1.4: Реальна та очевидна глибина

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79057

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Коли ми дивимося вниз у басейн з водою зверху, басейн виглядає менш глибоким, ніж є насправді. На малюнку I.6 показано формування віртуального зображення точки на дні басейну шляхом заломлення на поверхні.

Діаметр зіниці людського ока знаходиться в межах від 4 до 7 мм, тому, коли ми дивимося вниз в басейн (або дійсно дивимося на все, що не дуже близько до наших очей), задіяні кути невеликі. Таким чином, на малюнку I.6 вас просять уявити, що всі кути невеликі; насправді намалювати їх невеликими буде зробити для дуже тісного малюнка. Оскільки кути невеликі, я можу наблизити закон Снелла:

\[\begin{align} n &= \frac{\sin \theta '}{\sin \theta} \label{eq2} \\[4pt] & \approx \dfrac{ \tan \theta ' }{ \tan \theta } \label{eq:1.4.1} \end{align} \]

і, отже,

\[ \frac{\text{real depth}}{\text{apparent depth}}=\frac{h}{h'}=\frac{\tan \theta'}{\tan \theta} = n. \label{eq:1.4.2} \]

Для води,\(n\) це приблизно\(\frac{4}{3}\), так що видима глибина приблизно\(\frac{3}{4}\) реальної глибини.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Астроном поміщає фотоплівку, або ПЗС, в основний фокус телескопа. Потім він вирішує вставити скляний фільтр, показника заломлення\(n\) і товщини\(t\), перед плівкою (або ПЗС). В якому напрямку він повинен рухатися фільм або ПЗС, і на скільки, щоб зображення залишалося в фокусі?

Тепер, якби закон Снелла дійсно був заданий рівнянням\(\ref{eq:1.4.1}\), всі заломлені промені від об'єкта, коли вони виробляються назад, здавалося б, розходяться від однієї точки, а саме віртуального зображення. Але закон Снелла насправді Equation\ ref {eq2}, так що станеться, якщо ми не зробимо малий кут наближення?

У нас є

\[ \dfrac{h}{h'} = \frac{\tan \theta'}{\tan \theta}\]

і, якщо застосувати тригонометричну ідентичність

\[\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1- \sin^2 \theta}} \]

і застосувати закон Снелла (Equation\ ref {eq2}), ми знаходимо, що

\[ \frac{h}{h'} = \frac{n \cos \theta}{\sqrt{1-n^2 \sin^2 \theta}} \label{eq:1.4.3} \]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Показати, що до першого порядку в\( \theta \) цьому рівнянні\ ref {eq:1.4.3} стає\(h/h' = n\).

Рівняння\(\ref{eq:1.4.3}\) показує\(h'\) як функцію\( \theta \) − і що заломлені промені, проектуючись назад, не всі здаються з однієї точки. Іншими словами, точковий об'єкт не призводить до точкового зображення. На малюнку I.7 показані (для\(n = 1.5\) — тобто скла, а не води) зворотні проекції заломлених променів для\( \theta '\) = 15, 30, 45, 60 і 75 градусів разом з їх оболонкою або «їдкою кривою». «Об'єкт» знаходиться в лівому нижньому кутку кадру, а поверхня - верхня сторона рамки.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

(Для математично зручного). Показати, що параметричні рівняння для каустичної кривої

\[ x-y \tan \theta' - h \tan \theta = 0 \nonumber\]

\[ ny \sec^3 \theta ' + h \sec^3 \theta = 0. \nonumber \]

Тут\(y = 0\) приймається заломлююча поверхня,\( \theta\) і\( \theta ' \) пов'язані законом Снелла.

Таким чином, заломлення на плоскому інтерфейсі виробляє аберацію в тому сенсі, що світло від точкового об'єкта не розходиться з точковим зображенням. Цей тип аберації дещо схожий на тип аберації, що утворюється відображенням від сферичного дзеркала, і в цій мірі аберацію можна назвати «сферичною аберацією». Якщо точку на дні ставка розглядати під кутом до поверхні, а не перпендикулярно їй, утворюється подальша аберація під назвою «астигматизм». Про це піде мова в розділі 4.