1.8: Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Альтернативним визначенням експоненціальної функції є граничний вираз\[\exp(x) \equiv \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.\] Доведіть, що це еквівалентно визначенню з точки зору нескінченного ряду,\[\exp(x) \equiv 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}.\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Доведіть, що\[\exp(x+y) = \exp(x)\,\exp(y)\] використовуючи визначення експоненціальної як нескінченного ряду. Ваше доказ повинен уникати використання поняття «підняття в силу» ненатурального числа; це для уникнення кругової логіки, оскільки ця особливість експоненціальної функції може бути використана в узагальненому визначенні силової операції (розділ 1.4).

Відповідь

Щоб довести це\(\exp(x+y) = \exp(x)\,\exp(y)\), ми використовуємо нескінченну послідовну формулу\[\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}.\] Тут, для нотаційної зручності\(n = 0\), ми відпускаємо суму від, так що провідний член\(1\) у визначенні експоненції згрупований з рештою суми як її перший член. Це спирається на розуміння того\(0! \equiv 1\), і що\(x^0 = 1\) (останнє узгоджується з узагальненим визначенням силової операції; але щоб уникнути кругової логіки, розглядайте це як визначення\(x^0\) тільки заради цього доказу) . Ми починаємо з підстановки формули ряду в праву частину нашого цільового рівняння:\[\exp(x)\exp(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)\;\left(\sum_{m=0}^\infty\frac{y^m}{m!}\right).\] Зверніть увагу, що ми використовуємо символ\(n\) для першої суми, а символ\(m\) для другої суми;\(n\) і\(m\) пов'язані змінні, чиї терміни переходять за значеннями, зазначеними знаками підсумовування. Фактичний вибір символу, який використовується в будь-якій сумі, є неважливим, за винятком того, що ми не повинні використовувати один і той же символ для обох сум, оскільки дві змінні належать до різних сум. Іншими словами:\[\exp(x)\exp(x) \ne \left(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)\;\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!}\right). \quad(\text{Nonsense expression!})\] Далі ми використовуємо той факт, що добуток двох рядів може бути записаний як подвійна сума:\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!}.\] Тут ми підсумовуємо всі можливі парні комбінації\(n\) і\(m\), що саме те, що відбувається, коли розширюється твір двох рядів за звичними правилами алгебри. Наступним кроком буде виконання зміни змінних на\(m\) і\(n\). У вищенаведеному виразі ми підсумовуємо над усіма невід'ємними цілими\(m\) і\(n\); однак, зв'язана змінна\(n\) може бути повторно виражена через нововизначену змінну,\[N = m + n.\] У вихідній подвійній сумі,\(n\) і \(m\)обидва біжать від\(0\) до\(+\infty\), тому випливає, що їх сума\(N\) біжить від\(0\) до\(+\infty\). Для кожного заданого значення\(N\), ми можемо написати\(n = N - m\), і, крім того, дозволені значення\(m\) буде йти тільки від\(0\) до\(N\) (він не може перевищувати\(N\), інакше\(n\) б негативні). Таким чином, подвійна сума перетворюється на\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{N=0}^\infty \sum_{m=0}^N \frac{x^{N-m}}{(N-m)!} \frac{y^m}{m!}\] Зверніть увагу, що після цієї зміни змінних два знаки підсумовування більше не є взаємозамінними. У\(\sum_{m=0}^N\) знаку змінна\(N\) з'являється у верхній межі, тому це потрібно записати праворуч від\(\sum_{N=0}^\infty\). Одна сума, таким чином, «інкапсульована» всередині іншої; ми могли б написати алгебраїчний вираз більш суворо так:\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{N=0}^\infty \left(\sum_{m=0}^N \frac{x^{N-m}}{(N-m)!} \frac{y^m}{m!}\right).\] Нарешті, ми використовуємо біноміальну теорему для спрощення внутрішньої суми:\[\exp(x)\exp(x) = \sum_{N=0}^\infty \frac{\left(x + y\right)^N}{N!}, \;\;\;\text{since} \;\; (x+y)^N = \sum_{m=0}^N \frac{N!}{m!(N-m)!} x^{N-m} \, y^m.\] Посилаючись знову на визначення рядів експоненціального, ми отримуємо бажаний результат:\[\exp(x)\exp(x) = \exp(x+y)\]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Однією з найважливіших особливостей експоненціальної функції\(\exp(x)\) є те, що вона стає великою надзвичайно швидко зі збільшенням\(x\). Щоб проілюструвати таку поведінку, розглянемо графік, показаний у Розділі 1.2, який відображає експоненціальну величину до\(x = 4\). На вашому екрані або сторінці висота графіка повинна бути близько 4 см. Припустимо, ми дотримуємося тієї ж роздільної здатності, і графік до\(x = 10\); наскільки високим буде графік? Що робити, якщо ми плануємо до\(x = 20\)?

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Доведіть, що\(\displaystyle \exp(x) = e^x.\)

Відповідь

Визначення ненатуральних сил -\[a^b = \exp[b\ln(a)].\] Нехай\(a = \exp(1) = e\) і\(b = x\). Тоді\[^x = \exp\left[x\ln\Big(\exp(1)\Big)\right].\] Оскільки логарифм є оберненою експоненціальної функції,\(\ln(\exp(1)) = 1\). Отже,\[e^x = \exp(x).\]

Вправа\(\PageIndex{5}\)

«ненатуральний» логарифм основи\(c\) визначається як\[\log_c(x) = y \quad\mathrm{where}\;\; c^y = x.\] Вивести вираз для ненатурального логарифма через натуральний логарифм.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Доведіть, використовуючи тригонометрію, що\[\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin(\theta_1) \cos(\theta_2) + \cos(\theta_1)\sin(\theta_2).\] Ви можете припустити, що\(\theta_1, \theta_2 \in [0, \pi/2].\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Доведіть, що\[\begin{align} \cos(3x) &= 4[\cos(x)]^3 -3\cos(x) \\ \sin(3x) &= 3\sin(x)-4[\sin(x)]^3. \end{align}\]