Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.7: Повністю еластичні зіткнення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74249

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для абсолютно пружного зіткнення ми можемо викликати як збереження імпульсу, так і (за визначенням абсолютно пружного зіткнення) кінетичної енергії. У нас також є додаткова змінна, порівняно з абсолютно нееластичним корпусом, оскільки в цьому випадку об'єкти не злипаються і, таким чином, отримують різні кінцеві швидкості. Два рівняння, що регулюють абсолютно пружне зіткнення:

    \[m_{1} v_{1, \mathrm{i}}+m_{2} v_{2, \mathrm{i}}=m_{1} v_{1, \mathrm{f}}+m_{2} v_{2, \mathrm{f}} \label{momentumcons}\]

    для збереження імпульсу, і

    \[\frac{1}{2} m_{1} v_{1, \mathrm{i}}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2, \mathrm{i}}^{2}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1, \mathrm{f}}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2, \mathrm{f}}^{2} \label{kineticecons}\]

    для збереження кінетичної енергії.

    Коли зіткнення відбувається в одному вимірі, ми можемо об'єднати рівняння (\ ref {momentumcons}) і (\ ref {kineticecons}) для обчислення кінцевих швидкостей як функції початкових. Ми спочатку перепишемо два рівняння так, щоб все, що пов'язано з часткою 1, було зліва, а терміни для частки 2 - праворуч:

    \[m_{1}\left(v_{1, \mathrm{i}}-v_{1, \mathrm{f}}\right)=m_{2}\left(v_{2, \mathrm{f}}-v_{2, \mathrm{i}}\right) \label{firstorder}\]

    і

    \[m_{1}\left(v_{1, \mathrm{i}}^{2}-v_{1, \mathrm{f}}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2, \mathrm{f}}^{2}-v_{2, \mathrm{i}}^{2}\right) \label{squared}\]

    Ми можемо розширити терміни в дужках у Equation (\ ref {squared}), що дає:

    \[m_{1}\left(v_{1, \mathrm{i}}-v_{1, \mathrm{f}}\right)\left(v_{1, \mathrm{i}}+v_{1, \mathrm{f}}\right)=m_{2}\left(v_{2, \mathrm{f}}-v_{2, \mathrm{i}}\right)\left(v_{2, \mathrm{f}}+v_{2, \mathrm{i}}\right) \label{expanded}\]

    Розділивши рівняння (\ ref {expanded}) на рівняння (\ ref {firstorder}), отримаємо співвідношення між швидкостями поодинці:

    \[v_{1, \mathrm{i}}+v_{1, \mathrm{f}}=v_{2, \mathrm{i}}+v_{2, \mathrm{f}} \label{pretty}\]

    З Equation (\ ref {pretty}) ми можемо виділити\(v_{2,f}\) і замінити назад в (\ ref {firstorder}), щоб знайти\(v_{1,f}\) через початкові швидкості:

    \[v_{1, \mathrm{f}}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, \mathrm{i}}+2 \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2, \mathrm{i}} \label{v1final}\]

    Природно, ми могли б так само добре\(v_{2,f}\) обчислити, рівняння для якого просто (\ ref {v1final}) з 1 і 2 поміняли місцями:

    \[v_{2, \mathrm{f}}=2 \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, \mathrm{i}}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{2, \mathrm{i}}\]

    Відзначимо, що в лімітному випадку\(m_{2}>>m_{1}, v_{2}\) це навряд чи впливає, і\(v_{1, \mathrm{f}} \simeq-v_{1, \mathrm{i}}+2 v_{2, \mathrm{f}}\).