Якщо відобразити цю систему в площині посередині між двома блоками, ми отримаємо назад абсолютно рівнозначну систему. Ми говоримо, що система «інваріантна» під відображеннями в площині між блоками. Однак, поки фізика незмінна відображенням, впливає наш опис системи. Координати змінюються навколо. Відображена система показана на малюнку\( 4.2\). Порівнюючи дві фігури, можна описати відображення з точки зору його впливу на зсуви,\[x_{1} \rightarrow-x_{2}, \quad x_{2} \rightarrow-x_{1} .\]

Малюнок\( 4.1\): Система з'єднаних маятників. Зсуви вимірюються вправо, як показано на малюнку.

Малюнок\( 4.2\): Система зв'язаних маятників після відображення в площині через між ними.

Зокрема, якщо\ [X (t) =\ left (\ begin {масив} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)
\ end {масив}\ справа)\]

є розв'язком рівнянь руху для системи, потім відбитий вектор,\ [\ tilde {X} (t)\ equiv\ left (\ begin {масив} {l}
-x_ {2} (t)\
-x_ {1} (t)
\ end {масив}\ right),\]

також має бути рішення, тому що відображена система фактично ідентична оригіналу. Хоча це повинно бути так з фізики, корисно зрозуміти, як працює математика. Щоб математично побачити, що (4.3) є рішенням, визначте матрицю симетрії\(S\),\ [S\ equiv\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {array}\ right),\]

так що\(\tilde{X}(t)\) пов'язано\(X(t)\) з множенням матриці:\ [\ тильда {X} (t) =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {масив}\ справа)\ left (\ begin {масив} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)
\ кінець {масив}\ право) =S X (t) .\]

Математичним твердженням симетрії є наступна умова на\(K\) матрицях\(M\) і: ¹\[M S=S M,\]

і\[K S=S K .\]

Ви можете явно перевірити, що (4.6) і (4.7) є істинними. З цих рівнянь випливає, що якщо\(X(t)\) це рішення рівняння руху,\[M \frac{d^{2}}{d t^{2}} X(t)=-K X(t) ,\]

то також\(\tilde{X}(t)\) є. Щоб побачити це явно, помножте обидві сторони (4.8) на,\(S\) щоб отримати\[S M \frac{d^{2}}{d t^{2}} X(t)=-S K X(t) .\]

Потім, використовуючи (4.6) і (4.7) in (4.9), ми отримуємо\[M S \frac{d^{2}}{d t^{2}} X(t)=-K S X(t) .\]

Матриця\(S\) є постійною, незалежною від часу, таким чином, ми можемо переміщати її через похідні часу в (4.10), щоб отримати\[M \frac{d^{2}}{d t^{2}} S X(t)=-K S X(t) .\]

Але тепер, використовуючи (4.5), це рівняння руху для\(\tilde{X}(t)\),\[M \frac{d^{2}}{d t^{2}} \tilde{X}(t)=-K \tilde{X}(t) .\]

Таким чином, як і обіцяли, (4.6) та (4.7) є математичними твердженнями симетрії відображення, оскільки вони означають, як ми зараз явно бачили, що якщо\(X(t)\) це рішення,\(\tilde{X}(t)\) є також.

Зверніть увагу, що з (4.6) ви можете показати, що\[M^{-1} S=S M^{-1}\]

множивши з обох сторін на\(M^{-1}\). Потім (4.13) можна об'єднати з (4.7) дати\[M^{-1} K S=S M^{-1} K .\]

Ми скористаємося цим пізніше.

