4.3: Опорні кадри

Центр маси кадру

Центр маси не потрібно фіксувати в просторі, тому він може мати ненульову швидкість, яка, звичайно, просто задається$v_{cm} = \dot r_{cm}$. Для кожної з частинок в багаточастинковій системі ми можемо розкласти її швидкість, записуючи її як суму швидкості центру маси і швидкості щодо центру маси:

$$v_{\alpha}=v_{\mathrm{cm}}+v_{\alpha, \mathrm{rel}} \label{cmframe}$$

У багатьох додатках інформація знаходиться в компоненті швидкості щодо центру мас. Зрештою, збереження імпульсу передбачає, що для системи, де на неї не діють зовнішні сили, центр масової швидкості не може змінюватися, навіть якщо всі окремі моменти дійсно змінюються (як це відбувається при зіткненнях). Тому часто зручно аналізувати вашу систему в кадрі, який рухається з центром маси, відомим (не дивно), як центр маси кадру. У цьому кадрі центр масової швидкості однаково дорівнює нулю, і знову ж таки через збереження імпульсу всі інші швидкості в цьому кадрі повинні дорівнювати нулю. «Реальний» кадр з ненульовим центром масової швидкості називається лабораторним кадром.

Галілеєві перетворення та інерційні кадри

Як показує Equation (\ ref {cmframe}), якщо ви знаєте швидкість частинки в центрі кадру маси, ви можете легко обчислити швидкість в лабораторному кадрі, додавши швидкість центру маси. Йдучи іншим шляхом, щоб обчислити швидкість в центрі маси кадру, ви віднімаєте v _см від швидкості в лабораторному кадрі. Більше того, якщо центр маси рухається з постійною швидкістю, ми також можемо легко співвідносити позиції в обох кадрах. Якщо ми позначимо координати в лабораторному кадрі r, а координати в центрі кадру маси на r', ми легко отримаємо:

$$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}^{\prime}+\boldsymbol{v}_{\mathrm{cm}} t \label{rprime}$$

$$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}^{\prime}+\boldsymbol{v}_{\mathrm{cm}}$$

Рівняння (\ ref {rprime}) є прикладом перетворення Галілея між рамками відліку (тут лабораторний кадр і центр кадру маси). Він фактично утримує будь-яку пару опорних кадрів, які рухаються з постійною швидкістю відносно один одного. Такі системи відліку відомі як інерційні кадри, якщо в них тримається перший закон руху Ньютона; за другим законом Ньютона, якщо один з кадрів є інерційною рамкою, то той, що отриманий з нього шляхом перетворення Галілея (тобто той, що рухається з постійною швидкістю по відношенню до першого кадру) також інерційний каркас. Причина цього полягає в тому, що постійна швидкість не грає ніякої ролі у другому законі Ньютона, оскільки вона пов'язує похідну швидкості (тобто прискорення) з силою. Отже, не тільки перший закон Ньютона діє в обох інерційних рамках - всі закони фізики однакові в двох таких кадрах. Цей факт відомий як принцип відносності. Це не стосується, наприклад, кадрів, які обертаються відносно один одного, як ми побачимо в главі 7. Більше того, хоча принцип відносності є універсально дійсним (це насправді одне з двох основних припущень, що стоять за теорією відносності Ейнштейна), Галілеєві перетворення не є.Вони руйнуються зі швидкостями, які наближаються до швидкості світла, як ми детально досліджуємо в частині II.

Кінетична енергія колекції частинок

Вище ми встановили, що як загальний імпульс, так і енергія зберігаються в замкнутих системах, але компоненти, звичайно, можуть змінюватися. Імпульс може передаватися від однієї частинки до іншої, і так може (кінетична) енергія; крім того, кінетична енергія може генеруватися з потенційної енергії. На жаль, на відміну від імпульсу, кінетична енергія набору частинок не дорівнює енергії центру маси - це тому, що кінетична енергія залежить квадратично, а не лінійно від швидкості. Загальна кінетична енергія, звичайно, дорівнює сумі кінетичних енергій окремих частинок. Крім того, тут також корисна декомпозиція (\ ref {cmframe}):

$$K=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}\left(v_{\mathrm{cm}}+v_{\alpha, \mathrm{rel}}\right) \cdot\left(v_{\mathrm{cm}}+v_{\alpha, \mathrm{rel}}\right)$$

$$=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\mathrm{cm}}^{2}+\sum_{\alpha} m_{\alpha} v_{\mathrm{cm}} \cdot {v}_{\alpha, \mathrm{rel}}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\alpha, \mathrm{rel}}^{2} \label{sumsumsum}$$
$$=\quad K_{\mathrm{cm}}+K_{\mathrm{int}}$$

Оскільки центр масової швидкості однаковий для всіх частинок, його можна вивести з суми в рівнянні (\ ref {sumsumsum}). Тому перший член дорівнює$\frac{1}{2} M v_{\mathrm{cm}}^{2}=K_{\mathrm{cm}}$, а в другому семестрі ми отримуємо суму загальних швидкостей щодо центру маси - яка дорівнює нулю. Ми знаходимо, що загальна кінетична енергія сукупності частинок дорівнює кінетичній енергії центру маси плюс загальна внутрішня кінетична енергія - яка може змінюватися як при зіткненнях, так і при перетворенні потенційної енергії в кінетичну енергію (або навпаки).