1.2:1.2 Експоненціальна функція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79752

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Експоненціальна функція, що позначається «\(\exp\)», є однією з найважливіших функцій в математиці. Ми будемо мати справу з ним неодноразово, в різних контекстах.

Щоб мотивувати його визначення, почнемо з роздумів про те, що означає\(x\) взяти число в силу\(y\):

\[f(x)=x^{y}.\]

Для значень\(y\) в натуральних числах\(\mathbb{N} \equiv \{1,2,3,\dots\}\) операція потужності просто означає\(x\) множення на себе\(y\) раз. Наприклад,\(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\). Але як щодо ненатуральних числових повноважень, як\(x^{-1}\)\(x^{1/2}\) чи чи\(x^{\pi}\)?

Щоб допомогти відповісти на це питання, ми визначимо експоненціальну функцію як наступний граничний нескінченний ряд:\[\exp(x) \equiv 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}, \quad\mathrm{for}\;\, x \in \mathbb{R}.\]

Примітка

Зауважте, що нескінченний ряд у цьому визначенні використовує лише натуральні числові повноваження.

Домен експоненціальної функції - це множина дійсних чисел\(\mathbb{R}\), а її діапазон - набір позитивних чисел,\(\mathbb{R}^+\).

Ось графік функції:

Експоненціальна має кілька примітних особливостей:

Значення\(\exp(x)\) зростає надзвичайно швидко зі збільшенням\(x\). Йдучи в іншу сторону, значення дуже швидко наближається до нуля зі зменшенням\(x\).
\(\exp(0) = 1\). (Це випливає з визначення експоненціальної.)
Для всіх\(x, y \in \mathbb{R}\)\[\exp(x+y) = \exp(x)\,\exp(y).\] спробуйте довести це як вправу (див. Розділ 1.8). Ключовими інгредієнтами для доказу є (i) вищевказане визначення експоненціальної та (ii) біноміальної теореми.
Як наслідок властивостей 2 і 3,\[\exp(-x) = 1/\exp(x).\]