Тепер припустимо, що система знаходиться в звичайному режимі, наприклад\[X(t)=A^{1} \cos \omega_{1} t .\]

Тоді\(\tilde{X}(t)\) є ще одне рішення. Але він має однакову часову залежність, а значить і ту ж кутову частоту. Отже, він повинен бути пропорційним тому ж вектору нормального режиму, оскільки ми вже знаємо з нашого попереднього аналізу, що дві кутові частоти нормальних режимів системи різні\(\omega_{1} \neq \omega_{2}\). Все, що коливається з кутовою частотою\(\omega_{1}\), має бути пропорційно нормальному режиму,\(A^{1}\):\[\tilde{X}(t) \propto A^{1} \cos \omega_{1} t .\]

Таким чином, симетрія має на увазі\[S A^{1} \propto A^{1} .\]

Тобто ми очікуємо від симетрії, що нормальні режими також є власними векторами\(S\). Це повинно бути вірним, коли кутові частоти відрізняються. Насправді, ми можемо побачити, перевіривши рішення, що це правда. Константа пропорційності становить лише −1,\ [S A^ {1} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {масив}\ праворуч) A^ {1} =-A^ {1},\]

і аналогічно\ [S A^ {2} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {масив}\ праворуч) A^ {2} =A^ {2}.\]

Крім того, ми можемо запустити аргумент назад. Якщо\(A\) є власним вектором матриці симетрії\(S\), і якщо всі власні значення\(S\) різних, то через симетрії, (4.13),\(A\) є нормальним режимом. Щоб переконатися в цьому, розглянемо вектор\(M^{-1}KA\) і впливаємо на нього з матрицею\(S\). Використовуючи (4.14), ми бачимо, що якщо\[S A=\beta A\]

потім\[S M^{-1} K A=M^{-1} K S A=\beta M^{-1} K A .\]

У словах, (4.21) означає, що\(M^{-1}KA\) є власним вектором\(S\) з тим же власним значенням, що і\(A\). Але якщо власні значення всіх\(S\) різні, то\(M^{-1}KA\) повинні бути пропорційні\(A\), а значить,\(A\) це нормальний режим. Математично ми могли б сказати це так. Якщо власні вектори\(A^{n}\) з\(S\) мають власні значення\(\beta_{n}\), то\[S A^{n}=\beta_{n} A^{n}, \text { and } \beta_{n} \neq \beta_{m} \text { for } n \neq m \Rightarrow A^{n} \text { are normal modes. }\]

Виходить, що для симетрій, про які ми дбаємо, власні значення\(S\) завжди у всіх різні. ²

Таким чином, навіть якби ми не знали рішення, ми могли б використовувати (4.20) для визначення нормальних режимів, не турбуючись вирішити проблему власного значення для\(M^{-1}K\) матриці! Замість того, щоб розв'язувати задачу з власним значенням,\[M^{-1} K A^{n}=\omega_{n}^{2} A^{n} ,\]

ми можемо замість цього вирішити проблему з власним значенням\[S A^{n}=\beta_{n} A^{n} .\]

Може здатися, що ми щойно торгували однією проблемою власного значення для іншої. Але насправді, (4.24) легше вирішити, тому що ми можемо використовувати симетрію для визначення власних значень\(\beta_{n}\), ніколи не обчислюючи детермінант. Симетрія відображення має приємну властивість, що якщо ви зробите це двічі, ви повернетеся туди, де ви почали. Це відбивається на властивості матриці\(S\),\[S^{2}=I .\]

Словами, це означає, що застосування матриці\(S\) двічі повертає вам саме той вектор, з якого ви почали. Помноживши обидві сторони рівняння власного значення, (4.24)\(S\), на, отримаємо\ [\ begin {вирівняний} A^ {n} =& I A^ {n} =S^ {2} A^ {n}
=S\ beta_ {n} ^ {n} ^ {2} A^ {n},
\ кінець {вирівняний}\]

що має на увазі\[\beta_{n}^{2}=1 \quad \text { or } \quad \beta_{n}=\pm 1 .\]

Це економить деяку роботу. Після того, як\(S\) відомі власні значення, легше знайти власні вектори\(S\). Але через симетрію ми знаємо, що власні вектори також\(S\) будуть нормальними модами, власними векторами\(M^{-1}K\). І як тільки нормальні режими відомі, просто знайти кутову частоту, впливаючи на нормальний режим власних векторів с\(M^{-1}K\).

