17.13: Демпфірована керована система

Залишу читача, щоб додати деяке демпфування в систему, описану в розділі 17.12. Давайте тут спробуємо це з системою, описаною в розділі 17.7. Ми будемо застосовувати періодичну силу до маси лівої руки, і ми припустимо, що демпфуюча константа для кожної маси є$\gamma=\frac{b}{m}$. Ми могли б записати періодичну силу як$F=\hat{F}\sin\omega t$, але алгебра буде легше, якщо ми запишемо її як$F=\hat{F}e^{i\omega t}$. Якщо початкова умова така, що$F=0$ коли$t=0$, то ми вибираємо саме уявну частину цього в наступних виразах.

Рівняння руху є

$m\ddot{x}$= - сила гасіння$b\dot{x}$

- натяг пружини в лівій руці$k_{1}x$

+ сила$F$

+ напруга в середині весни$k_{2}(y-x)$

(це останнє тяга кожного разу$y<x$)

і

$m\ddot{y}$- сила демпфування$b\dot{y}$

- тяга в правій руці пружини$k_{1}y$

- напруга в середині весни$k_{2}(y-x)$

Тобто,

$$m\ddot{x}\ +\ b\dot{x}\ +\ (k_{1}+k_{2})x\ -\ k_{2}y\ =\ \hat{F}e^{i\omega t} \label{17.13.1}$$

і

$$m\ddot{y}\ +\ b\dot{y}\ +\ (k_{1}+k_{2})y\ -\ k_{2}y\ =\ 0. \label{17.13.2}$$

Для сталого руху шукайте рішення форми

$\ddot{x}=-\omega^{2}x$,$\ddot{y}=-\omega^{2} y$, щоб$\dot{x}=i\omega x$ і$\dot{y}=i\omega y$.

Рівняння тоді стають

$$(k_{1}\ +\ k_{2}\ -m\omega^{2}\ +\ ib\omega)x\ -\ k_{2}y\ =\ \hat{F}e^{i\omega t} \label{17.13.3}$$

і

$$-\ k_{2}x\ +\ (k_{1}\ +\ k_{1}\ -m\omega^{2}\ +\ ib\omega)y\ =\ 0. \label{17.13.4}$$

Зараз потрібно провести невелику алгебру. Розв'яжіть ці рівняння для$x$ і$y$, і коли при цьому є комплексне число в знаменнику, помножте верх і низ на сполучений звичайним способом, так щоб отримати$x$ і$y$ в формах$x'\ +\ ix''$ і$y'\ +\ iy''$. Потім знайдіть вирази для амплітуд$\hat{x}$ і$\hat{y}$. Після якоїсь алгебри, кількість якої залежить від своєї майстерності, досвіду і удачі (не завжди очевидно, як зібрати терміни найекономічнішим способом, а вам потрібна якась удача в цьому) ви в підсумку отримаєте, за амплітуди руху

$$\hat{x}^{2}=\frac{((k_{1}\ +\ k_{2}\ -m\omega^{2})\ +\ b^{2}\omega^{2})\hat{F}^{2}}{((k_{1}-m\omega^{2})^{2}+\ b^{2}\omega^{2})((k_{1}+2k_{2}-m\omega^{2})^{2}+\ b^{2}\omega^{2})} \label{17.13.5}$$

і

$$\hat{y}^{2}=\frac{k_{2}^{2}\hat{F}^{2}}{((k_{1}-m\omega^{2})^{2}+\ b^{2}\omega^{2})((k_{1}+2k_{2}-m\omega^{2})^{2}+\ b^{2}\omega^{2})}. \label{17.13.6}$$

У цих виразах багато змінних, але для того, щоб якісно побачити, що таке рух стійкого стану, я збираюся поставити$\hat{F}$,$m$ і$k_{1}=1$. Я думаю, якщо я також поставлю$b=1$, це дасть гасіння світла в сенсі, описаному в главі 11. Що стосується$k_{2}$, то я збираюся ввести коефіцієнт зчеплення,$\alpha$ який визначається$\alpha\ =\ \frac{k_{2}}{k_{1}+k_{2}}$ або$k_{2}\ =\ \left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)k_{1}$. Ця постійна муфти буде близька до нуля, якщо середня пружина дуже слабка, і 1, якщо середній роз'єм - жорсткий стрижень. Рівняння тепер стають

$$\hat{x}^{2}=\frac{((\frac{1}{1-\alpha}\ -\omega^{2})^{2}\ +\ \omega^{2})}{((1-\omega^{2})^{2}+\ \omega^{2})(\frac{1+\alpha}{1-\alpha}-\omega^{2})^{2}+\ \omega^{2})}. \label{17.13.7}$$

і

$$\hat{y}^{2}=\frac{\frac{\alpha}{(1-\alpha)}}{((1-\omega^{2})^{2}+\ \omega^{2})(\frac{1+\alpha}{1-\alpha}-\omega^{2})^{2}+\ \omega^{2})} \label{17.13.8}$$

Для ефективності обчислень ви можете трохи переписати ці рівняння. Наприклад, ви могли б написати$(1-\omega^{2})^{2}\ +\ \omega^{2}$ як$1\ -\ \Omega(1-\Omega)$, де$\Omega\ =\ \omega^{2}$. У будь-якому випадку на малюнку XVII.15 показані амплітуди рухів двох мас в залежності від частоти, для$\alpha\ =\ 0.1,\ 0.5$ і$0.9$. Безперервні чорні криві призначені для маси лівої руки; пунктирна синя крива - для маси правої руки.