17.12: Керована система

Ймовірно, було б корисно перед читанням цього та наступного розділу для перегляду глав 11 та 12.

На малюнку XVII.12 показана та ж система, що і на малюнку XVII.2, за винятком того, що замість того, щоб залишитися вібрувати самостійно, друга маса піддається періодичній силі$F\ =\ \hat{F}\sin\omega t$. На даний момент ми припустимо, що немає демпфування. У будь-якому випадку, це не консервативна сила, і рівняння Лагранжа буде використано у вигляді Рівняння 13.4.12. Як і в розділі 17.2, кінетична енергія дорівнює

$$T =\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}_{1}^{2}\ +\ \frac{1}{2}m_{2}\dot{x}_{2}^{2}\label{17.12.1}$$

Рівняння Лагранжа

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{1}}\ -\ \frac{\partial T}{\partial x_{1}}\ =\ P_{1} \label{17.12.2}$$

і

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{2}}\ -\ \frac{\partial T}{\partial x_{2}}\ =\ P_{2}. \label{17.12.3}$$

Нам належить виявити узагальнені сили$P_{1}$ і$P_{2}$.

У нерівноважному положенні розтягнення пружини лівої руки є$x_{1}$ і так напруга в цій пружині є$f_{1}\ =\ k_{1}x_{1}$. Розширення правої пружини є$x_{2}\ -\ x_{2}$ і так напруга в цій пружині є$f_{2}\ =\ k_{2}(x_{2}-x_{1})$. $x_{1}$$m_{1}$Якби збільшити на$\delta x_{1}$, робота, виконана над тим,$(f_{2}-f_{1})\delta x_{1}$ і, отже, узагальнена сила, пов'язана з координатою,$x_{1}$ є$P_{1}\ =\ k_{2}(x_{2}-x_{1})-k_{1}x_{1}$. $x_{2}$$m_{2}$Якби збільшити на$\delta x_{2}$, робота, виконана над тим,$(F-f_{2})\delta x_{2}$ і, отже, узагальнена сила, пов'язана з координатою,$x_{2}$ є$P_{2}=\hat{F}\sin\omega t-k_{2}(x_{2}-x_{1})$. Таким чином, лагранжеві рівняння руху стають

$$m_{1}\ddot{x}_{1}\ +\ (k_{1}+k_{2})x_{1}\ -k_{2}x_{2}\ =\ 0 \label{17.12.4}$$

і

$$m_{2}\ddot{x}_{2}\ +\ k_{2}(x_{2}-x_{1})\ =\ \hat{F}\sin\omega t. \label{17.12.5}$$

Шукайте рішення форми$\ddot{x}_{1}=-\omega^{2}x_{1}$ і$\ddot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{2}$. Рівняння стають

$$(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})x_{1}\ -\ k_{2}x_{2}\ =\ 0 \label{17.12.6}$$

і

$$-k_{2}x_{1}\ +\ (k_{2}\ -\ m_{2}\omega^{2})x_{2}\ =\ \hat{F}\sin\omega t. \label{17.12.7}$$

Ми, звичайно, зараз не прирівнюємо детермінанти коефіцієнтів до нуля (чому б і ні?!) , але ми можемо вирішити ці рівняння, щоб отримати

$$x_{1}\ =\ \frac{k_{2}\hat{F}\sin\omega t}{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})(k_{2}-m_{2}\omega^{2})-k_{2}^{2}} \label{17.12.8}$$

і

$$x_{2}\ =\ \frac{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})\hat{F}\sin\omega t}{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})(k_{2}-m_{2}\omega^{2})-k_{2}^{2}}. \label{17.2.9}$$

Амплітуди цих рухів (і як вони змінюються залежно від частоти форсування$\omega$) є

$$\hat{x}_{1}\ =\ \frac{k_{2}\hat{F}}{m_{1}m_{2}\omega^{4}\ -\ (m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\omega^{2}+k_{1}k_{2}} \label{17.12.10}$$

і

$$\hat{x}_{2}\ =\ \frac{(k_{1}+k_{2}-m_{1}\omega^{2})\hat{F}}{m_{1}m_{2}\omega^{4}\ -\ (m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\omega^{2}+k_{1}k_{2}} \label{17.12.11}$$

де я переписав знаменники у вигляді квадратичного виразу в$\omega^{2}$.

Для ілюстрації малюю, на малюнку XVII.13, амплітуди руху$m_{1}$(continuous curve, in black) and of $m_{2}$(dashed curve, in blue) for the following data:

$\hat{F}=1,\ k_{1}=k_{2}=1,\ m_{1}=3,\ m_{2}=2,$

коли рівняння стають

$$\hat{x}_{1}=\frac{1}{6\omega^{4}-7\omega^{2}+1}=\frac{1}{(6\omega^{2}-1)(\omega^{2}-1)} \label{17.12.12}$$

і

$$\hat{x}_{1}=\frac{2-3\omega^{2}}{6\omega^{4}-7\omega^{2}+1}=\frac{2-3\omega^{2}}{(6\omega^{2}-1)(\omega^{2}-1)} \label{17.12.13}$$

Там, де амплітуда негативна, коливання поза фазою з силою$F$. Амплітуди йдуть до нескінченності (пам'ятайте, що ми припускаємо тут нульове демпфування) на двох частотах, де знаменники рівнянь$\ref{17.12.10}$ і$\ref{17.12.11}$ дорівнюють нулю. Амплітуда руху$m_{2}$ дорівнює нулю, коли чисельник Рівняння$\ref{17.12.11}$ дорівнює нулю. Це при кутовій частоті$\sqrt{\frac{(k_{1}+k_{2})}{m_{1}}}$, яка якраз кутова частота руху$m_{1}$ утримується двома пружинами між двома нерухомими точками. У нашому числовому прикладі це$\omega\ =\ \sqrt{\frac{2}{3}}\ =\ 0.8165$. Це приклад антирезонансу.