Search

1.4: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%86%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%8E%D0%B3%D1%96%D0%B2_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D1%83%3A_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D1%96%D0%B4%D1%85%D1%96%D0%B4_(Fiore)/01%3A_%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8/1.4%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Наприклад, $12\angle 30^{\circ}$ $24\angle 75^{\circ}$ час $2\angle 45^{\circ}$ ділиться на них врожайність $6\angle −15^{\circ}$ . $1 k − j2 k$ Перетворити $15 + j20$ і в полярну форму,\(10\angl...Наприклад, $12\angle 30^{\circ}$ $24\angle 75^{\circ}$ час $2\angle 45^{\circ}$ ділиться на них врожайність $6\angle −15^{\circ}$ . $1 k − j2 k$ Перетворити $15 + j20$ і в полярну форму, $10\angle 45^{\circ}$ і $0.2\angle −30^{\circ}$ в прямокутну форму. а) Додати $7 + j8 to + j6$ , б) Відняти $5\angle 53.1^{\circ}$ від $10\angle −45^{\circ}$ , в) Розділити $20\angle 90^{\circ}$ на $4\angle −50^{\circ}$ , г) $90 + j75$ Помножити на $6 + j10$ .
2: Вступ до комплексних чисел
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_(Schilling%2C_Nachtergaele_%D1%82%D0%B0_Lankham)/02%3A_%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB
Давайте $\mathbb{R}$ позначимо сукупність $\textbf{real numbers}$ , яка повинна бути знайомою сукупністю чисел кожному, хто вивчав Обчислення. У цьому розділі ми використовуємо $\mathbb{R}$ для побу...Давайте $\mathbb{R}$ позначимо сукупність $\textbf{real numbers}$ , яка повинна бути знайомою сукупністю чисел кожному, хто вивчав Обчислення. У цьому розділі ми використовуємо $\mathbb{R}$ для побудови однаково важливого набору так званих комплексних чисел. Template:Shilling
32.1: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%A5%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D1%96%D0%BC%D1%96%D1%8F_(LibreTexts)/32%3A_%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D0%B8/32.01%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
\[ \begin{align} e^{i \theta} &= 1 + i\theta + \dfrac{(i\theta)^2}{2!} + \dfrac{(i\theta)^3}{3!} + \dfrac{(i\theta)^4}{4!} + \dfrac{(i\theta)^5}{5!} ... \label{A.19a} \\[4pt] &= 1 + i\theta - \dfrac{\...\[ \begin{align} e^{i \theta} &= 1 + i\theta + \dfrac{(i\theta)^2}{2!} + \dfrac{(i\theta)^3}{3!} + \dfrac{(i\theta)^4}{4!} + \dfrac{(i\theta)^5}{5!} ... \label{A.19a} \\[4pt] &= 1 + i\theta - \dfrac{\theta^2}{2!} - \dfrac{i\theta^3}{3!} +\dfrac{\theta^4}{4!} +\dfrac{i\theta^5}{5!} ... \label{A.19b} \\[4pt] &= \left( 1 - \dfrac{\theta^2}{2!} + \dfrac{\theta^4}{4!} \right) + i \left(\theta - \dfrac{i\theta^3}{3!}+\dfrac{i\theta^5}{5!} \right) \label{A.19c} \\[4pt] &= \cos \theta + i\sin \theta \l…
14.2: Комплексні числа та синусоїдальне подання
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%96_%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BC/%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D1%96%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Staelin)/14%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8/14.02%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BE%D1%97%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F
\[\operatorname{Acos}(\omega \mathrm{t}+\phi)=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j}(\omega \mathrm{t}+\phi)}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm... $\operatorname{Acos}(\omega \mathrm{t}+\phi)=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j}(\omega \mathrm{t}+\phi)}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{A}_{\mathrm{r}} \cos \omega \mathrm{t}-\mathrm{A}_{\mathrm{i}} \sin \omega \mathrm{t} \label{B.6} \tag{B.6}$
1.1: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF_%D1%96_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_(Lyons)/01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%96/1.01%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Комплексні числа спочатку були винайдені для вирішення задач в алгебрі. Пізніше було визнано, що алгебра складних чисел забезпечує елегантний набір інструментів для геометрії в площині. У цьому розділ...Комплексні числа спочатку були винайдені для вирішення задач в алгебрі. Пізніше було визнано, що алгебра складних чисел забезпечує елегантний набір інструментів для геометрії в площині. У цьому розділі представлені основи алгебри та геометрії комплексних чисел.