Те, що ми бачили тут, у простому прикладі, - це те, як використовувати симетрію коливальної системи для визначення нормальних режимів. У решті цієї глави ми узагальнимо цю техніку до набагато цікавішої ситуації. Ідея завжди одна і та ж.

Ми можемо знайти нормальні режими, вирішивши задачу на власні значення для матриці симетрії\(S\), замість\(M^{-1}K\). І ми можемо використовувати симетрію для визначення власних значень.

Б'є

4-1
Початок хвильових явищ вже можна побачити в цьому простому прикладі. Припустимо, що ми починаємо систему коливатися, зміщуючи блок 1 на величину\(d\) з блоком 2, утримуваним у своєму рівноважному положенні, а потім звільняючи обидва блоки від спокою на час\(t = 0\). Загальне рішення має вигляд\[X(t)=A^{1}\left(b_{1} \cos \omega_{1} t+c_{1} \sin \omega_{1} t\right)+A^{2}\left(b_{2} \cos \omega_{2} t+c_{2} \sin \omega_{2} t\right) .\]

Позиції блоків на\(t = 0\) дає матричне рівняння:\ [X (0) =\ left (\ begin {масив} {l}
d\\
0
\ end {масив}\ право) =A^ {1} b_ {1} +A^ {2} b_ {2},\]

або\ [\ почати {зібраний}
d=b_ {1} +b_ {2}\\
0=-b_ {1} +b_ {2}
\ кінець {зібраний}\ стрілка вправо b_ {1} =b_ {2} =\ frac {d} {2}.\]

Оскільки обидва блоки звільнені від відпочинку, ми це знаємо\(c1 = c2 = 0\). Ми можемо побачити це так само, подивившись на початкові швидкості блоків:\ [\ dot {X} (0) =\ left (\ begin {масив} {l}
0\
0
\ end {array}\ right) =\ omega_ {1} A^ {1} c_ {1} +\ omega_ {2} A^ {2} c_ {2},\]

або\ [\ почати {зібрано}
0=c_ {1} +c_ {2}\\
0=-c_ {1} +c_ {2}
\ кінець {зібраний}\ стрілка вправо c_ {1} =c_ {2} =0.\]

Таким чином\ [\ почати {вирівняний}
&x_ {1} (t) =\ frac {d} {2}\ ліворуч (\ cos\ omega_ {1} t+\ cos\ omega_ {2} t\ праворуч)\\
&x_ {2} (t) =\ frac {d} {2}\ ліво (\ cos\ omega_ {1} t\ cos\ omega_ _ {2} т\ право).
\ end {вирівняний}\]

Примітна річ у цьому рішенні полягає в тому, як енергія повністю передається від блоку 1 до блоку 2 і назад. Щоб побачити це, ми можемо переписати (4.34) як (використовуючи (1.64) та іншу подібну ідентичність)\ [\ begin {вирівняний}
&x_ {1} (t) =d\ cos\ Омега t\ cos\ дельта\ омега т\\
&x_ {2} (t) =d\ sin\ Omega t\ delta\ omega t
\ end {вирівняний}\]

де\[\Omega=\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}, \quad \delta \omega=\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{2} .\]

Кожен з блоків виставляє «удари». Вони коливаються з середньою кутовою частотою\(\Omega\), але амплітуда коливань змінюється з кутовою частотою\(\delta \omega\). Через деякий час\(\frac{\pi}{2 \delta \omega}\) енергія була практично повністю передана з блоку 1 в блок 2. Така поведінка показано в програмі 4-1 на диску програми. Зверніть увагу, як биття виробляються взаємодією між двома нормальними режимами. Коли два режими знаходяться в фазі для одного з блоків так, що блок рухається з максимальною амплітудою, режими\(180^{\circ}\) поза фазою для іншого блоку, тому інший блок майже нерухомий.

Повна передача енергії вперед і назад з блоку 1 в блок 2 є особливістю як нашого особливого початкового стану, з блоком 2 в спокої і в його рівноважному положенні, так і особливої форми нормальних режимів, що випливає з симетрії відображення. Як ми побачимо більш детально далі, це той самий вид передачі енергії, який відбувається в хвильових явищах.

