4.4: Ракетна наука

Хоча проектування ракети, яка буде слідувати бажаній траєкторії (скажімо, Церера, Плутон або Планета Дев'ять) з великою точністю, є величезним інженерним завданням, основний принцип ракетного руху надзвичайно простий. По суті, це зводиться до збереження імпульсу, або, що еквівалентно, спостереження, що швидкість центру маси системи не змінюється, якщо на систему не діють зовнішні сили. Щоб зрозуміти, як працює ракета, уявіть ¹ наступний експеримент: ви сідаєте на спочатку нерухому візку з великою кількістю маленьких кульок. Потім ви підбираєте кульки по черзі, і кидаєте їх все в одному напрямку з однаковою (бажано високою) швидкістю (щодо себе і, таким чином, візка). Що станеться, так це те, що ви, візок, і решта кульки повільно набираєте швидкість, в протилежну сторону від тієї, в яку ви кидаєте кулі. Саме так і робить ракетний двигун: він виштовхує дрібні частинки (молекули, власне) з великими швидкостями, набираючи малу швидкість сама в протилежному напрямку. Зауважте, що це абсолютно відрізняється від більшості інших двигунів, які керують обертанням коліс (які залежать від тертя для роботи) або гвинтів (які залежать від опору для роботи).

Рівняння ракети

Щоб зрозуміти, що відбувається в нашому розумовому експерименті, давайте спочатку розглянемо перший кинутий вами м'яч. Назвемо масу себе плюс візок М, сумарну масу кульок m, і (малу) масу одного кулі dm. Якщо ви кидаєте м'яч зі швидкістю u (по відношенню до себе), ми можемо обчислити вашу отриману швидкість двома способами:

1. Центр маси повинен залишатися нерухомим. Давайте поставимо xcm∆0. Перед кидком у нас тоді є$x_{\text { ball }} \mathrm{d} m+ x_{\mathrm{car}}(M+m)=0$, тоді як після кидка у нас є$-u t \mathrm{d} m+v_{\mathrm{car}} t(M+m)=0, \text { or } v_{\mathrm{car}}=\frac{-u \mathrm{d} m}{(M+m)}$.
2. Загальний імпульс повинен бути збережений. Перед кидком сумарний імпульс дорівнює нулю, так як нічого не рухається. Після кидка отримуємо:$p_{\text { ball }}+p_{\text { car }}=-u \mathrm{d} m+\nu_{\text { car }}(M+m)$. Прирівнюючи це до нуля знову дає$v_{\mathrm{car}}=\frac{-u \mathrm{d} m}{(M+m)}$.

Тепер для другого, третього і т.д. м'яча ситуація ускладнюється, так як машина (включаючи м'яч, який ось-ось буде кинутий) вже рухається. Природно, центр маси автомобіля плюс всі кульки залишається нерухомим, як і сумарний імпульс автомобіля плюс всі кульки. Однак, щоб підрахувати, скільки зайвої швидкості автомобіль набирає з n ^-го кулі, простіше не вважати вже кинуті м'ячі. Замість цього ми розглядаємо автомобіль (включаючи решту куль), який вже рухається зі швидкістю v, і, таким чином, має загальний імпульс (m≈m) v.Метання наступної кулі зменшить масу автомобіля плюс кулі на дм, і збільшити його швидкість на dv.Збереження імпульсу потім дає:

$$(M+m) v=(M+m-\mathrm{d} m)(\nu+\mathrm{d} v)+(v-u) \mathrm{d} m=(M+m) v+(M+m) \mathrm{d} v-u \mathrm{d} m \label{ballthrow}$$

де ми скинули термін другого порядку dmdv. Рівняння (\ ref {ballthrow}) можна переписати на

$$(M+m) \mathrm{d} v=u \mathrm{d} m \label{simple}$$

Зверніть увагу, що тут і u (швидкість кожного кинутого м'яча) і M (маса себе плюс автомобіль, або оболонка ракети) є константами, тоді як m змінюється, закінчуючись нулем, коли ви кинули всі свої кулі. Щоб знайти швидкість нашого автомобіля, ми можемо інтегрувати Equation (\ ref {simple}), але є важливий, і досить тонкий, момент, який слід врахувати. Ліва сторона Equation (\ ref {simple}) застосовується до автомобіля, а права - до кинутого м'яча, з (позитивною) масою dm. Однак маса m кульок, що залишилися в машині, зменшилася на дм, тому, якщо ми хочемо дізнатися кінцеву швидкість автомобіля, нам потрібно включити знак мінус праворуч від Equation (\ ref {simple}). Розділивши через M+m і інтегруючи, отримаємо:

$$\Delta v=v_{\mathrm{f}}-v_{0}=u \log \left(\frac{M+m_{0}}{M}\right) \label{tsiolkovsky}$$

де$v_f$ - кінцева швидкість автомобіля, і початкова$m_0$ сумарна маса всіх кульок. Рівняння (\ ref {tsiolkovsky}) відоме як рівняння ракети Ціолковського ².

