4.1: Центр мас

Центр мас колекції частинок

Поки ми розглянули лише два випадки - поодинокі частинки, на які діє сила (як маса на пружині), і пари частинок, що надають силу один на одного (як гравітація). Що станеться, якщо в гру увійде більше частинок? Ну, тоді ми повинні обчислити сумарну силу, шляхом векторного додавання, і загальну енергію, шляхом регулярного додавання. Позначимо частинки числом$\alpha$, тоді загальна сила задається:

$$F_{\text { total }}=\sum_{\alpha} \boldsymbol{F}_{\alpha}=\sum_{\alpha} m_{\alpha} \ddot{r}_{\alpha}=M \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}\left(\frac{\sum_{\alpha} m_{\alpha} r_{\alpha}}{M}\right)=M \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d} t^{2}} r_{\mathrm{cm}}$$

де ми визначили загальну масу$\sum_\alpha m_\alpha$ і центр маси $$r_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M} \sum_{\alpha} m_{\alpha} r_{\alpha} \label{cntrofmass}$$

Центр маси об'єкта

Рівняння (\ ref {cntrofmass}) дає центр маси дискретної множини частинок. Звичайно, врешті-решт, кожен об'єкт будується з дискретного набору частинок, його молекул, але підсумовувати їх все буде дуже багато роботи. Спробуємо зробити краще. Розглянемо невелику субодиницю об'єкта об'єму dV (набагато менше об'єкта, але набагато більше молекули). Тоді маса цієї субодиниці - це$dm=\rho dV$, де$\rho$ щільність (маса на одиницю об'єму) об'єкта. Підсумовування всіх цих мас дає нам центр маси об'єкта за рівнянням (\ ref {cntrofmass}). Тепер взявши межу, що обсяг субодиниць йде до нуля, це стає нескінченною сумою над нескінченно малими обсягами - інтегралом. Так для центру мас суцільного предмета знаходимо:

$$r_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M} \int_{V} \rho \cdot r \mathrm{d} V \label{intcm}$$

Зверніть увагу, що в принципі нам навіть не потрібно вважати, що$\rho$ щільність постійна - якщо вона залежить від положення в просторі, ми також можемо поглинути це в обговоренні вище, і в кінцевому підсумку з тим же рівнянням, але тепер з$\rho (r)$. Це зробить інтеграл набагато важче оцінити, але не обов'язково неможливо. Також врахуйте, що загальна маса М об'єкта просто задається тим$\rho \cdot V$, де V - загальний обсяг, якщо щільність постійна, і по$\int_V \rho (r) dV$ іншому. Тому, якщо щільність постійна, вона випадає з Equation (\ ref {intcm}), і ми можемо переписати її як

$$r_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{V} \int_{V} r \mathrm{d} V \quad \text { for constant density } \rho$$

На жаль, багато підручників вводять заплутане поняття нескінченно малого елемента маси dm, замість об'ємного елемента dV з масою$\rho dV$. Ця дивна звичка часто відкидає учнів, і концепція абсолютно не потрібна, тому ми не будемо адаптувати її тут.

Рівняння (\ ref {intcm}) має значення для будь-якого неперервного об'єкта, але це може бути заплутаним, якщо ви розглядаєте лінійний або плоський об'єкт - оскільки вам може бути цікаво, як щільність$\rho$ і об'єм елемента dV визначаються в одному і двох вимірах. Виходів два. Можна сказати, що всі фізичні об'єкти тривимірні - навіть дуже тонка палиця має поперечний переріз. Якщо ви скажете, що поперечний переріз має площу A (яка є постійною вздовж палиці, або наближення тонкої палиці було б недійсним), а координата вздовж палиці дорівнює x, елемент об'єму просто стає DV=ADX, а інтеграл у Рівнянні (\ ref {intcm}) зменшується до одновимірного інтеграла. Можна підійти до двовимірних об'єктів таким же чином, надавши їм невелику товщину$\delta z$ і записавши об'ємний елемент як$dV=\delta z dA$. Як варіант, можна визначити одно- і двовимірні аналоги щільності: маса на одиницю довжини$\lambda$ і маса на одиницю площі$\sigma$ відповідно. З ними одно- і двовимірні еквіваленти рівняння (\ ref {intcm}) задаються

$$x_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M} \int_{0}^{L} \lambda x \mathrm{d} x, \text { and } r_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M} \int_{A} \rho \cdot r \mathrm{d} A \label{xcmrcm}$$

де M - це ще загальна маса об'єкта.

4.1.3. Опрацьований приклад: центр маси твердої півсфери

Малюнок$\PageIndex{1}$: Система координат для обчислення центру мас для твердої півсфери.

Рішення

За симетрії центр маси твердої сфери повинен лежати в її центрі. Центр маси півкулі не можна вгадати так легко, тому ми повинні його обчислити. Звичайно, він все ще повинен лежати на осі симетрії, але щоб обчислити, де на цій осі, ми будемо використовувати Equation\ ref {xcmrcm}. Щоб виконати інтеграл, ми скористаємося симетрією, яку система все ще має, і нарізаємо нашу півсферу на тонкі скибочки однакової товщини dz, див. Рис. 4.1.1. Обсяг такого зрізу буде потім залежати від його положення z, і задаватися тим$\mathrm{d} V=\pi r(z)^{2} \mathrm{d} z$, де r (z) - радіус на висоті z. поставивши початок в нижній частині півсфери, ми легко отримаємо$r(z)=\sqrt{R^{2}-z^{2}}$, де R - радіус півкулі. Вектор положення r в Equation\ ref {xcmrcm} просто стає (0, 0, z), тому отримуємо:

$$z_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{\frac{2}{3} \pi R^{3}} \int_{0}^{R} z \pi\left(R^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z=\frac{3}{2 R^{3}}\left[\frac{1}{2} z^{2} R^{2}-\frac{1}{4} z^{4}\right]_{0}^{R}=\frac{3}{8} R$$

Центр маси твердої півкулі, таким чином, лежить на$r_{cm}=(0, 0, \frac{3R}{8})$