1.4: Ненатуральні повноваження

Визначивши експоненту та логарифм, ми маємо інструменти, необхідні для вирішення поставленої раніше проблеми, тобто як визначити ненатуральні енергетичні операції. По-перше, зауважте, що\[\textrm{For}\;\,y \in \mathbb{N}, \;\;\;\ln(x^y) = \underbrace{\ln(x)\ln(x)\cdots\ln(x)}_{y\;\text{times}} = y \ln(x).\] Отже, застосовуючи експоненціальну до кожної сторони вищезазначеного рівняння,\[x^y = \exp[y \ln(x)] \quad \mathrm{for} \;\,y \in \mathbb{N}.\] Ми можемо узагальнити вищевказане рівняння так, що воно тримає для будь-якого позитивного\(x\) і реального\(y\), а не тільки\(y \in \mathbb{N}\). Іншими словами, ми розглядаємо це як наше визначення енергетичної операції для ненатуральних сил:\[x^y \equiv \exp[y \ln(x)] \quad\; \mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}^+, \;y \notin \mathbb{N}.\] За цим визначенням енергооперація завжди дає позитивний результат. А для\(y \in \mathbb{N}\), результат формули узгоджується зі стандартним визначенням, заснованим на\(x\) множенні на себе\(y\) разів.

Таке узагальнення роботи електроживлення призводить до кількох важливих наслідків:

1. Нульова потужність виходу одиниці:\[\displaystyle x^0 = 1 \;\;\mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}^+.\]

2. Негативні сили взаємні:\[x^{-y} = \exp[-y\ln(x)] = \exp[-\ln(x^y)] = \frac{1}{x^y}.\]

3. Вихід експоненціальної функції еквівалентний операції живлення:\[\exp(y) = e^y\] де\[e \equiv \exp(1) = 2.718281828459\!\dots\] (Це слід шляхом підключення\(x=e\) та використання того факту, що\(\ln(e) = 1\).)

4. Бо\(x \le 0\), значення\(x^y\) для ненатурального\(y\) нечітко визначено, оскільки логарифм не приймає негативних входів.