4.1: Симетрія
Повернемося до системи двох однакових маятників, з'єднаних пружиною, розглянутої в главі 3, в (3.78) - (3.93). Ця проста система має більше навчити нас. Вона показана на малюнку4.1. Як і в (3.78) - (3.93), обидва блоки мають масуm, обидва маятника мають довжинуℓ і постійну пружини єκ. Знову позначаємо невеликі зсуви блоків вправо,x1 іx2.
Нормальні режими роботи цієї системи ми знайшли в останньому розділі. Але насправді ми могли б знайти їх ще легше, використовуючи симетрію цієї системи. Якщо відобразити цю систему в площині посередині між двома блоками, ми отримаємо назад абсолютно рівнозначну систему. Ми говоримо, що система «інваріантна» під відображеннями в площині між блоками. Однак, поки фізика незмінна відображенням, впливає наш опис системи. Координати змінюються навколо. Відображена система показана на малюнку4.2. Порівнюючи дві фігури, можна описати відображення з точки зору його впливу на зсуви,x1→−x2,x2→−x1.
Малюнок4.1: Система з'єднаних маятників. Зсуви вимірюються вправо, як показано на малюнку.
Малюнок4.2: Система зв'язаних маятників після відображення в площині через між ними.
Зокрема, якщо\ [X (t) =\ left (\ begin {масив} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)
\ end {масив}\ справа)\]
є розв'язком рівнянь руху для системи, потім відбитий вектор,\ [\ tilde {X} (t)\ equiv\ left (\ begin {масив} {l}
-x_ {2} (t)\
-x_ {1} (t)
\ end {масив}\ right),\]
також має бути рішення, тому що відображена система фактично ідентична оригіналу. Хоча це повинно бути так з фізики, корисно зрозуміти, як працює математика. Щоб математично побачити, що (4.3) є рішенням, визначте матрицю симетріїS,\ [S\ equiv\ left (\ begin {array} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {array}\ right),\]
так що˜X(t) пов'язаноX(t) з множенням матриці:\ [\ тильда {X} (t) =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {масив}\ справа)\ left (\ begin {масив} {l}
x_ {1} (t)\\
x_ {2} (t)
\ кінець {масив}\ право) =S X (t) .\]
Математичним твердженням симетрії є наступна умова наK матрицяхM і: 1MS=SM,
іKS=SK.
Ви можете явно перевірити, що (4.6) і (4.7) є істинними. З цих рівнянь випливає, що якщоX(t) це рішення рівняння руху,Md2dt2X(t)=−KX(t),
то також˜X(t) є. Щоб побачити це явно, помножте обидві сторони (4.8) на,S щоб отриматиSMd2dt2X(t)=−SKX(t).
Потім, використовуючи (4.6) і (4.7) in (4.9), ми отримуємоMSd2dt2X(t)=−KSX(t).
МатрицяS є постійною, незалежною від часу, таким чином, ми можемо переміщати її через похідні часу в (4.10), щоб отриматиMd2dt2SX(t)=−KSX(t).
Але тепер, використовуючи (4.5), це рівняння руху для˜X(t),Md2dt2˜X(t)=−K˜X(t).
Таким чином, як і обіцяли, (4.6) та (4.7) є математичними твердженнями симетрії відображення, оскільки вони означають, як ми зараз явно бачили, що якщоX(t) це рішення,˜X(t) є також.
Зверніть увагу, що з (4.6) ви можете показати, щоM−1S=SM−1
множивши з обох сторін наM−1. Потім (4.13) можна об'єднати з (4.7) датиM−1KS=SM−1K.
Ми скористаємося цим пізніше.
Тепер припустимо, що система знаходиться в звичайному режимі, наприкладX(t)=A1cosω1t.
Тоді˜X(t) є ще одне рішення. Але він має однакову часову залежність, а значить і ту ж кутову частоту. Отже, він повинен бути пропорційним тому ж вектору нормального режиму, оскільки ми вже знаємо з нашого попереднього аналізу, що дві кутові частоти нормальних режимів системи різніω1≠ω2. Все, що коливається з кутовою частотоюω1, має бути пропорційно нормальному режиму,A1:˜X(t)∝A1cosω1t.
Таким чином, симетрія має на увазіSA1∝A1.
