4.7: Повністю еластичні зіткнення

Для абсолютно пружного зіткнення ми можемо викликати як збереження імпульсу, так і (за визначенням абсолютно пружного зіткнення) кінетичної енергії. У нас також є додаткова змінна, порівняно з абсолютно нееластичним корпусом, оскільки в цьому випадку об'єкти не злипаються і, таким чином, отримують різні кінцеві швидкості. Два рівняння, що регулюють абсолютно пружне зіткнення:

$$m_{1} v_{1, \mathrm{i}}+m_{2} v_{2, \mathrm{i}}=m_{1} v_{1, \mathrm{f}}+m_{2} v_{2, \mathrm{f}} \label{momentumcons}$$

для збереження імпульсу, і

$$\frac{1}{2} m_{1} v_{1, \mathrm{i}}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2, \mathrm{i}}^{2}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1, \mathrm{f}}^{2}+\frac{1}{2} m_{2} v_{2, \mathrm{f}}^{2} \label{kineticecons}$$

для збереження кінетичної енергії.

Коли зіткнення відбувається в одному вимірі, ми можемо об'єднати рівняння (\ ref {momentumcons}) і (\ ref {kineticecons}) для обчислення кінцевих швидкостей як функції початкових. Ми спочатку перепишемо два рівняння так, щоб все, що пов'язано з часткою 1, було зліва, а терміни для частки 2 - праворуч:

$$m_{1}\left(v_{1, \mathrm{i}}-v_{1, \mathrm{f}}\right)=m_{2}\left(v_{2, \mathrm{f}}-v_{2, \mathrm{i}}\right) \label{firstorder}$$

і

$$m_{1}\left(v_{1, \mathrm{i}}^{2}-v_{1, \mathrm{f}}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2, \mathrm{f}}^{2}-v_{2, \mathrm{i}}^{2}\right) \label{squared}$$

Ми можемо розширити терміни в дужках у Equation (\ ref {squared}), що дає:

$$m_{1}\left(v_{1, \mathrm{i}}-v_{1, \mathrm{f}}\right)\left(v_{1, \mathrm{i}}+v_{1, \mathrm{f}}\right)=m_{2}\left(v_{2, \mathrm{f}}-v_{2, \mathrm{i}}\right)\left(v_{2, \mathrm{f}}+v_{2, \mathrm{i}}\right) \label{expanded}$$

Розділивши рівняння (\ ref {expanded}) на рівняння (\ ref {firstorder}), отримаємо співвідношення між швидкостями поодинці:

$$v_{1, \mathrm{i}}+v_{1, \mathrm{f}}=v_{2, \mathrm{i}}+v_{2, \mathrm{f}} \label{pretty}$$

З Equation (\ ref {pretty}) ми можемо виділити$v_{2,f}$ і замінити назад в (\ ref {firstorder}), щоб знайти$v_{1,f}$ через початкові швидкості:

$$v_{1, \mathrm{f}}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, \mathrm{i}}+2 \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2, \mathrm{i}} \label{v1final}$$

Природно, ми могли б так само добре$v_{2,f}$ обчислити, рівняння для якого просто (\ ref {v1final}) з 1 і 2 поміняли місцями:

$$v_{2, \mathrm{f}}=2 \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1, \mathrm{i}}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{2, \mathrm{i}}$$

Відзначимо, що в лімітному випадку$m_{2}>>m_{1}, v_{2}$ це навряд чи впливає, і$v_{1, \mathrm{f}} \simeq-v_{1, \mathrm{i}}+2 v_{2, \mathrm{f}}$.