Менш тривіальний приклад

4-2
Візьміть полотно ножівки, закріпіть один кінець і прикріпіть масу до іншого. Це робить хороший генератор з по суті лише одним ступенем свободи (тому що ножовка лезо буде згинатися тільки вперед і назад легко одним способом). Тепер візьміть шість однакових лопатей і закріпіть один кінець кожної в одній точці так, щоб лопаті виходили під\(60^{\circ}\) кутами від центру з їх орієнтацією таким чином, щоб вони могли згинатися вперед-назад в площині, утвореній лопатями. Якщо покласти масу в кінці кожного, в гексагональному малюнку, у вас буде шість незв'язаних осциляторів. Але якщо замість цього ви поставите однакові магніти на кінцях, осцилятори будуть з'єднані між собою якимось складним способом. Подивитися, як виглядають коливання цієї системи, можна в програмі 4-2 на програмі

Малюнок\( 4.3\): Система з шести з'єднаних осциляторів ножівки. Стрілками вказуються напрямки, в яких вимірюються зміщення.

диск. Якщо зсуви з симетричних положень рівноваги невеликі, система приблизно лінійна. Незважаючи на гадану складність цієї системи, ми можемо записати нормальні режими і відповідні кутові частоти практично без роботи! Хитрість полягає в тому, щоб розумно використовувати симетрію цієї системи.

Ця система виглядає точно так само, якщо ми обертаємо її\(60^{\circ}\) приблизно на її центр. Тому ми повинні докласти зусиль, щоб проаналізувати його явно симетрично. Позначимо маси з 1 по 6 починаючи будь-яке місце і йдемо проти годинникової стрілки. \(x_{j}\)Дозволяти проти годинникової стрілки зміщення блоку з положення його рівноваги.\(j\) Як завжди, ми розташуємо ці координати у векторі: ³\ (X=\ left (\ begin {масив} {l}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\\
x_ {4}\\
x_ {5}\\
x_ {6}
\ end {масив}\ праворуч).\]

Операція симетрії обертання реалізується циклічною заміщенням.\[x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{4} \rightarrow x_{5} \rightarrow x_{6} \rightarrow x_{1} .\]

Це може бути представлено в матричному позначенні як\[X \rightarrow S X ,\]

де матриця симетрії\(S\), є\ [S=\ left (\ begin {масив} {lllll}
0 & 1 &
0 & 0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0\ 0 & 0\ 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч).\]

Зверніть увагу, що 1s уздовж діагоналі матриці\(S\), в (4.40) реалізують заміни\[x_{1} \rightarrow x_{2} \rightarrow x_{3} \rightarrow x_{4} \rightarrow x_{5} \rightarrow x_{6} ,\]

в той час як 1 в нижньому лівому куті замикає коло з заміною\[x_{6} \rightarrow x_{1} .\]

Симетрія вимагає, щоб матриця K для цієї системи мала такий вигляд:\ [K=\ left (\ begin {масив} {cccccc}
E & -B & -D &
-B & -D\ -B & -B & -B & -B &
-D & -C\\ -C & -B & -D\
-D & -C & -B & -B & -C\\ -C &
-D & -C & -C & -B & -B\\ -B & -C &
-D & -B & -B & -B & -B & E
\ end {масив}\ праворуч).\]

Зверніть увагу, що всі діагональні елементи однакові\((E)\), як і повинні бути через симетрії. \(j\)Діагональний елемент\(K\) матриці - мінус зусилля на одиницю\(j\) зсуву на масу внаслідок її зміщення. Через симетрії кожна з мас поводиться точно так само, коли вона зміщується з усіма іншими масами, що утримуються нерухомими. При цьому всі діагональні матричні елементи\(K\) матриці\(K_{jj}\), рівні. Так само симетрія гарантує, що ефект зміщення кожного блоку\(j\), на його сусіда,\(j \pm 1\) (\(j+1 \rightarrow 1\)якщо\(j = 6\),\(j - 1 \rightarrow 6\) якщо\(j = 1\) — див. (4.42)), точно такий же. Таким чином, елементи матриці уздовж next-to-diagonal (\(B\)) все однакові, разом з\(B\) s в кутах. І так далі! Потім\(K\) матриця задовольняє (4.7),\[S K=K S\]

який, як ми бачили в (4.13) - (4.12), є математичним твердженням симетрії. Дійсно, ми можемо піти назад і розробити найбільш загальну симетричну матрицю, узгоджену з (4.44), і перевірити, що вона повинна мати форму, (4.43). Ви зробите це в задачі (4.4).