Тобто ми очікуємо від симетрії, що нормальні режими також є власними векторамиS. Це повинно бути вірним, коли кутові частоти відрізняються. Насправді, ми можемо побачити, перевіривши рішення, що це правда. Константа пропорційності становить лише −1,\ [S A^ {1} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {масив}\ праворуч) A^ {1} =-A^ {1},\]
і аналогічно\ [S A^ {2} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
-1 & 0
\ end {масив}\ праворуч) A^ {2} =A^ {2}.\]
Крім того, ми можемо запустити аргумент назад. ЯкщоA є власним вектором матриці симетріїS, і якщо всі власні значенняS різних, то через симетрії, (4.13),A є нормальним режимом. Щоб переконатися в цьому, розглянемо векторM−1KA і впливаємо на нього з матрицеюS. Використовуючи (4.14), ми бачимо, що якщоSA=βA
потімSM−1KA=M−1KSA=βM−1KA.
У словах, (4.21) означає, щоM−1KA є власним векторомS з тим же власним значенням, що іA. Але якщо власні значення всіхS різні, тоM−1KA повинні бути пропорційніA, а значить,A це нормальний режим. Математично ми могли б сказати це так. Якщо власні векториAn зS мають власні значенняβn, тоSAn=βnAn, and βn≠βm for n≠m⇒An are normal modes.
Виходить, що для симетрій, про які ми дбаємо, власні значенняS завжди у всіх різні. 2
Таким чином, навіть якби ми не знали рішення, ми могли б використовувати (4.20) для визначення нормальних режимів, не турбуючись вирішити проблему власного значення дляM−1K матриці! Замість того, щоб розв'язувати задачу з власним значенням,M−1KAn=ω2nAn,
ми можемо замість цього вирішити проблему з власним значеннямSAn=βnAn.
Може здатися, що ми щойно торгували однією проблемою власного значення для іншої. Але насправді, (4.24) легше вирішити, тому що ми можемо використовувати симетрію для визначення власних значеньβn, ніколи не обчислюючи детермінант. Симетрія відображення має приємну властивість, що якщо ви зробите це двічі, ви повернетеся туди, де ви почали. Це відбивається на властивості матриціS,S2=I.
Словами, це означає, що застосування матриціS двічі повертає вам саме той вектор, з якого ви почали. Помноживши обидві сторони рівняння власного значення, (4.24)S, на, отримаємо\ [\ begin {вирівняний} A^ {n} =& I A^ {n} =S^ {2} A^ {n}
=S\ beta_ {n} ^ {n} ^ {2} A^ {n},
\ кінець {вирівняний}\]
що має на увазіβ2n=1 or βn=±1.
Це економить деяку роботу. Після того, якS відомі власні значення, легше знайти власні векториS. Але через симетрію ми знаємо, що власні вектори такожS будуть нормальними модами, власними векторамиM−1K. І як тільки нормальні режими відомі, просто знайти кутову частоту, впливаючи на нормальний режим власних векторів сM−1K.
Те, що ми бачили тут, у простому прикладі, - це те, як використовувати симетрію коливальної системи для визначення нормальних режимів. У решті цієї глави ми узагальнимо цю техніку до набагато цікавішої ситуації. Ідея завжди одна і та ж.
Ми можемо знайти нормальні режими, вирішивши задачу на власні значення для матриці симетріїS, замістьM−1K. І ми можемо використовувати симетрію для визначення власних значень.
Б'є
4-1
Початок хвильових явищ вже можна побачити в цьому простому прикладі. Припустимо, що ми починаємо систему коливатися, зміщуючи блок 1 на величинуd з блоком 2, утримуваним у своєму рівноважному положенні, а потім звільняючи обидва блоки від спокою на часt=0. Загальне рішення має виглядX(t)=A1(b1cosω1t+c1sinω1t)+A2(b2cosω2t+c2sinω2t).
