Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5:1.5 Тригонометричні функції

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79741

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ще однією надзвичайно важливою групою функцій є фундаментальні тригнонометричні функції\(\sin\)\(\cos\), і\(\tan\). Вони можуть бути визначені за геометричними співвідношеннями сторін прямокутних трикутників, як показано нижче:

    clipboard_e21c4419743780a02a90525ea91b38ac2.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Якщо ми використовуємо це основне визначення, область є\(\theta \in [0, \,\pi/2)\), де вхідний кут\(\theta\) задається в радіанах.

    Ми можемо узагальнити визначення за наступною схемою, яка допускає негативні значення\(a\) і/або\(b\):

    clipboard_ec7f583c8399a90ca1ed300a44827fd4b.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    При цьому домен розширюється до\(\theta \in [0,\,2\pi)\). Ми можемо додатково розширити домен до всіх дійсних чисел\(\theta \in \mathbb{R}\), розглядаючи вхідні значення по модулю\(2\pi\) як еквівалентні; іншими словами,\(f(\theta + 2\pi) = f(\theta)\). При такому узагальненні тригонометричні функції стають функціями «багато до одного».

    Відповідно до теореми Піфагора,\[\big[\sin(\theta)\big]^2 + \big[\cos(\theta)\big]^2 = 1.\] Використовуючи це, ми можемо продовжувати доводити різні ідентичності, такі як додавання тотожностей\[\begin{align} \sin(\theta_1 + \theta_2) &= \sin(\theta_1) \cos(\theta_2) + \cos(\theta_1)\sin(\theta_2) \\ \cos(\theta_1 + \theta_2) &= \cos(\theta_1) \cos(\theta_2) - \sin(\theta_1)\sin(\theta_2)\end{align}\] Як ви пам'ятаєте, тригонометричні докази для цих ідентичностей передбачають малювання складних діаграм трикутників, розумно застосовуючи Піфагорійська У таких доказів є дві проблеми: (i) вони вимагають певної винахідливості при побудові діаграм трикутника, і (ii) може бути неочевидним, чи працюють докази, якщо кути лежать зовні\([0,\pi/2)\).

    На щастя, є рішення обох проблем. Як ми скоро побачимо, такі тригонометричні ідентичності можна довести алгебраїчно за допомогою комплексних чисел.