Через симетрію ми знаємо, що якщо вектор\(A\) є нормальним режимом, то вектор також\(SA\) є нормальним режимом з тією ж частотою. Це фізично очевидно. Якщо система певним чином коливається з усіма її частинами в кроці, вона також може коливатися з частинами, що обертаються\(60^{\circ}\), але в іншому випадку рухаються таким же чином, і частота буде однаковою. Це говорить про те, що ми шукаємо нормальні режими, які поводяться просто під трансформацією симетрії\(S\). Зокрема, якщо ми знайдемо власні вектори\(S\) і виявимо, що власні значення всіх\(S\) різні, то ми знаємо, що всі власні вектори є нормальними режимами, з (4.22). У попередньому прикладі ми знайшли режими, які пішли в себе помножені на\(\pm 1\) під симетрію. Однак загалом ми не повинні очікувати, що власні значення будуть реальними, оскільки режими можуть включати складні експоненціальні. У цьому випадку ми повинні шукати режими, які відповідають комплексним власним значенням of\(S\), ⁴\[S A=\beta A .\]

Як і вище в (4.25) - (4.27), ми можемо знайти можливі власні значення за допомогою симетрії. Зверніть увагу, що оскільки шість\(60^{\circ}\) обертань повертають нас до початкової точки\(S\), матриця задовольняє\[S^{6}=I .\]

Через (4.46) випливає, що\(\beta^{6} = 1\). Таким\(\beta\) чином, шостий корінь одного,\[\beta=\beta_{k}=e^{2 i k \pi / 6} \text { for } k=0 \text { to } 5 \text { . }\]

Тоді для кожного\(k\) є свій нормальний режим\[S A^{k}=\beta_{k} A^{k} .\]

Явно,\ [S A^ {k} =\ лівий (\ почати {масив} {c}
A_ {2} ^ {k}\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\ A_ {5} ^ {k}\
A_ {6} ^ {k}\
A_ {1} ^ {k}} ^ {k}\

\ кінець {масив}\ праворуч) =\ beta_ {k}\ cdot\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
A_ {1} ^ {k}\\
A_ {2} ^ {k}\\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\
A_ {5} ^ {k}\\
A_ {6} ^ {k}
\ end {масив}\ праворуч).\]

Якщо ми\(A_{1}^{k}=1\) візьмемо, ми можемо вирішити для всіх інших компонентів,\[A_{j}^{k}=\left(\beta_{k}\right)^{j-1} .\]

Таким чином\ [\ лівий (\ почати {масив} {c}
A_ {1} ^ {k}\
A_ {2} ^ {k}\
A_ {3} ^ {k}\
A_ {4} ^ {k}\
A_ {5} ^ {k}\
A_ {6} ^ {k}} ^ {k}
\ кінець {масив}\ праворуч) =\ left (\\\ почати масив} {c}
1\
e^ {2 і к\ пі/6}\\
e^ {4 i k\ pi/6}\\
e^ {6 i k\ pi/6}\\
e^ {8 i k\ pi/6}\\
e^ {10 i k\ pi/6}
\ end {масив}\ праворуч).\]

Тепер для визначення кутових частот, відповідних нормальним режимам, ми повинні оцінити\[M^{-1} K A^{k}=\omega_{k}^{2} A^{k} .\]

