17.2: Двоатомна молекула

Дві частинки, мас\( m_{1}\) і\( m_{2}\) з'єднані пружною пружиною постійної сили\( k\). Що таке період коливань?

Припустимо, що рівноважне поділ мас — тобто природна, нерозтягнута, нестиснута довжина пружини — є\( a\). У якийсь час припустимо, що\( x\) -координати двох мас є\( x_{1}\) і\( x_{2}\). \( q\)Продовження пружини від її природної довжини в цей момент є\( q\ =\ x_{2}-x_{1}-a\). Ми також припустимо, що швидкості двох мас в цей момент є\( \dot{x}_{1}\) і\( \dot{x}_{2}\). Ми знаємо з глави 13, як почати будь-який розрахунок в механіці лагранжа. Ми не повинні думати про це. Ми завжди починаємо з\( T\) =... і\( V\) = ... :

\[ T=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\dot{x}_{2}^{2}, \label{17.2.1} \]

\[ V=\frac{1}{2}kq^{2}. \label{17.2.2} \]

Ми хочемо мати можливість висловити рівняння через внутрішню координату\( q\). \( V\)вже виражається в терміні\( q\). Тепер нам потрібно висловити\( T\) (а значить\( \dot{x}_{1}\) і\( \dot{x}_{2}\)) з точки зору\( q\). Оскільки\( q\ =\ x_{2}-x_{1}-a\) ми маємо, шляхом диференціації щодо часу,

\[ \dot{q}=\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}. \label{17.2.3} \]

Нам потрібно ще одне рівняння. Лінійний імпульс постійний і немає втрат у загальності при виборі системи координат такої, що лінійний імпульс дорівнює нулю:

\[ 0=m_{1}\dot{x}_{1}+m_{2}\dot{x}_{2}. \label{17.2.4} \]

З цих двох рівнянь ми знаходимо, що

\[ \dot{x}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\dot{q} \label{17.2.5a}\tag{17.2.5a} \]

і

\[ \dot{x}_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\dot{q}. \label{17.2.5b}\tag{17.2.5b} \]

Таким чином отримуємо

\[ T=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2} \label{17.2.6} \]

і

\( V=\frac{1}{2}kq^{2}\)

де

\[ m=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}. \label{17.2.7} \]

Тепер застосуйте рівняння Лагранжа

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=\frac{\partial V}{\partial q_{j}}. \label{13.4.13}\tag{13.4.13} \]

до єдиної координати\( q\) в моді, до якої ми звикли в главі 13, і рівняння руху стає

\[ m\ddot{q}=-kq, \label{17.2.8} \]

який є простим гармонічним рухом періоду\( 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\), де\( m\) задається рівнянням\( \ref{17.2.7}\). Частота є зворотною цьому, а «кутова частота»\( \omega\), яку також іноді називають «пульсацією», в\( 2\pi\) рази перевищує частоту, або\( \sqrt{\frac{k}{m}}\).

Кількість зазвичай\( \frac{m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})}\) називається «зниженою масою», і можна задатися питанням, який сенс це «зменшується». Я вважаю, що походження цього терміна може походити від елементарної обробки атома Бора водню, коли спочатку припускають, що навколо нерухомого ядра рухається електрон - тобто ядро «нескінченної маси». Розробляються формули для різних властивостей атома, таких як, наприклад, постійна Рідберга, яка є енергією, необхідною для іонізації атома з його основного стану. Ця та подібні формули включають\( m\) масу електрона. Пізніше, у більш складній моделі, враховується кінцева маса ядра, при цьому ядро і електрон рухаються навколо їх взаємного центру маси. Один надходить за тією ж формулою, за винятком того\( \frac{mM}{(m+M)}\), що\( m\) замінюється, де\( M\) маса ядра. Це трохи менше (приблизно на 0,05%), ніж маса електрона, і ідея полягає в тому, що ви можете зробити розрахунок з фіксованим ядром за умови, що ви використовуєте цю «зменшену масу електрона», а не його справжню масу. Чи є цей термін відповідним для використання в нашому теперішньому контексті, є дискусійним, але на практиці це термін майже повсюдно використовується.

Це також може бути помічено читачами з деяким знайомством з квантовою механікою, яку я назвав цей розділ «Двоатомна молекула» - але я проігнорував квантові механічні аспекти молекулярної вібрації. Це правда — у цій серії заміток про класичну механіку я прийняв цілком класичну трактування. Однак було б неправильно припускати, що класична механіка не застосовується до молекули, або що квантова механіка не застосовуватиметься до системи, що складається з м'яча для крикету та бейсболу, з'єднаних металевою пружиною. Насправді як класична механіка, так і квантова механіка застосовуються до обох. Формула, отримана для частоти вібрації з точки зору зменшеної маси та постійної сили («міцність зв'язку»), застосовується так само точно для молекули, як для м'яча для крикету та бейсболу. Квантова механіка, однак, пророкує, що сумарна енергія (власне значення гамільтонового оператора) може приймати тільки певні дискретні значення, а також, що найменша можлива величина не дорівнює нулю. Це прогнозує це не тільки для молекули, але і для м'яча для крикету та бейсболу - хоча в останньому випадку рівні енергії настільки близько розташовані один до одного, що утворюють квазіконтинуум, а вібраційна енергія нульової точки настільки близька до нуля, щоб бути невимірною. Квантова механіка робить свої ефекти очевидними на молекулярному рівні, але це не означає, що вона не застосовується на макроскопічних рівнях. Можна також взяти до уваги, що навряд чи можна зрозуміти, чому хвильова механіка передбачає лише дискретні рівні енергії, якщо не має хорошого досвіду в класичній механіці хвиль. Іншими словами, не можна вважати, що класична механіка не відноситься до мікроскопічних систем, або що квантова механіка не відноситься до макроскопічних систем.

Нижче залишаючи цей розділ, на випадок, якщо ви спробували вирішити цю проблему ньютонівськими методами і зіткнулися з труднощами, ось підказка. Тримайте центр маси фіксованим. Коли довжина пружини дорівнює\( x\), довжини порцій по обидва боки від центру маси є\( \frac{m_{2}x}{m_{1}+m_{2}}\) і\( \frac{m_{1}x}{m_{1}+m_{2}}\). Силові константи двох частин пружини обернено пропорційні їх довжинам. Візьміть його звідти.