Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.2: Збереження імпульсу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74228

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У Рівнянні (4.1.1), яка загальна сила, що діє на всі частинки? Ну ось і сума всіх сил, які частинки чинять один на одного, плюс всі зовнішні сили:\(F_{\text { total }}=\sum_{i} F_{\text { int }, i}+\sum_{i} F_{\text { ext }, i}\). Третій закон руху Ньютона говорить нам, що внутрішні сили надходять протилежними парами, тому, коли ми їх підсумуємо, всі вони скасовуються, а загальна чиста сила, що діє на частинки, дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на частинки. Тому за рівнянням (4.1.1) центр маси a система частинок підпорядковується другому закону Ньютона руху. А як щодо імпульсу центру мас? Як і сила, сумарний імпульс системи системи задається векторною сумою моментів окремих частинок:

    \[P_{\text { total }}=\sum_{\alpha} \boldsymbol{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} m_{\alpha} \dot{r}_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_{\alpha} m_{\alpha} r_{\alpha}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} M r_{\mathrm{cm}}\]

    Таким чином, загальний імпульс системи дорівнює тому, що центру маси. Більше того, поки маса системи зберігається, ми можемо переписати рівняння (4.1.1) як

    \[F_{\text { total }}=\frac{\mathrm{d} P_{\text { total }}}{\mathrm{d} t} \label{ftotal}\]

    Центр маси системи частинок не тільки підпорядковується другому закону руху Ньютона, але й його загальний імпульс. Більш того, на відміну від одночастинкового випадку, Equation (\ ref {ftotal}) має важливий наслідок для випадку відсутності зовнішньої сили, що діє на систему. Для однієї частинки це просто означало б, що імпульс не змінюється - перший закон руху Ньютона. Але для декількох частинок Equation (\ ref {ftotal}) говорить нам, що ніякі зовнішні сили не означають, що загальний імпульс не змінюється. Тому ми прийшли до нашого другого закону про збереження:

    Теорема 4.1 (Закон збереження імпульсу). Коли ніякі зовнішні сили не діють на систему частинок, загальний імпульс системи зберігається.

    Ми вивели закон збереження імпульсу, застосовуючи як другий, так і третій закони руху Ньютона, так як збереження енергії, це не самостійний результат, а випливає з наших аксіом. Зауважимо, що закон дозволяє в моменти окремих частинок в системі змінюватися, поки їх загальна сума залишається незмінною - це те, що відбувається, коли ви граєте в більярд, і чому кількість кульок, що підстрибують в колисці Ньютона, фіксовано.