12.2: стоячі хвилі та резонанс

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74716

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Уявіть, що у вас синусоїдальна біжить хвиля форми (12.1.5), тільки рухається вліво, падає справа на «нерухомий кінець» при\(x\) = 0. Падаюча хвиля буде йти як\(\xi_{0} \sin [2 \pi(x+c t) / \lambda]\); відбиту хвилю слід перевертати зліва направо і догори дном, тому\(x\) змініть на\(−x\) і поставити загальний знак мінус на зміщення, щоб отримати\(-\xi_{0} \sin [2 \pi(-x+c t) / \lambda]\). Сума двох хвиль в області\(x > 0\) тоді

\[ \xi(x, t)=\xi_{0} \sin \left[\frac{2 \pi}{\lambda}(x+c t)\right]-\xi_{0} \sin \left[\frac{2 \pi}{\lambda}(-x+c t)\right]=2 \xi_{0} \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda}\right) \cos (2 \pi f t) \label{eq:12.16} \]

використовуючи тригонометричну ідентичність для\(\sin(a + b)\), і\(f = c/\lambda\).

Результат з правого боку Рівняння (\ ref {eq:12.16}) називається стоячою хвилею. Він нікуди не подорожує, просто коливається «на місці»: кожна точка х поводиться як окремий генератор з амплітудою\(2 \xi_{0} \sin (2 \pi x / \lambda)\). Ця амплітуда дорівнює нулю в спеціальних точках, де\(2x/\lambda\) дорівнює цілому числу. Ці точки називаються вузлами.

Ми могли б подумати про «обмеження» хвиля такого роду до рядка фіксована на обох кінцях, якщо ми робимо рядок має кінець в\(x\) = 0 і інший в одній з цих точок, де амплітуда дорівнює нулю; це означає, що ми хочемо довжина\(L\) рядка задовольнити

\[ 2L = n \lambda \label{eq:12.17} \]

де\(n\) = 1, 2,... Крім того, ми можемо вважати фіксованим,\(L\) а рівняння (\ ref {eq:12.17}) як надання нам можливих значень\(\lambda\), які дадуть нам стоячі хвилі:\(\lambda = 2L/n\). Оскільки ми бачимо\(f = c/\lambda\), що всі ці можливі стоячі хвилі, для фіксованих\(L\) і\(c\), мають різні частоти, які ми можемо записати як

\[ f_{n}=\frac{n c}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots \label{eq:12.18} .\]

Зверніть увагу, що все це кратні частоті\(f_1 = c/2L\). Ми називаємо це основною частотою коливань струни, закріпленої на обох кінцях. Період, відповідний цій основній частоті, - це час зворотного ходу хвильового імпульсу навколо струни,\(2L/c\).

Перші три стоячі хвилі нанесені на рис\(\PageIndex{1}\). Їх хвильові функції задаються правою частиною рівняння (\ ref {eq:12.16}), для 0 ≤\(x\) ≤\(L\), with\(\lambda = 2L/n\) (\(n\)= 1, 2, 3), і\(f = f_n = nc/2L\). Амплітуда довільна; на малюнку я встановив її рівною 1 для зручності. Виклик відповідної функції\(u_n(x, t)\) є більш-менш поширеною практикою в інших контекстах:

\[ u_{n}(x, t)=\sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(2 \pi f_{n} t\right) \label{eq:12.19} .\]

Ці функції називаються нормальними режимами вібрації струни. На малюнку\(\PageIndex{1}\) я показав, для кожного з них зміщення в початковий час,\(t\) = 0, як суцільна лінія, а потім півперіоду пізніше як пунктирна лінія. На додаток до цього зверніть увагу, що хвильова функція зникає однаково (струна плоска) з інтервалами чверті періоду,\(t = 1/4f_n\) і\(t = 3/4f_n\). У ті часи хвиля не має пружною потенційною енергією (так як струна нерозтягнута): як і у простого осцилятора, що проходить через положення рівноваги, вся її енергія кінетична. Для\(n > 1\), є також вузли (місця, де амплітуда коливань завжди дорівнює нулю) в точках, відмінних від кінців. Включаючи кінцеві точки,\(n\) -й нормальний режим має\(n + 1\) вузли. Місця, де амплітуда коливань найбільша, називаються антинодами.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Три найбільш низькочастотні нормальні режими вібрації струни, утримуваної на обох кінцях, що відповідають, зверху вниз,\(n\) = 1, 2, 3

Анімації цих стоячих хвиль можна знайти в багатьох місцях; один мені особливо подобається тут: http://newt.phys.unsw.edu.au/jw/strings.html#standing. Він також показує графічно, як стоячу хвилю можна розглядати як суперпозицію двох протилежно спрямованих біжучих хвиль, як у Equation (\ ref {eq:12.16}).