Позиції блоків наt=0 дає матричне рівняння:\ [X (0) =\ left (\ begin {масив} {l}
d\\
0
\ end {масив}\ право) =A^ {1} b_ {1} +A^ {2} b_ {2},\]
або\ [\ почати {зібраний}
d=b_ {1} +b_ {2}\\
0=-b_ {1} +b_ {2}
\ кінець {зібраний}\ стрілка вправо b_ {1} =b_ {2} =\ frac {d} {2}.\]
Оскільки обидва блоки звільнені від відпочинку, ми це знаємоc1=c2=0. Ми можемо побачити це так само, подивившись на початкові швидкості блоків:\ [\ dot {X} (0) =\ left (\ begin {масив} {l}
0\
0
\ end {array}\ right) =\ omega_ {1} A^ {1} c_ {1} +\ omega_ {2} A^ {2} c_ {2},\]
або\ [\ почати {зібрано}
0=c_ {1} +c_ {2}\\
0=-c_ {1} +c_ {2}
\ кінець {зібраний}\ стрілка вправо c_ {1} =c_ {2} =0.\]
Таким чином\ [\ почати {вирівняний}
&x_ {1} (t) =\ frac {d} {2}\ ліворуч (\ cos\ omega_ {1} t+\ cos\ omega_ {2} t\ праворуч)\\
&x_ {2} (t) =\ frac {d} {2}\ ліво (\ cos\ omega_ {1} t\ cos\ omega_ _ {2} т\ право).
\ end {вирівняний}\]
Примітна річ у цьому рішенні полягає в тому, як енергія повністю передається від блоку 1 до блоку 2 і назад. Щоб побачити це, ми можемо переписати (4.34) як (використовуючи (1.64) та іншу подібну ідентичність)\ [\ begin {вирівняний}
&x_ {1} (t) =d\ cos\ Омега t\ cos\ дельта\ омега т\\
&x_ {2} (t) =d\ sin\ Omega t\ delta\ omega t
\ end {вирівняний}\]
деΩ=ω1+ω22,δω=ω2−ω12.
Кожен з блоків виставляє «удари». Вони коливаються з середньою кутовою частотоюΩ, але амплітуда коливань змінюється з кутовою частотоюδω. Через деякий часπ2δω енергія була практично повністю передана з блоку 1 в блок 2. Така поведінка показано в програмі 4-1 на диску програми. Зверніть увагу, як биття виробляються взаємодією між двома нормальними режимами. Коли два режими знаходяться в фазі для одного з блоків так, що блок рухається з максимальною амплітудою, режими180∘ поза фазою для іншого блоку, тому інший блок майже нерухомий.
Повна передача енергії вперед і назад з блоку 1 в блок 2 є особливістю як нашого особливого початкового стану, з блоком 2 в спокої і в його рівноважному положенні, так і особливої форми нормальних режимів, що випливає з симетрії відображення. Як ми побачимо більш детально далі, це той самий вид передачі енергії, який відбувається в хвильових явищах.
Менш тривіальний приклад
4-2
Візьміть полотно ножівки, закріпіть один кінець і прикріпіть масу до іншого. Це робить хороший генератор з по суті лише одним ступенем свободи (тому що ножовка лезо буде згинатися тільки вперед і назад легко одним способом). Тепер візьміть шість однакових лопатей і закріпіть один кінець кожної в одній точці так, щоб лопаті виходили під60∘ кутами від центру з їх орієнтацією таким чином, щоб вони могли згинатися вперед-назад в площині, утвореній лопатями. Якщо покласти масу в кінці кожного, в гексагональному малюнку, у вас буде шість незв'язаних осциляторів. Але якщо замість цього ви поставите однакові магніти на кінцях, осцилятори будуть з'єднані між собою якимось складним способом. Подивитися, як виглядають коливання цієї системи, можна в програмі 4-2 на програмі
Малюнок4.3: Система з шести з'єднаних осциляторів ножівки. Стрілками вказуються напрямки, в яких вимірюються зміщення.
диск. Якщо зсуви з симетричних положень рівноваги невеликі, система приблизно лінійна. Незважаючи на гадану складність цієї системи, ми можемо записати нормальні режими і відповідні кутові частоти практично без роботи! Хитрість полягає в тому, щоб розумно використовувати симетрію цієї системи.
Ця система виглядає точно так само, якщо ми обертаємо її60∘ приблизно на її центр. Тому ми повинні докласти зусиль, щоб проаналізувати його явно симетрично. Позначимо маси з 1 по 6 починаючи будь-яке місце і йдемо проти годинникової стрілки. xjДозволяти проти годинникової стрілки зміщення блоку з положення його рівноваги.j Як завжди, ми розташуємо ці координати у векторі: 3\ (X=\ left (\ begin {масив} {l}
x_ {1}\\
x_ {2}\\
x_ {3}\\
x_ {4}\\
x_ {5}\\
x_ {6}
\ end {масив}\ праворуч).\]
Операція симетрії обертання реалізується циклічною заміщенням.x1→x2→x3→x4→x5→x6→x1.
