9.4: Хвильова суперпозиція
- Page ID
- 74396
Хвильове рівняння 9.2.6 є лінійним у функції, яка нас цікавить, зміщення\(u(x,t)\). Це просте математичне твердження має важливі наслідки, тому що це означає, що якщо ми знаємо будь-який набір рішень, ми можемо створити більше рішень, роблячи лінійні комбінації з них - так якщо\(u_1 (x,t)\) і\(u_2 (x,t)\) є рішеннями, то так і\(au_1(x,t)+bu_2(x,t)\) для будь-якого вибору\(a\) і\(b\). У фізиці це корисна властивість лінійних диференціальних рівнянь відоме як принцип суперпозиції. Завдяки цьому принципу ми можемо вивчити, як різні хвилі взаємодіють один з одним без необхідності робити (багато) додаткової математики.
Для ілюстрації розглянемо дві одновимірні хвилі, що рухаються в протилежних напрямках, рис\(\PageIndex{1}\). Поки хвилі не перекриваються, коливання будь-якої даної частинки обумовлено лише однією хвилею, і взаємодії немає. Однак, як тільки хвилі починають перекриватися, коливання складаються, що призводить до перешкод. У деяких точках два коливання будуть перебувати в фазі, що призводить до набагато більшої амплітуди коливань, яку ми називаємо конструктивними перешкодами (рис.\(\PageIndex{1b}\)). В інших точках два коливання будуть поза фазою, що призводить до набагато меншої або навіть зникаючої амплітуди коливань, яку ми називаємо руйнівними перешкодами (рис.\(\PageIndex{1c}\)). Однак самі хвилі залишаються незачепленими, і передаються прямо один через одного, продовжуючи свій шлях так, ніби нічого не сталося (рис.\(\PageIndex{1d}\)).
Хвилі, що досягають кінця струни, або краю ставка, або будь-якого типу кордону, не просто зникнуть. Пам'ятайте, хвилі несуть енергію, і ця енергія зберігається, тому вона повинна піти кудись, як тільки хвиля досягає межі. Якщо на кордоні нічого немає, хвилі відбиваються назад у матеріал. Це відбувається в двох випадках: a (ідеально) фіксована межа і (ідеально) вільна межа; в інших випадках частина енергії може передаватися матеріалу з іншого боку кордону (починаючи там нову хвилю), тоді як залишок відбивається назад у вихідний матеріал з меншою енергією, в результаті чого в меншій амплітуді хвилі. Відбита хвиля рухається в протилежному напрямку до вихідної хвилі, тому вона може заважати собі. Насправді це втручання є вирішальним моментом для того, щоб мати можливість відповідати граничним умовам. Фіксована межа не може рухатися, тому повинні бути руйнівні перешкоди, що постійно зберігають там нуль амплітуди - тому випливає, що хвиля, що відбивається на фіксованій межі, зазнає зсуву\(\pi\) фази. Вільні межі з іншого боку абсолютно вільні для переміщення, тому ніщо не стримує його від досягнення максимального зміщення, яке може бути досягнуто конструктивним втручанням, і хвиля відображає без зсуву фаз.
Якщо поставити межі на обох кінцях струни, хвиля продовжує відображатися вперед і назад, безперервно заважаючи собі. Щоб знайти отриману форму рядка, ми будемо використовувати принцип суперпозиції для простої синусоїдальної хвилі. Нехай
\[u_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \nonumber\]
бути частиною хвилі, що йде вправо, і
\[u_{2}(x, t)=-A \cos (k x+\omega t) \nonumber\]
бути частиною, що рухається вліво. Зверніть увагу на відмінності: хвилі мають протилежні знаки для своїх швидкостей, а протилежні знаки для своїх переміщень, останні через зсув\(π\) фаз (ми могли б також записати\(u_{2}(x, t)=A \cos (k x+\omega t+\pi)\)). Форма рядка тепер просто сума цих двох хвиль:
\[\begin{align} u(x, t) &=u_{1}(x, t)+u_{2}(x, t) \\[4pt] &=A[\cos (k x-\omega t)-\cos (k x+\omega t)] \\[4pt] &=2 A \sin (k x) \sin (\omega t) \label{9.16} \end{align}\]
Рівняння\ ref {9.16} говорить нам, що для самозаважаючої хвилі хвиля більше не рухається - натомість кожна точка просто коливається з частотою\(\omega\) в залежності від положення амплітуді\(2A\sin(kx)\). Ми називаємо таку хвилю стоячою хвилею. Стоячі хвилі дуже поширені - ви отримаєте один кожен раз, коли будете торкатися струни гітари або скрипки. Природно, вони не обмежуються одновимірними системами - обшивка барабана, обмежена у краю барабана, ставиться стоячою хвилею кожен раз, коли хтось вдаряє по ньому.
Рівняння\ ref {9.16} описує форму стоячої хвилі на струні, затиснутій з обох кінців. Якщо рядок має довжину\(L\), то за характером граничних умов ми повинні мати\(u(0,t) = u(L,t) = 0\) для всіх\(t\). Перша умова випливає безкоштовно (що, звичайно, тільки завдяки хорошому вибору координат), але друга ставить обмеження на нашу хвилю. Зсув може бути лише нулем у будь-який час, якщо амплітуда однаково нульова, тому ми вимагаємо, щоб
\[\sin(kL) = 0\]
або
\[L = \frac{m \pi}{k} = \dfrac{m \lambda}{2}\]
де\(m\) - будь-яке натуральне число. Існує при цьому нескінченно багато дозволених стоячих хвиль, але вони характеризуються дискретним числом. Дозволені хвилі відомі як режими, а\(m\) пов'язане число - номер режиму. Найпростіша хвиля, з мінімально можливим значенням\(m = 1\), відома як основний режим. У фундаментальному режимі коливання струни має ненульову амплітуду скрізь, але на фіксованих кінцях; для вищих режимів між ними також є точки, які мають нульову амплітуду, які відомі як вузли; точки, де амплітуда максимальна, іноді називають антинодами.
Дискретний спектр дозволених розв'язків, що характеризуються цілими числами, з'являється не тільки в стоячих механічних хвиль, але і є фундаментальним аспектом квантової механіки.