4.2: Збереження імпульсу

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У Рівнянні (4.1.1), яка загальна сила, що діє на всі частинки? Ну ось і сума всіх сил, які частинки чинять один на одного, плюс всі зовнішні сили: $F_{\text { total }}=\sum_{i} F_{\text { int }, i}+\sum_{i} F_{\text { ext }, i}$ . Третій закон руху Ньютона говорить нам, що внутрішні сили надходять протилежними парами, тому, коли ми їх підсумуємо, всі вони скасовуються, а загальна чиста сила, що діє на частинки, дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на частинки. Тому за рівнянням (4.1.1) центр маси a система частинок підпорядковується другому закону Ньютона руху. А як щодо імпульсу центру мас? Як і сила, сумарний імпульс системи системи задається векторною сумою моментів окремих частинок:

$P_{\text { total }}=\sum_{\alpha} \boldsymbol{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} m_{\alpha} \dot{r}_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_{\alpha} m_{\alpha} r_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M r_{\mathrm{cm}}$

Таким чином, загальний імпульс системи дорівнює тому, що центру маси. Більше того, поки маса системи зберігається, ми можемо переписати рівняння (4.1.1) як

$F_{\text { total }}=\frac{\mathrm{d} P_{\text { total }}}{\mathrm{d} t} \label{ftotal}$

Центр маси системи частинок не тільки підпорядковується другому закону руху Ньютона, але й його загальний імпульс. Більш того, на відміну від одночастинкового випадку, Equation (\ ref {ftotal}) має важливий наслідок для випадку відсутності зовнішньої сили, що діє на систему. Для однієї частинки це просто означало б, що імпульс не змінюється - перший закон руху Ньютона. Але для декількох частинок Equation (\ ref {ftotal}) говорить нам, що ніякі зовнішні сили не означають, що загальний імпульс не змінюється. Тому ми прийшли до нашого другого закону про збереження:

Теорема 4.1 (Закон збереження імпульсу). Коли ніякі зовнішні сили не діють на систему частинок, загальний імпульс системи зберігається.

Ми вивели закон збереження імпульсу, застосовуючи як другий, так і третій закони руху Ньютона, так як збереження енергії, це не самостійний результат, а випливає з наших аксіом. Зауважимо, що закон дозволяє в моменти окремих частинок в системі змінюватися, поки їх загальна сума залишається незмінною - це те, що відбувається, коли ви граєте в більярд, і чому кількість кульок, що підстрибують в колисці Ньютона, фіксовано.