9.4: Хвильова суперпозиція

Хвильове рівняння 9.2.6 є лінійним у функції, яка нас цікавить, зміщення$u(x,t)$. Це просте математичне твердження має важливі наслідки, тому що це означає, що якщо ми знаємо будь-який набір рішень, ми можемо створити більше рішень, роблячи лінійні комбінації з них - так якщо$u_1 (x,t)$ і$u_2 (x,t)$ є рішеннями, то так і$au_1(x,t)+bu_2(x,t)$ для будь-якого вибору$a$ і$b$. У фізиці це корисна властивість лінійних диференціальних рівнянь відоме як принцип суперпозиції. Завдяки цьому принципу ми можемо вивчити, як різні хвилі взаємодіють один з одним без необхідності робити (багато) додаткової математики.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Два взаємодіючих хвильових пакета. Послідовність зображень показує чотири знімки. Синя хвиля рухається вправо, червона хвиля вліво (а). Коли хвилі перекриваються, повне зміщення частинки задається сумою переміщень за рахунок обох хвиль, показаної зеленим кольором. Це може призвести як до конструктивних перешкод (б), коли дві хвилі знаходяться в фазі, так і до руйнівних перешкод (в), коли їх фази протилежні. Самі хвилі не впливають на взаємодію, а потім подорожують так, ніби нічого не сталося (d).

Для ілюстрації розглянемо дві одновимірні хвилі, що рухаються в протилежних напрямках, рис$\PageIndex{1}$. Поки хвилі не перекриваються, коливання будь-якої даної частинки обумовлено лише однією хвилею, і взаємодії немає. Однак, як тільки хвилі починають перекриватися, коливання складаються, що призводить до перешкод. У деяких точках два коливання будуть перебувати в фазі, що призводить до набагато більшої амплітуди коливань, яку ми називаємо конструктивними перешкодами (рис.$\PageIndex{1b}$). В інших точках два коливання будуть поза фазою, що призводить до набагато меншої або навіть зникаючої амплітуди коливань, яку ми називаємо руйнівними перешкодами (рис.$\PageIndex{1c}$). Однак самі хвилі залишаються незачепленими, і передаються прямо один через одного, продовжуючи свій шлях так, ніби нічого не сталося (рис.$\PageIndex{1d}$).

Хвилі, що досягають кінця струни, або краю ставка, або будь-якого типу кордону, не просто зникнуть. Пам'ятайте, хвилі несуть енергію, і ця енергія зберігається, тому вона повинна піти кудись, як тільки хвиля досягає межі. Якщо на кордоні нічого немає, хвилі відбиваються назад у матеріал. Це відбувається в двох випадках: a (ідеально) фіксована межа і (ідеально) вільна межа; в інших випадках частина енергії може передаватися матеріалу з іншого боку кордону (починаючи там нову хвилю), тоді як залишок відбивається назад у вихідний матеріал з меншою енергією, в результаті чого в меншій амплітуді хвилі. Відбита хвиля рухається в протилежному напрямку до вихідної хвилі, тому вона може заважати собі. Насправді це втручання є вирішальним моментом для того, щоб мати можливість відповідати граничним умовам. Фіксована межа не може рухатися, тому повинні бути руйнівні перешкоди, що постійно зберігають там нуль амплітуди - тому випливає, що хвиля, що відбивається на фіксованій межі, зазнає зсуву$\pi$ фази. Вільні межі з іншого боку абсолютно вільні для переміщення, тому ніщо не стримує його від досягнення максимального зміщення, яке може бути досягнуто конструктивним втручанням, і хвиля відображає без зсуву фаз.

Якщо поставити межі на обох кінцях струни, хвиля продовжує відображатися вперед і назад, безперервно заважаючи собі. Щоб знайти отриману форму рядка, ми будемо використовувати принцип суперпозиції для простої синусоїдальної хвилі. Нехай

$$u_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \nonumber$$

бути частиною хвилі, що йде вправо, і

$$u_{2}(x, t)=-A \cos (k x+\omega t) \nonumber$$

бути частиною, що рухається вліво. Зверніть увагу на відмінності: хвилі мають протилежні знаки для своїх швидкостей, а протилежні знаки для своїх переміщень, останні через зсув$π$ фаз (ми могли б також записати$u_{2}(x, t)=A \cos (k x+\omega t+\pi)$). Форма рядка тепер просто сума цих двох хвиль:

$$\begin{align} u(x, t) &=u_{1}(x, t)+u_{2}(x, t) \\[4pt] &=A[\cos (k x-\omega t)-\cos (k x+\omega t)] \\[4pt] &=2 A \sin (k x) \sin (\omega t) \label{9.16} \end{align}$$

Рівняння\ ref {9.16} говорить нам, що для самозаважаючої хвилі хвиля більше не рухається - натомість кожна точка просто коливається з частотою$\omega$ в залежності від положення амплітуді$2A\sin(kx)$. Ми називаємо таку хвилю стоячою хвилею. Стоячі хвилі дуже поширені - ви отримаєте один кожен раз, коли будете торкатися струни гітари або скрипки. Природно, вони не обмежуються одновимірними системами - обшивка барабана, обмежена у краю барабана, ставиться стоячою хвилею кожен раз, коли хтось вдаряє по ньому.

Рівняння\ ref {9.16} описує форму стоячої хвилі на струні, затиснутій з обох кінців. Якщо рядок має довжину$L$, то за характером граничних умов ми повинні мати$u(0,t) = u(L,t) = 0$ для всіх$t$. Перша умова випливає безкоштовно (що, звичайно, тільки завдяки хорошому вибору координат), але друга ставить обмеження на нашу хвилю. Зсув може бути лише нулем у будь-який час, якщо амплітуда однаково нульова, тому ми вимагаємо, щоб

$$\sin(kL) = 0$$

або

$$L = \frac{m \pi}{k} = \dfrac{m \lambda}{2}$$

де$m$ - будь-яке натуральне число. Існує при цьому нескінченно багато дозволених стоячих хвиль, але вони характеризуються дискретним числом. Дозволені хвилі відомі як режими, а$m$ пов'язане число - номер режиму. Найпростіша хвиля, з мінімально можливим значенням$m = 1$, відома як основний режим. У фундаментальному режимі коливання струни має ненульову амплітуду скрізь, але на фіксованих кінцях; для вищих режимів між ними також є точки, які мають нульову амплітуду, які відомі як вузли; точки, де амплітуда максимальна, іноді називають антинодами.

Дискретний спектр дозволених розв'язків, що характеризуються цілими числами, з'являється не тільки в стоячих механічних хвиль, але і є фундаментальним аспектом квантової механіки.