1.6: Гіперболічні функції

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.5:1.5 Тригонометричні функції
- 1.7: Безперервність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Гіперболічні функції є важливими функціями, визначеними з точки зору експоненціальних показників:

$\begin{align} \sinh(x) &= \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) \\ \cosh(x) &= \frac{1}{2}\left(e^{x} + e^{-x}\right) \\ \tanh(x) &= \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\end{align}$ Вони мають властивості, які інтригуюче схожі на тригнометричні функції, такі як:

$\begin{align} \sinh(x+y) &= \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y) \\ \cosh(x+y) &= \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)\end{align}$ Через ці ідентичності іноді зручніше працювати з гіперболічними функціями, а не експоненціальні показники. Під час цього курсу ми дізнаємося про заплутану взаємозв'язок між гіперболічною та тригонометричною функціями.