Це може бути представлено в матричному позначенні якX→SX,
де матриця симетріїS, є\ [S=\ left (\ begin {масив} {lllll}
0 & 1 &
0 & 0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0\ 0 & 0\ 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч).\]
Зверніть увагу, що 1s уздовж діагоналі матриціS, в (4.40) реалізують заміниx1→x2→x3→x4→x5→x6,
в той час як 1 в нижньому лівому куті замикає коло з заміноюx6→x1.
Симетрія вимагає, щоб матриця K для цієї системи мала такий вигляд:\ [K=\ left (\ begin {масив} {cccccc}
E & -B & -D &
-B & -D\ -B & -B & -B & -B &
-D & -C\\ -C & -B & -D\
-D & -C & -B & -B & -C\\ -C &
-D & -C & -C & -B & -B\\ -B & -C &
-D & -B & -B & -B & -B & E
\ end {масив}\ праворуч).\]
Зверніть увагу, що всі діагональні елементи однакові(E), як і повинні бути через симетрії. jДіагональний елементK матриці - мінус зусилля на одиницюj зсуву на масу внаслідок її зміщення. Через симетрії кожна з мас поводиться точно так само, коли вона зміщується з усіма іншими масами, що утримуються нерухомими. При цьому всі діагональні матричні елементиK матриціKjj, рівні. Так само симетрія гарантує, що ефект зміщення кожного блокуj, на його сусіда,j±1 (j+1→1якщоj=6,j−1→6 якщоj=1 — див. (4.42)), точно такий же. Таким чином, елементи матриці уздовж next-to-diagonal (B) все однакові, разом зB s в кутах. І так далі! ПотімK матриця задовольняє (4.7),SK=KS
який, як ми бачили в (4.13) - (4.12), є математичним твердженням симетрії. Дійсно, ми можемо піти назад і розробити найбільш загальну симетричну матрицю, узгоджену з (4.44), і перевірити, що вона повинна мати форму, (4.43). Ви зробите це в задачі (4.4).
Через симетрію ми знаємо, що якщо векторA є нормальним режимом, то вектор такожSA є нормальним режимом з тією ж частотою. Це фізично очевидно. Якщо система певним чином коливається з усіма її частинами в кроці, вона також може коливатися з частинами, що обертаються60∘, але в іншому випадку рухаються таким же чином, і частота буде однаковою. Це говорить про те, що ми шукаємо нормальні режими, які поводяться просто під трансформацією симетріїS. Зокрема, якщо ми знайдемо власні векториS і виявимо, що власні значення всіхS різні, то ми знаємо, що всі власні вектори є нормальними режимами, з (4.22). У попередньому прикладі ми знайшли режими, які пішли в себе помножені на±1 під симетрію. Однак загалом ми не повинні очікувати, що власні значення будуть реальними, оскільки режими можуть включати складні експоненціальні. У цьому випадку ми повинні шукати режими, які відповідають комплексним власним значенням ofS, 4SA=βA.
Як і вище в (4.25) - (4.27), ми можемо знайти можливі власні значення за допомогою симетрії. Зверніть увагу, що оскільки шість60∘ обертань повертають нас до початкової точкиS, матриця задовольняєS6=I.
Через (4.46) випливає, щоβ6=1. Такимβ чином, шостий корінь одного,β=βk=e2ikπ/6 for k=0 to 5 .
Тоді для кожногоk є свій нормальний режимSAk=βkAk.
Явно,\ [S A^ {k} =\ лівий (\ почати {масив} {c}
A_ {2} ^ {k}\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\ A_ {5} ^ {k}\
A_ {6} ^ {k}\
A_ {1} ^ {k}} ^ {k}\
\ кінець {масив}\ праворуч) =\ beta_ {k}\ cdot\ ліворуч (\ begin {масив} {c}
A_ {1} ^ {k}\\
A_ {2} ^ {k}\\
A_ {3} ^ {k}\\
A_ {4} ^ {k}\
A_ {5} ^ {k}\\
A_ {6} ^ {k}
\ end {масив}\ праворуч).\]
Якщо миAk1=1 візьмемо, ми можемо вирішити для всіх інших компонентів,Akj=(βk)j−1.
