1.3:1.3 Функція логарифма

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.2:1.2 Експоненціальна функція
- 1.4: Ненатуральні повноваження

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Оскільки експоненціальна є функцією один до одного, її зворотна є чітко визначеною функцією. Ми називаємо це натуральним логарифмом:

$\label{eq:1}\ln(x) \equiv y \;\; \mathrm{such}~\mathrm{that}\; \exp(y) = x.$ Для стислості ми відтепер будемо використовувати «логарифм» для позначення натурального логарифма, якщо не вказано інше («ненатуральні» логарифми не є нашою турботою в цьому курсі). Домен логарифма є

$y \in \mathbb{R}^+$ , а його діапазон -

$\mathbb{R}$ . Її графік наведено нижче:

Зверніть увагу, що графік збільшується надзвичайно повільно з $x$ , точно протилежним поведінці експоненціального.

Використовуючи Eq. (1.2.3), ми можемо довести, що логарифм задовольняє правилам добутку і частки

$\begin{align} \ln(xy) &= \ln(x) + \ln(y) \\ \ln(x/y) &= \ln(x) - \ln(y).\end{align}$