Оскільки ми вже знаємо форму звичайних режимів, це просто. Наприклад, ми можемо порівняти перші складові цих двох векторів:\ [\ begin {зібрано}
\ omega_ {k} ^ {2} =\ лівий (Е-Б е^ {2 i k\ pi/6} -C e^ {4 i k\ pi/6} -D e^ {6 i k\ pi/6} -C e^ {8 i k\ pi/6} -B e^ {6 i k\ pi/6} i k\ pi/6}\ право)/м\\
=\ гідророзриву {E} {m} -2\ frac {B} {m}\ cos\ frac {k\ pi} {3} -2\ frac { C} {m}\ cos\ frac {2 k\ pi} {3} - (-1) ^ {k}\ frac {D} {m}.
\ end {зібраний}\]

Зверніть увагу, що\(\omega_{1}^{2}=\omega_{5}^{2}\) і\(\omega_{2}^{2}=\omega_{4}^{2}\). Це повинно було бути так, оскільки відповідні нормальні режими є складними сполученими парами,\[A^{5}=A^{1^{*}}, \quad A^{4}=A^{2^{*}} .\]

Будь-який складний нормальний режим повинен бути частиною пари зі своїм складним сполученим нормальним режимом на тій же частоті, щоб ми могли зробити з них справжні нормальні режими. Це повинно бути так, оскільки нормальні режими описують реальну фізичну систему, переміщення якої є реальними. Реальні режими - це лінійні комбінації (див. (1.19)) складних режимів,\[A^{k}+A^{k^{*}} \text { and }\left(A^{k}-A^{k^{*}}\right) / i \text { for } k=1 \text { or } 2 \text { . }\]

Ці режими можна побачити в програмі 4-2 на диску програми. Докладніші відомості див. у додатку А та інструкції з експлуатації програми.

Зверніть увагу, що реальні розв'язки (4.55) не є власними векторами матриці симетрії,\(S\). Це можливо тому, що кутові частоти не всі різні. Однак власні значення всіх\(S\) різні, від (4.47). Таким чином, хоча ми можемо побудувати нормальні режими, які не є власними векторами\(S\), все одно вірно, що всі власні вектори\(S\) є нормальними режимами. Це те, що ми використовуємо в (4.48) - (4.50) для визначення\(A^{n}\).

Зауважимо, що (4.55) є ще одним прикладом дуже важливого принципу (3.117), який ми будемо використовувати багато разів у наступному:

Якщо\(A\) і\(A^{\prime}\) є нормальними режимами системи з однаковою кутовою частотою\(\omega\), то будь-яка лінійна комбінація\(b A+c A^{\prime}\), є (4.56) теж нормальним режимом з тією ж кутовою частотою.

Нормальні режими з однаковою частотою можуть лінійно поєднуватися для отримання нових нормальних режимів (див. Проблема 4.3). З іншого боку, лінійна комбінація двох нормальних режимів з різними частотами не дає нічого дуже простого.

Методи, використовувані тут, могли бути використані для будь-якої кількості мас в подібному симетричному розташуванні. При\(N\) масах і симетрії при обертанні\(2 \pi / N\) радіанів, коріння 1 замінили б 6-е коріння одного в нашому прикладі.\(N\) Аргументи симетрії також можуть бути використані для визначення нормальних режимів у більш цікавих ситуаціях, наприклад, коли маси знаходяться по кутах куба. Але цей випадок складніший, ніж той, який ми проаналізували, тому що порядок трансформацій симетрії має значення - перетворення не змінюються один з одним. Можливо, ви захочете подивитися на це ще раз після того, як ви вивчили деяку теорію груп.

_____________________
¹ Дві матриці,\(A\) і\(B\), які\(AB = BA\) задовольняють, кажуть, «коммутіруют».
² Дивіться обговорення на сторінці 103.
³ Звідси ми будемо вважати, що читач досить звик до комплексних чисел, що не потрібно розрізняти дійсну координату і складну координату.
⁴ Навіть це не найзагальніша можливість. Загалом, нам, можливо, доведеться розглянути набори режимів, які переходять один в одного під множення матриці. Це не обов'язково тут, тому що трансформації симетрії всі коммутують один з одним.