Таким чином\ [\ лівий (\ почати {масив} {c}
A_ {1} ^ {k}\
A_ {2} ^ {k}\
A_ {3} ^ {k}\
A_ {4} ^ {k}\
A_ {5} ^ {k}\
A_ {6} ^ {k}} ^ {k}
\ кінець {масив}\ праворуч) =\ left (\\\ почати масив} {c}
1\
e^ {2 і к\ пі/6}\\
e^ {4 i k\ pi/6}\\
e^ {6 i k\ pi/6}\\
e^ {8 i k\ pi/6}\\
e^ {10 i k\ pi/6}
\ end {масив}\ праворуч).\]
Тепер для визначення кутових частот, відповідних нормальним режимам, ми повинні оцінитиM−1KAk=ω2kAk.
Оскільки ми вже знаємо форму звичайних режимів, це просто. Наприклад, ми можемо порівняти перші складові цих двох векторів:\ [\ begin {зібрано}
\ omega_ {k} ^ {2} =\ лівий (Е-Б е^ {2 i k\ pi/6} -C e^ {4 i k\ pi/6} -D e^ {6 i k\ pi/6} -C e^ {8 i k\ pi/6} -B e^ {6 i k\ pi/6} i k\ pi/6}\ право)/м\\
=\ гідророзриву {E} {m} -2\ frac {B} {m}\ cos\ frac {k\ pi} {3} -2\ frac { C} {m}\ cos\ frac {2 k\ pi} {3} - (-1) ^ {k}\ frac {D} {m}.
\ end {зібраний}\]
Зверніть увагу, щоω21=ω25 іω22=ω24. Це повинно було бути так, оскільки відповідні нормальні режими є складними сполученими парами,A5=A1∗,A4=A2∗.
Будь-який складний нормальний режим повинен бути частиною пари зі своїм складним сполученим нормальним режимом на тій же частоті, щоб ми могли зробити з них справжні нормальні режими. Це повинно бути так, оскільки нормальні режими описують реальну фізичну систему, переміщення якої є реальними. Реальні режими - це лінійні комбінації (див. (1.19)) складних режимів,Ak+Ak∗ and (Ak−Ak∗)/i for k=1 or 2 .
Ці режими можна побачити в програмі 4-2 на диску програми. Докладніші відомості див. у додатку А та інструкції з експлуатації програми.
Зверніть увагу, що реальні розв'язки (4.55) не є власними векторами матриці симетрії,S. Це можливо тому, що кутові частоти не всі різні. Однак власні значення всіхS різні, від (4.47). Таким чином, хоча ми можемо побудувати нормальні режими, які не є власними векторамиS, все одно вірно, що всі власні векториS є нормальними режимами. Це те, що ми використовуємо в (4.48) - (4.50) для визначенняAn.
Зауважимо, що (4.55) є ще одним прикладом дуже важливого принципу (3.117), який ми будемо використовувати багато разів у наступному:
ЯкщоA іA′ є нормальними режимами системи з однаковою кутовою частотоюω, то будь-яка лінійна комбінаціяbA+cA′, є (4.56) теж нормальним режимом з тією ж кутовою частотою.
Нормальні режими з однаковою частотою можуть лінійно поєднуватися для отримання нових нормальних режимів (див. Проблема 4.3). З іншого боку, лінійна комбінація двох нормальних режимів з різними частотами не дає нічого дуже простого.
Методи, використовувані тут, могли бути використані для будь-якої кількості мас в подібному симетричному розташуванні. ПриN масах і симетрії при обертанні2π/N радіанів, коріння 1 замінили б 6-е коріння одного в нашому прикладі.N Аргументи симетрії також можуть бути використані для визначення нормальних режимів у більш цікавих ситуаціях, наприклад, коли маси знаходяться по кутах куба. Але цей випадок складніший, ніж той, який ми проаналізували, тому що порядок трансформацій симетрії має значення - перетворення не змінюються один з одним. Можливо, ви захочете подивитися на це ще раз після того, як ви вивчили деяку теорію груп.
_____________________
1 Дві матриці,A іB, якіAB=BA задовольняють, кажуть, «коммутіруют».
2 Дивіться обговорення на сторінці 103.
3 Звідси ми будемо вважати, що читач досить звик до комплексних чисел, що не потрібно розрізняти дійсну координату і складну координату.
4 Навіть це не найзагальніша можливість. Загалом, нам, можливо, доведеться розглянути набори режимів, які переходять один в одного під множення матриці. Це не обов'язково тут, тому що трансформації симетрії всі коммутують один з одним.