Якщо ми спочатку зігнули струну в одну з фігур, показаних на малюнку\(\PageIndex{1}\), а потім відпустили її, вона коливалася на відповідній частоті\(f_n\), зберігаючи ту ж форму, лише масштабуючи її вгору і вниз на коефіцієнт,\(\cos(2\pi f_{n}t)\) оскільки минув час. Отже, ще один спосіб думати про стоячі хвилі - це природні режими вібрації розширеної системи - струни, в даному випадку, хоча стоячі хвилі можуть утворюватися в будь-якому середовищі, яке може нести біжучу хвилю.

Те, що я маю на увазі під «природним режимом вібрації», полягає в наступному: один генератор, скажімо, маятник, має єдину «природну» частоту; якщо ви зміщуєте його або вдарите, він просто коливається на цій частоті з постійною амплітудою. Розширену систему, подібну до рядка, можна розглядати як сукупність зв'язаних осциляторів, які загалом можуть коливатися різними та складними способами; проте існує певний набір частот - для рядка з двома кінцями фіксованими,\(f_n\) послідовність рівняння (\ ref {eq:12.18}) - і пов'язані форми, які призведуть до того, що всі частини струни виконують простий гармонійний рух, синхронно, все з однаковою частотою.

Звичайно, для отримання лише одного з цих конкретних режимів коливань потрібна певна обережність («водіння» струни на потрібній частоті, мабуть, найпростіший спосіб; див. Наступний абзац); однак, якщо ви просто вдарите або зірвете струну будь-яким випадковим чином, відбувається чудова річ: отриманий рух буде, математично описується як сума синусоїдальних стоячих хвиль, кожна з яких має одну з частот\(f_n\), і кожна з різною амплітудою\(A_n\). У музичному інструменті це врешті-решт генерує суперпозицію звукових хвиль з частотами\(f_1 = c/2L\)\(f_2 = 2f_1\),\(f_3 = 3f_1\)... (Називається, в цьому контексті, фундаментальним\(f_1\), і його обертонами,\(f_n = nf_1\)). Кожна з цих частот відповідає різній висоті, або музичній ноті, і результат буде звучати трохи як акорд, хоча і не настільки виражений - ми в основному почуємо лише фундаментальну, яка відповідає кореневій ноті акорду, але всі ноти в мажорній тріаді насправді присутні в вібрація однієї гітари або фортепіано струни ⁴.

Але почекайте, є ще! Припустимо, що ви намагаєтеся змусити струну коливатися, «керуючи» її: тобто захоплюючи утримання одного кінця і струшуючи його з деякою частотою, лише з дуже маленькою амплітудою, тому зміщення на цьому кінці залишається завжди близьким до нуля. У такому випадку ви, як правило, отримаєте лише дуже малі амплітудні коливання, поки рушійна частота не потрапить на одну зі спеціальних частот\(f_n\), в цей момент ви отримаєте велике коливання з формою відповідної стоячої хвилі. Це явище, відоме як резонанс, і це резонансні частоти цієї системи.\(f_n\)

Зверніть увагу, що ефект, який я тільки що описав, по суті, такий же, як ви відчуваєте, коли ви «накачування» або просто штовхаючи, гойдалки. Якщо ви не робите це на правильній частоті, ви не отримаєте дуже далеко; але якщо ви робите це на правильній частоті (яка є власною частотою гойдалки, той, на якому він буде гойдатися самостійно), ви можете отримати величезні коливання амплітуди. Отже, частоти (\ ref {eq:12.18}) можна сказати, що частоти власних коливань струни однаковими двома способами: вони є тими, при яких вона коливатиметься, якщо ви просто вирвете її, і саме вони повинні керувати нею, якщо ви хочете отримати великі коливання.

Майже все, що я щойно показав вам вище для стоячих хвиль на струні застосовується до звукових хвиль всередині трубки або труби, відкритої з обох кінців. У цьому випадку, однак, це не зміщення, а хвиля тиску (або щільності), яка повинна мати нулі на кінцях (оскільки кінці відкриті, тиск там повинен бути лише середнім атмосферним тиском; зверніть увагу, що хвилі тиску або щільності в звуковій хвилі не дають абсолютного тиску або щільності, а ось відхилення, позитивне або негативне, від середнього). Математика, однак, ідентична, і можна знайти той самий набір нормальних режимів і резонансних частот, що і вище. Це тоді частоти, які будуть вироблятися при видуванні в флейті або трубі органу, відкритій на обох кінцях. Отже, як з труб, так і з струн ми отримуємо один і той же «гармонічний ряд» частот (\ ref {eq:12.18}), який є основою західної музики принаймні з часів Піфагора.

⁴ Це працює так: скажімо,\(f_1\) відповідає C, то\(f_2\) це C вище цього,\(f_3\) G вище цього,\(f_4\) C вище цього, і\(f_5\) E вище цього.