Костянтин Едуардович Ціолковський

Костянтин Едуардович Ціолковський (1857-1935) був російським ракетознавцем, якого вважають одним з піонерів космонавтики. Самоучка Ціолковський зацікавився космічним польотом як через «космічного» філософа Миколи Федорова, так і науково-фантастичного автор Жюль Верн і розглянув будівництво космічного ліфта, натхненного тоді недавно побудованою Ейфелевою вежею в Парижі. Працюючи викладачем, він багато вільного часу витрачав на дослідження, розробку рівняння ракети, названого на його честь (Equation\ ref {tsiolkovsky}), а також розробку конструкцій для ракет, в тому числі багатоступінчастих. Ціолковський також працював над проектуванням літаків і повітряних суден (дирижаблів), але не отримав підтримки від влади для подальшого їх розвитку. Він продовжував працювати над ракетами, хоча, продовжуючи також як викладач математики. Лише пізно в житті він отримав визнання за свою роботу вдома (тоді Радянський Союз), але його ідеї продовжуватимуть впливати на інших ракетних піонерів як у радянських, так і в американських космічних програмах.

Ілюстрація$\PageIndex{1}$: Костянтин Ціолковський [14].

Багатоступінчасті ракети

Через логарифмічного коефіцієнта в рівнянні ракети Ціолковського ракети потребують великої кількості палива в порівнянні з масою об'єкта, який вони мають намір доставити (корисне навантаження - скажімо зонд, або капсула з космонавтами). Незважаючи на це, ефективність ракет обмежена. Співвідношення палива до корисного навантаження 9:1 (вже досить висока) і початкова швидкість нуля дає кінцеву швидкість$v_{\mathrm{f}}=u \log (10) \simeq 2.3 u$, а збільшення співвідношення до 99:1 лише подвоює цей результат:$v_{\mathrm{f}}=u \log (100) \simeq 4.6 u$. Щоб обійти ці обмеження і дати ракетам (а точніше їх корисним навантаженням) швидкість, необхідну для виходу з Землі, або навіть Сонячної системи, ракети будуються з декількома ступенями - по суті кілька ракет, укладаються одна на іншу. Якщо всі ці ступені мають однакове відношення палива до корисного навантаження та швидкості вихлопних газів, кінцева швидкість корисного навантаження просто дорівнює швидкості однієї ступені на кількість ступенів n:$v_{\mathrm{f}}=n u \log \left(1+\frac{m_{0}}{M}\right)$. Щоб переконатися в цьому, врахуйте, що інші етапи є корисним навантаженням поточного етапу. Маючи кілька етапів, таким чином, дозволяє ракетам набирати швидкість більш ефективно, по суті, проливаючи частину часто він «корисне навантаження» (корпус порожнього етапу). Наприклад, ракета «Сатурн V», яка використовувалася для відправки астронавтів «Аполлона» на Місяць, мала три ступені, плюс невеликий ракетний двигун на самій капсулі (використовувався для розриву місячної орбіти і відправки астронавтів назад на Землю), див. Рис. 4.4.2.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Ракети і пов'язані з ними космічні апарати, які вивезли людей на Місяць в кінці 1960-х і початку 1970-х років [15]. (а) Пташиного польоту ракети Сатурн V на стартовому майданчику. Ця ракета несе «Аполлон-15», четверту місію, щоб дістатися до Місяця. Три ступені ракети розділені кільцями навколо двигуна наступного ступеня. Загальна висота ракети при запуску становила 110,6 м; вона мала загальну масу 2,97 мільйона кг, і могла прийняти корисне навантаження 140000 кг на Низькоземну орбіту або корисне навантаження 48600 кг до Місяця. (б) Вид з пускової вежі Сатурна V, що несе Аполлон-11 (знаменита перша місія на Місяць у 1969 році) при запалюванні. Маленька ракета зверху повинна була бути використана для аварійного втечі пілотованого модуля безпосередньо нижче, якщо щось пішло не так при запуску. Пілотований «командний модуль» - це маленька конічна конструкція; циліндрична структура безпосередньо під ним містила свій двигун, а конічна частина нижче, що містила місячний посадковий апарат (малюнок d). (c) Відкинутий третій етап ракети «Сатурн V», який виконував місію «Аполлон-17» (шостий і останній (!) щоб дістатися до Місяця в 1972 році). Порожній простір спереду містив місячний модуль посадки при запуску. (d) Місячний посадковий апарат місії «Аполлон-11» 1969 року, сфотографований з командного модуля після відділення. Цей модуль містив дві ракети: одну для уповільнення спуску на Місяць на нижній частині, а одну для повернення на місячну орбіту лише з верхньою частиною. Нижня частина посадкового апарату залишається на Місяці і була сфотографована там у 2012 році Lunar Reconnaisance Orbiter, безпілотним космічним апаратом на орбіті Місяця.

Імпульс

Коли ви врізаєтеся в щось, є два фактори, які визначають, наскільки змінюється ваш імпульс: кількість сили, що діє на вас, і час дії сили. Твір відомий як імпульс, який за другим законом Ньютона дорівнює зміні імпульсу:

$$J=\Delta p=\int F(t) \mathrm{d} t$$

Питомий імпульс$I_{sp}=\frac{J}{m_{propellant}}$, що визначається як, або імпульс на одиницю маси палива, є мірою ефективності реактивних двигунів і ракет.

¹ Або виконувати, як завгодно.

² Хоча Ціолковський, безумовно, заслуговує на заслугу за свою новаторську роботу, і він, швидше за все, вивів рівняння самостійно, він не був першим, хто це зробив. І британський математик Вільям Мур в 1813 році, і шотландський міністр і математик Вільям Лейтч в 1861 році йому передували.