1.3: Термінологія та основна арифметика
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/01%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0/1.03%3A_%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0
Якщо $z = x + iy$ тоді його сполучений є, $\bar{z} = x - iy$ і ми читаємо це як «z-бар = $x - iy$ ». Нижче наведено дуже корисну властивість відмінювання: Якщо $z = x + iy$ тоді \(z\bar{z} = (x + i...Якщо $z = x + iy$ тоді його сполучений є, $\bar{z} = x - iy$ і ми читаємо це як «z-бар = $x - iy$ ». Нижче наведено дуже корисну властивість відмінювання: Якщо $z = x + iy$ тоді $z\bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$ Пишіть $\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i}$ в стандартній формі $x + iy$ . $\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i} = \dfrac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} = \dfrac{11 - 2i}{5} = \dfrac{11}{5} - \dfrac{2}{5} i$ . Величина комплексного числа $x + iy$ визначається як
19.5: Змінні струми
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%A3%D0%BD%D1%96%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(Boundless)/19%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC_%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D1%96%D1%80/19.5%3A_%D0%97%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B8
Фазори використовуються для аналізу електричних систем в синусоїдальному сталому стані і з рівномірною кутовою частотою.
2.1: Поля
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D1%8F_%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%BE%D0%BC_(Janssen_%D1%96_Lindsey)/02%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BA%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D1%8F/2.01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F
Тепер починаємо процес абстракції. Ми будемо робити це поетапно, починаючи з поняття поля. По-перше, нам потрібно формально визначити деякі знайомі набори чисел.
5.7: Комплексні числа та їх операції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/05%3A_%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F/5.07%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%97%D1%85_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97
Немає дійсного числа, яке при квадраті призводить до негативного числа. Ми починаємо вирішувати це питання з визначення уявної одиниці, i, як квадратного кореня −1. Таким чином будь-який квадратний ко...Немає дійсного числа, яке при квадраті призводить до негативного числа. Ми починаємо вирішувати це питання з визначення уявної одиниці, i, як квадратного кореня −1. Таким чином будь-який квадратний корінь від'ємного дійсного числа може бути записаний через уявну одиницю. Таке число часто називають уявним числом.
1.4: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D0%A5%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%B0%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%A4%D1%96%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%85%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C_(Georgi)/01%3A_%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/1.04%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Зверніть увагу, що $Re (z) = (z + z^*)/2$ і $Im (z) = (z − z^*)/2i.$ Розділити комплексне число $z$ на $r$ дійсне число легко, просто розділіть як дійсну, так і уявну частини на, $r$ щоб отримати...Зверніть увагу, що $Re (z) = (z + z^*)/2$ і $Im (z) = (z − z^*)/2i.$ Розділити комплексне число $z$ на $r$ дійсне число легко, просто розділіть як дійсну, так і уявну частини на, $r$ щоб отримати $z/r = a/r + ib/r.$ Щоб розділити на комплексне число $z'$ , ми можемо використовувати той факт, що $z'^* z' = |z'|^2$ є реальним. $\frac{∂}{∂θ} (cos θ + isin θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + isin θ)$ $= (cos θ cos θ' − sin θ sin θ' ) + i(sin θ cos θ' + cos θ sin θ' )$
6.3: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/06%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8/6.03%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Немає реального числа $x$ такого, що $x^ 2 = −1$ . Однак виявляється корисним придумати таке число, яке називається уявною одиницею і позначається буквою i.