1.4: Ненатуральні повноваження

Визначивши експоненту та логарифм, ми маємо інструменти, необхідні для вирішення поставленої раніше проблеми, тобто як визначити ненатуральні енергетичні операції. По-перше, зауважте, що $$\textrm{For}\;\,y \in \mathbb{N}, \;\;\;\ln(x^y) = \underbrace{\ln(x)\ln(x)\cdots\ln(x)}_{y\;\text{times}} = y \ln(x).$$ Отже, застосовуючи експоненціальну до кожної сторони вищезазначеного рівняння, $$x^y = \exp[y \ln(x)] \quad \mathrm{for} \;\,y \in \mathbb{N}.$$ Ми можемо узагальнити вищевказане рівняння так, що воно тримає для будь-якого позитивного$x$ і реального$y$, а не тільки$y \in \mathbb{N}$. Іншими словами, ми розглядаємо це як наше визначення енергетичної операції для ненатуральних сил: $$x^y \equiv \exp[y \ln(x)] \quad\; \mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}^+, \;y \notin \mathbb{N}.$$ За цим визначенням енергооперація завжди дає позитивний результат. А для$y \in \mathbb{N}$, результат формули узгоджується зі стандартним визначенням, заснованим на$x$ множенні на себе$y$ разів.

Таке узагальнення роботи електроживлення призводить до кількох важливих наслідків:

1. Нульова потужність виходу одиниці: $$\displaystyle x^0 = 1 \;\;\mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}^+.$$

2. Негативні сили взаємні: $$x^{-y} = \exp[-y\ln(x)] = \exp[-\ln(x^y)] = \frac{1}{x^y}.$$

3. Вихід експоненціальної функції еквівалентний операції живлення: $$\exp(y) = e^y$$ де $$e \equiv \exp(1) = 2.718281828459\!\dots$$ (Це слід шляхом підключення$x=e$ та використання того факту, що$\ln(e) = 1$.)

4. Бо$x \le 0$, значення$x^y$ для ненатурального$y$ нечітко визначено, оскільки логарифм не приймає негативних входів.